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近世代數(shù)第二章群論§9群同態(tài)、同構(gòu)10/10/一、定義1若存在群到群同態(tài)滿射,則稱(chēng)群與群同態(tài);
若存在群到群同構(gòu)映射,則稱(chēng)群與群同構(gòu).
假定是集合到一個(gè)滿射,,稱(chēng)為在之下象;,稱(chēng)為在之下逆象.為10/10/二、群同態(tài)性質(zhì)群與同態(tài),是到同態(tài)滿射,則(1)(2)(3)(4)(5)定理1(6)是循環(huán)群,則也是循環(huán)群.10/10/定理2兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同態(tài),與若是群,則也是群.證實(shí):,是群,有結(jié)合律,則也有結(jié)合律;是同態(tài)滿射,有是左單位元;是左逆元也是群.10/10/例1證實(shí)關(guān)于做成群.證實(shí):取是到同態(tài)滿射,而是群,所以是群.10/10/例2是到同態(tài)滿射,{全體正負(fù)奇數(shù)},代數(shù)運(yùn)算均為數(shù)普通乘法正奇數(shù)1負(fù)奇數(shù)-1是群,而不是群.10/10/三、同態(tài)核思索題1:,,那么例1
與
同態(tài)10/10/定義3設(shè)是群到群同態(tài)映射,是單位元.稱(chēng)在中全部核,記作逆象組成集合為同態(tài)映射例3是到同態(tài)映射{全體偶數(shù)}10/10/引理1若是群到群同態(tài)映射是單射,則證實(shí):而是單射若,則是單射.10/10/引理2若是群到群同態(tài)滿射,則證實(shí):10/10/四、群同態(tài)基本定理定理3群同它每個(gè)商群定義4稱(chēng)群到商群同態(tài)滿射為自然同態(tài).同態(tài).到注:10/10/定理4(群同態(tài)基本定理)群與同態(tài),是到滿射,則同態(tài)證實(shí):取10/10/說(shuō)明:定理3說(shuō)明任何群都同它商群同態(tài);同另一個(gè)群同態(tài),在同構(gòu)意義下是一個(gè)商群.定理4說(shuō)明一個(gè)群則這個(gè)群所以,在同構(gòu)意義下,定理3與定理4意思是:每個(gè)群能而且只能同它商群同態(tài).10/10/推論1:設(shè)與是有限群,且,則推論2:循環(huán)群商群也是循環(huán)群.整除10/10/五、群同構(gòu)定理定理5設(shè)是群
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