2019年高考復(fù)習(xí)年高考數(shù)學(xué)壓軸題19套

22故當(dāng)X=2時(shí),c-c=丄為常數(shù)，即數(shù)列｛ST｝為等差數(shù)列.nn—i2n16分7?設(shè)函數(shù)f(x)二alx+-1(其中常數(shù)a>0,且a知).lxax(I)當(dāng)a二10時(shí)，解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2邁)(II)若函數(shù)f(x)在(-^,2］上的最小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10x+10x3,x<0.〔10x①當(dāng)xVO時(shí)，fx)=—>3?因?yàn)閙>2\：2?則當(dāng)22Vm^3時(shí)，方程f(x)=m無解;解(1)金)=<10x33當(dāng)m>3,由10?=m，得x=lgm?②當(dāng)xMO時(shí)，10x^1?由fx)=m得10^+2=m,A(10x)2_m10x+2=0.10x因?yàn)閙>2；2，判別式a=m2_8>0,解得10x=m±/2_8.因?yàn)閙>2伍所以于戸>邁>1?所以由10x=吐尸，解得x=lgm+“嚴(yán)令口戸“，得m=3m―m28所以當(dāng)m>3時(shí)，2m+tjm2―83+，J32_8當(dāng)2QVmW3時(shí),m_K=—4m+jm^>3^3_T1'解得x=lgm_-Jm2_8綜上，當(dāng)m>3時(shí)，方程fx)=m有兩解x=lgm和x=lg加+￡當(dāng)2\耳VmW3時(shí)，方程fx)=m有兩解x=lg—-32⑵(I)若OVaVI,當(dāng)xVO時(shí)，0今仗)=云<3；當(dāng)0WxW2時(shí)，fx)=ax^ax-?…7分2令t=ax,則tw［a2,1］,g(t)=t+1在［a2,1］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=1,即x=0時(shí)fx)取得最小值為3?

當(dāng)f=a2時(shí)，/(x)取得最大值為a2+2?此時(shí)/(X)在(一8,2］上的值域是(0,a2+2］,沒有最小TOC\o"1-5"\h\za2a2值?9分\o"CurrentDocument"32(II)若a>1,當(dāng)xV0時(shí)，/X)=ax>3；當(dāng)0WxW2時(shí)/X)=ax+ax?2令t=ax,g(f)=t+^，則灼［1,a2］?2若a2W\2,g(f)=t+f在［1,a2］上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=a2即x=2時(shí)/X)取最小值a2^^,最小值與a有關(guān)；11分13分213分a2^2，g(f)=f+孑在［1,\耳］上單調(diào)遞減，在氏：2,a2］上單調(diào)遞增，15分16分所以當(dāng)f=0即x=log護(hù)時(shí)/X)取最小值2/2,最小值與15分16分綜上所述，當(dāng)aM42^,f(x)在(一8,2］上的最小值與a無關(guān)..'2邁9■設(shè)A二[-1,1],B=[-十，計(jì)]，函數(shù)f(x)二2x2+mx-1,(1)設(shè)不等式f(x)<0的解集為C,當(dāng)C匸(AUB)時(shí)，求實(shí)數(shù)m取值范圍;(2)若對任意xgR，都有f(1+x)二f(1-x)成立，試求xgB時(shí)，f(x)的值域;⑶設(shè)g(x)=1x—aI—x2—mx(agR)，求f(x)+g(x)的最小值.解：1)AUB=[—1,1],因?yàn)镃匸AUB,二次函數(shù)f(x)=2x2—mx—1圖像開口向上，且A=m2+8>0恒成立，故圖像始終與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由題意，要使這兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)x,xg［—1,1］，當(dāng)且12僅當(dāng)：f(—f(—1)>0，解得:(2)對任意xgR都有f(1+x)=f(1—x)，所以f(x)圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以一仝=1，得m=4?4所以f(x)=2(x—1)2—3為[—竺上減函數(shù).f(x).=—2邁；f(x)=2邁?故xgB時(shí)，f(x)值域?yàn)閇—2y2,2“2]?mmmax⑴當(dāng)x<a時(shí),(3)令申(x)=f(x)+g(x)，則申(x)=x2+Ix—aI—1⑴當(dāng)x<a時(shí),申(x)=x2—x+a—1=(x—)2+a——24

