中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)(上)常用輔助線-旋轉(zhuǎn)新人教版

答案：見解析答案：見解析解析：答案：見解析答案：見解析解析：223.輔助線之—旋轉(zhuǎn)1.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE,ZAEB=90。,AC、BD交于O.已知AE、BE的長分別為3cm、5cm，求三角形AOBE的面積.解析：解析：顯然ZBOA=ZBEA=90°,所以ZOBA+ZOAB=ZEBA+ZEAB=90°,所以ZOBA-ZEBA=ZEAB—ZOAB,所以ZOBE=ZOAE,則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AOEA，旋轉(zhuǎn)90°，則OA與OB重合,E落在BE上的E'處，且ZBOE'=ZAOE,OE，二OE,BE二EA二4,因?yàn)閆BOE'+ZEOA=90°,所以ZOAE+ZAOE丨90°,所以AOEE'是等腰直角三角形．且EE'=5-3=2，作OF丄BE，所以O(shè)F=2EE=1.所以S=1所以S=1x5=2.5cm2AOEB2?如圖所示，在四邊形ABCD中，ZADC=/ABC=90。,AD=CD,DP丄AB于P，若四邊形ABCD的面積是16，求DP的長.解析：QAD=DC??把VDAP繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使DC與AD重合,則/PDE=/ADC=90°,Q/DPB=90°,???四邊形DPBE為矩形.QDP旋轉(zhuǎn)至DE，則DP=DE，???矩形DPBE為正方形，且S=S=16，正方形DPBE四邊形ABCD'???DP=4.3.如圖，正方形ABCD中，/FAD=/FAE.求證：BE+DF=AE.???四邊形ABCD是正方形，???AB=AD.將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABM,使AD與AB重合.則BM=DF，且ZDAF=ZBAM，ZM=ZAFD.DCPAB，.:ZAFD=ZFAB.???ZBAF二ZEAF+ZBAE,且ZEAF=ZDAF=ZBAM,???ZBAF=ZBAM+ZBAE=ZEAM二ZAFD二ZM.故AE二EM=BE+BM二BE+DF.4.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分ZBAF交BC邊于點(diǎn)E.求證:AF二DF+BE.答案：見解析解析：??四邊形ABCD是正方形，???AB二AD.將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABM,使AD與AB重合.則BM=DF，且Z3=Z4，ZM二ZAFD.???AE平分ZBAF,???Z1=Z2，???Z3+Z2=Z4+Z1,即ZEAD二ZMAE.yAD〃BCZMEA=ZEAD,:.ZMEA=ZMAE,.?.AM=ME.即AM二BM+BE.:.AF=DF+BE，得證.5.E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且ZEAF=45。,AH丄EF,H為垂足，求證：AH二AB.F答案：見解析F答案：見解析解析：FF???四邊形繞ABCD為正方形，???AD=AB.將VADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至VABG.則Z1二Z2,AF=AG.?/Z3+Z4=45。，???Z1+Z5=45。.???Z2+Z5=45。，即ZEAG=ZEAF.???AE二AE,???VAGE仝VAFE(SAS).根據(jù)全等三角形的對應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，可得AB二AH.6?如圖所示，在正方形ABCD中，AB=43，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且ZBAE=30。,ZDAF=15求求AAEF的面積.求求AAEF的面積.答案：見解析解析：如圖所示，將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG，則G、B、E共線.ZBAG=ZDAF=15。,AG=AF.而ZGAE=15。+30。二45。，且ZFAE=90?！?5?！?0。二45。,故ZGAE=ZFAE，丁AE二AEAGAE=VFAE.由此可得EF=EG，ZAEF=ZAEG=90?！?0。=60。，???ZFEC=180?！?0?！?0。二60。,?：ZEFC=90?！?0。二30。.在RtAABE中，AB=、込，ZBAE=30。，故BE二1，CE二J3—1.在RtAEFC中，ZEFC=30°，則EF=2（再—1）=EG.故S=S=-EGXAB=-X2^/3—1）心3=3―、運(yùn)AAEFAAEG227?如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各存一點(diǎn)P、Q，若AAPQ的周長為2，求ZPCQ的度數(shù).解析：解析：解析：QDPBQDPB把ACDQ繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)90。到ACBF的位置，CQ=CF.?.?AQ+AP+QP=2,又AQ+QD+AP+PB=2，.:QD+BP=QP.又DQ=BF-PQ=BP+BF=PF-AQCP竺AFCP-Z.QCP=ZFCP又ZQCF=90°，.:ZPCQ=45。.