1當(dāng)a<—,則函數(shù)Q(x)在(-。a］上單調(diào)遞減，從而函數(shù)Q(x)在(—g,a］上的最小值為Q(a)二a——1.若a>1，則函數(shù)Q(x)在(—g,a］上的最小值為q(；)二-5+a，且Q(［)<Q(a).TOC\o"1-5"\h\z—2425(ii)當(dāng)x>a時(shí)，函數(shù)q(x)=x2+x—a—1=(x+)2—a——\o"CurrentDocument"4151若a<—，則函數(shù)Q(x)在(—g,a］上的最小值為Q(—)二-丁-a，且Q(—)<Q(a)\o"CurrentDocument"2421若a>-—，則函數(shù)Q(x)在［a,+g)上單調(diào)遞增，2<從而函數(shù)Q(x)在［a,+g)上的最小值為Q(a)二a2—1.TOC\o"1-5"\h\z5綜上，當(dāng)a<—-時(shí)，函數(shù)Q(x)的最小值為—-—a\o"CurrentDocument"411當(dāng)-2<a<—時(shí)，函數(shù)Q(x)的最小值為a2-11-當(dāng)a>-時(shí)，函數(shù)Q(x)的最小值為—-+a?\o"CurrentDocument"2410■對于區(qū)間［m,n］上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意xg［m,n］均有If(x)—g(x)l<1,則稱f(x)與g(x)在［m,n］上是接近的；否則，稱f(x)與g(x)在［m,n］上是非接近的■現(xiàn)有兩個(gè)1函數(shù)f(x)二log(x-3a)與f(x)二log(a>0且a豐1)，f(x)與f(x)在給定區(qū)間1a2ax—a12［a+2,a+3］上都有意義，求a的取值范圍；⑵問f(x)與f(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上是否為接近的？請說明理由.x—x—3a>0x—a>0解：(1)要使f(x)與f(x)有意義，則有12要使f(x)與f(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上都有意義，等價(jià)于：［a+2>3a12:a>0且a工1所以0<a<1.(2)f(x)與f(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是接近的，121olf(x)—f(x)I<1ollog(x—3a)—logI<112aax—aollog[(x一3a)(x一a)]l<1oa<(x一2a)2—a2<1對于任意xg[a+2,a+3]恒成立.aa設(shè)h(x)二(x—2a)2—a2,xg[a+2,a+3]，且其對稱軸X=2a<2在區(qū)間［a+2,a+3］的左邊,a<(h(x))V1-<a<(h(x))V1-<(h(x))aminmaxa<h(a+2)V1->h(a+3)、aa<4一4aO'丄>9-6a、a4a<—o'56a2一9a+1>09+、571299+、57129-序,12.59；5712所以，當(dāng)0<a<9-「57時(shí)，f(x)與f(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上是接近的;-1212當(dāng)9-序<a<］時(shí)，f(x)與f(x)在給定區(qū)間［a+2,a+3］上是非接近的.21211■已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-bx2.(I)當(dāng)b>0時(shí)，若對任意xGR都有f(x)W1,證明aW2朽；當(dāng)b>1時(shí)，證明：對任意xW［0,1］,|f(x)|W1的充要條件是b—1WaW2調(diào)；當(dāng)0<bW1時(shí)，討論：對任意xe［0,1］,|f(x)|W1的充要條件.TOC\o"1-5"\h\zaa2a解：(1)證明：根據(jù)題設(shè)，對任意xWR,都有f(X)W1?又f(x)=—b(X—2b)2+4b.Af(2b)a2_=4bW1,Ta>0,b>0,?°?aW2b4分證明：必要性：對任意XG[0,1],|f(x)IW1nf(x)M—1?據(jù)此可推出f(1)M—1,即a—bM—1,??aMb—16分丄丄對任意x￡[0,1],If(x)IW1nf(x)W1,因?yàn)閎>1,可得0V\b<1,可推出f(b)W1,即a?■-b—1W1,??aW2、b,?.b—1WaW2、b8分充分性：因?yàn)閎>1,aMb—1,對任意xW[0,1],可以推出ax—bx2Mb(x—x2)—xM—xM—1,即ax—bx2M—1,因?yàn)閎>1,aW2、萬，10分對任意xe[0,1],可以推出：ax—bx2W2bx—bx2—b(x—土)2+1W1,即ax—bx2W1,A—1^f(x)W1?12分綜上，當(dāng)b>1時(shí)，對任意xe[0,1],If(x)IW1的充要條件是b—1WaW2詡?(3)解：因?yàn)閍>0,0vbW1時(shí)，對任意xe[0,1]有f(x)=ax—bx2M—bM—1,即f(x)M—1;f(x)W1nf(1)W1na—bW1,即aWb+1,又aWb+1nf(x)W(b+1)x—bx2W1,即f(x)W1?所以，當(dāng)a>0,0vbW1時(shí),對任意xe[0,1],If(x)IW1的充要條件是aWb+116分

12.已知f(x)=ax-Inx,xg(0,e］,g(x)=，其中e是自然常數(shù)，aGR.x(1)討論a=1時(shí)，f(x)的單調(diào)性、極值；⑵求證：在(1)的條件下，f(x)>g(x)+i；^2是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：(1)f(x)=x一lnx，fr(x)=i-丄=蘭二！xx???當(dāng)0<x<1時(shí)，f/(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減當(dāng)1<x<e時(shí)，f/(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增???f(x)的極小值為f(1)=1(2)???f(x)的極小值為1,即f(x)在(0,e］上的最小值為1,???f(x)>0???f(x)>0，f(x)=1min令h(x)=g(x)+-=lnx+-，2x2當(dāng)0<x<e時(shí)，hr(x)>0,?111??h(x)=h(e)=+<+—maxe22???在(1)的條件下，h，(x)=1-lnx，xh(x)在(0,e]上單調(diào)遞增=1=1f(x)1min1f(x)>g(x)+-(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)=ax-lnx①當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0,e］上單調(diào)遞減,(xg(0,e])有最小值3，f/(x)=4a=—ef(x)min=f(e)=ae一1=3，1,a——=ax-1xx(舍去)，所以，此時(shí)f(x)無最小值.當(dāng)0<丄<e時(shí)，f(x)在(0,丄)上單調(diào)遞減，在(丄,e］上單調(diào)遞增aaaf(x).=f(丄)=1+lna=3，a=e2，滿足條件.mina(舍去)，所以，此當(dāng)1>e時(shí)，f(x)在(0,e］上單調(diào)遞減，f(x).=f(e)=ae-1=3,(舍去)，所以，此amin時(shí)f(x)無最小值?綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)xg(0,e］時(shí)f(x)有最小值3已知函數(shù)f(x)=alnx一ax一3(agR)?(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45。，對于任意的tg［1,2］，函數(shù)g(x)=x3+x2［f'(x)+m］在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；2

解：⑴f'(x)=a(1-x)(x>0)x當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+s);當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+Q，減區(qū)間為(0,1);當(dāng)a二0時(shí)無單調(diào)區(qū)間.a⑵廣⑵一廠1得a一2,f(x)一2lnx+2x-3?g(x)=x3+(m+2)x2—2x，??g(x)=3x2+(m+4)x_2，???g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，???[g'⑴<01g'(3)>0-37<m<-93(3)令a=—1此時(shí)f(x)=—Inx+x—3，所以f(1)=—2，由(1)知f(x)=—Inx+x—3在(1,+Q上單調(diào)遞增，?當(dāng)xG(1,+8)時(shí)f(x)>f(1)，即—lnx+x—1>0,lnx<x一1對一一切xg(1,+s)成立,?n>2,ngN*，貝0有0<lnn<n-1，?°<n-1nn匚1=丄(n匚1=丄(n>2,ngN*)nn~2--3T?…_T<234設(shè)函數(shù)f(x)=aix+—(其中常數(shù)a>0,且a^1)?ax當(dāng)a=10時(shí)，解關(guān)于x的方程f(x)=m(其中常數(shù)m>2詛)；若函數(shù)f(x)在(一8,2］上的最小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.f2、解：(1)fx)=°+云,x$°，2分<—,x<0.110x①當(dāng)xV0時(shí)，fx)=2>3.因?yàn)閙>2,2.10x則當(dāng)2-亞VmW3時(shí)，方程f(x)=m無解;3當(dāng)m>3，由10x=m，得x=lgm?②當(dāng)xM0時(shí)，10x^1.由f(x)=m得—=m，10x???(10x)2-m10x+2=0.因?yàn)閙>2迄，判別式a=m2—8>0,解得10x=m±叮2_8因?yàn)閙因?yàn)閙>2逸，所以卄］2-8>2>1?人m——m2—8令‘=1,^得m=3.綜上，當(dāng)m>3綜上，當(dāng)m>3^,方程f（x）=m有兩解x=lg￡和x=lg空匕2⑵法一：（I）若0VaV1,3當(dāng)xV0時(shí)，0Vfx）=^V3；2當(dāng)0WxW2時(shí)，fx）=ax+ax?2令/=ax，則tw［a2，1］，g（t）=t+”在［a2，1］上單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=1,即x=0時(shí)fx）取得最小值為3.當(dāng)t=a2時(shí)，fx）取得最大值為a2+—?11分此時(shí)fx）在（一8,2］上的值域是（0,a2+2］,11分22(II)若a>1,當(dāng)xV0時(shí)，fx)=ax>3;當(dāng)0WxW2時(shí)f(x)=ax+ax?令t=ax,g(t)=t+1，則taxaxte[1,a2].2①若*、込,g(t)=t+t在[1,a2]上單調(diào)遞減，13分15分16分213分15分16分所以當(dāng)t=a2即x=2時(shí)fx）取最小值a2+~a2，最小值與a有關(guān);2②a2$邁,g（t）=t+7在［1,J2］上單調(diào)遞減，在［-血，a2］上單調(diào)遞增,綜上所述，當(dāng)aN42時(shí)，fx）在（一8,2］上的最小值與a無關(guān).所以當(dāng)t=頁即x=loga綜上所述，當(dāng)aN42時(shí)，fx）在（一8,2］上的最小值與a無關(guān).法二:g(x)=a1x|+2ax,xg［—2,+8)①當(dāng)a>1時(shí)，x>0時(shí)，ax>1，g(x)=3ax，所以g(x)g［3,+8)，1—2<x<0時(shí)，—<ax<1g(x)=a—x+2ax,所以a29分2O一9分g'(x)=—a-xIna+2axIna=InaaxTOC\o"1-5"\h\zi當(dāng)丄>,丄即1<a<42時(shí)，對Vxg(—2,0),g'(x)>0，所以g(x)在［—2,0)上遞增,a22所以g(x)g[a2+2,3)，綜合a)b)g(x)有最小值為a2+2與a有關(guān)，不符合11分a2a2ii當(dāng)1<.1即a><2時(shí)，由g'(x)=0得x=—^log2,且當(dāng)-2<x<—^log2時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)a2722a2a—1log2<x<0時(shí)，g'(x)>0，所以g(x)在［—2,—1log2］上遞減，在［一1log2,0］上遞增，所以2a‘2a2a'g(x)=gmin1loga2卜綜合ag(x)=gmin1loga2卜綜合a)b)g(x)有最小值為2邁與a無關(guān)，符合要求.13分②當(dāng)0<a<1時(shí),a)x>0時(shí)，0<ax<1，g(x)=3ax，所以g(x)g(0,3］b)—2<x<0時(shí)'1<ax<—，g(x)=a—x+2ax，a2所以2O一1g'(x)=—a-xlna+2axlna=lnaax<0，g(x)在［—2,0)上遞減,所以g(x)g(3,a2+]，a2綜合a)b)g(x)有最大值為a2+2與a有關(guān)，不符合15分a2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>42?16分已知函數(shù)f(x)=1x—aI—lnx(a>0).(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值;若a>0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；試比較)ln22+吐++lnn^與(n-1)(2n+1)的大小，⑺gN咀n>2)，并證明你的結(jié)論。2232n22(n+1)解：(］)a=1,f(x)=|x—1|—lnx…

1x—1TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x—1—Inx,f(x)=1—=>0.xx???f(x)在區(qū)間［1,+8)上是遞增的2分當(dāng)0<x<1,f(x)=1—x—lnx,f'(x)=—1——<0x?f(x)在區(qū)間(0,1)上是遞減的故a=1時(shí)，f(x)的增區(qū)間為,+8),減區(qū)間為0,1),f(x).=f(1)=04分mm(2)若a>1,當(dāng)x>a時(shí)，f(x)=x一a一lnx,f'(x)=1一丄=—~>0.xx則f(x)在區(qū)間a,+8］上是遞增的；0<x<a時(shí)，f(x)=a—x—lnx,f，(x)=—1—?f(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的.6分若0<a<1,當(dāng)x>a日寸，f(x)=x一a一lnx,1x—1f'(x)=1—=,x>1,f'(x)>0,a<x<1,f'(x)<0xx則f(x)在區(qū)間［1,+8)上是遞增的，f(x)在區(qū)間［a,1)上是遞減的;當(dāng)0<x<a時(shí),f(x)=a—x—lnx,f'(x)=—1一丄<0,xf(x)在區(qū)間(0,a)上是遞減的,而f(x)在x=a處連續(xù);則f(x)在區(qū)間［1,+8)上是遞增的，在區(qū)間(0,1)上是遞減的綜上：當(dāng)a>1時(shí),f(x)的遞增區(qū)間是［a,+8)，遞減區(qū)間是(0,a)；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是［1,+8)，遞減區(qū)間是(0,1)11分(3)由(1)可知，當(dāng)a=1,x>1時(shí)，有x—1—lnx>0,即Inx<1—xxln22ln32lnn211<1——+1——+11/111、…????13分..++++1——=n―1―(+++)2232n22232n22232n2,」1--i111、=n—1—(——+_—++—)"2334nn+1一n—1—(—)一(n—1)(2n+1)16分2n+12(n+1)16.已知數(shù)列占｝滿足，a+a二4n—3(neN*).nn+1n若數(shù)列b｝是等差數(shù)列，求a的值；TOC\o"1-5"\h\zn1當(dāng)a=2時(shí)，求數(shù)列占｝的前n項(xiàng)和S;1nn(3)若對任意neN*,都有仔如2>5成立，求a的取值范圍.a+a1nn+1解:(1)若數(shù)列b｝是等差數(shù)列，則a二a+(n—1)d,a二a+nd.nn1n+11由a+a=4n—3,得((a+nd)+[a+(n—1)d]=4n—3,艮卩2d=4,2a—d=—3,n+1n1111解得，d=2,a】=-24分(2)由a+a二4n—3(neN*/r/