&如圖：正方形ABCD的邊長為6cm,E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，且ZECP=45°.則PE的長是多少cm.VPEC的面積是多少cm2.AED答案：5；15C求C求PE的長：???四邊形ABCD為正方形，???BC=DC.將VEDC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至VBCM處，使DC與BC重合，則EC=CM，Z1=Z2.MB=ED=-AD=3.2?/Z1+Z3=90?！?5。二45。，??Z2+Z3=45。，則ZPCM=ZPCE,?/PC=PC,??VPCM=VPCE,???PM=PE.設(shè)PB=x，則PM=x+3=PE,AP=AB—BP=6—x.??.在RtVAPE中，有AP2+AE2=PE2.(6—x匕+32=(x+3匕，解得x=2.PE=x+3=5.求VPEC的面積：?/VPEC=VPCE,...s=S=1BC-PM=1BC-(bp+BM)=1x6x(2+3)=15VPECVPCM2229.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD)，ZB=900，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且ZDCE=450，BE=4，求DE的長.解析：過C作CG丄AD，交AD延長線于G.???四邊形ABCD是正方形，???BC=CG.將VBEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，至VCGF,使BC與CG重合.則有Z1=Z2,CE=CF，GF=BE=4.?/ZECD=45。，???Z1+Z3=90。-45。=45。.???Z2+Z3=45。.?/CD=CD,???VCED=VCFD.故DE=DF.設(shè)DG=x，則DF=x+4=DE，AD=AG-DG=12-x，在RtVAED中，AE2+AD2=ED2.即82+(12—x)2=(x+4匕.解這個(gè)方程，得：x=6.???DE=x+4=10.10.如圖，在AABC中，ZACB=900，AC=BC，P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1PC=2,pA=3，求ZBPC的度數(shù).如圖，將AAPC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，即AAPC竺ABEC,PC=CE,Z1=Z2,Z2+ZPCB=90°,???Z1+ZPCB=90°.???APCE為等腰直角三角形，???ZCPE=45。，PE2=PC2+CE2=8.又PB2二1，BE2二9,???PE2+PB2=BE2則ZBPE=900.???ZBPC=ZCPE+ZBPE=450+90°=1350.11.如圖，P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP=3，PB二4，PC=5，求ZAPB的度數(shù).解析：CC如圖，將ABPC沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，則BP=BP，連接P'P，AP'.?ZP'BP=60o，BP=BP=4，???VBPP為等邊三角形，.??PP=4,ZP'PB=60。.???AP2+P'P2二APS,???ZAPP'=90。,?ZAPB=ZP'PB+ZAPP'=150。12.P為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB=113。,ZAPC=123。，求證：以AP、BP、CP為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).答案：見解析解析：P要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無策如果以C為中心，將AAPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則A點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB，P點(diǎn)變到弋點(diǎn)，此時(shí)，CP二CP，并且ZPCP=60。，ZBPC=ZAPC=12丸APCP為等邊三角形，所以PP=CP，ZCPP=ZCPP=60。.這時(shí)，ABPP就是以BP、AP（二BP）、CP（二PP）為三邊構(gòu)成的三角形.易知ZBPP=ZBPC-ZCPP=ZAPC-60。=123。-60。=63。而ZBPC=366—113o—123o=124o所以ZBPP=ZBPC—ZCPP=124o—60o=64。因此ZPBP=180?！?3o—64o=53。113.如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=UD=2，C=3.求ZAPD的度數(shù).解析：???四邊形ABCD為正方形，???AD=DC.將APDA繞著D點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AMDC的位置（如圖），連接PM.則PD=DM=2,ZPDM=90°?APDM是等腰直角三角形.???PM=2邁，ZPMD=45°?PM2=8，MC2=PA2=1，PC2=9PM2+MC2=PC2?APMC為直角三角形.???ZPMC=90°,???ZAPD=ZDMC=ZPMD+ZPMC=135°.13.13.如圖所示，P是等邊AABC中的一點(diǎn)，PA二2,PB=2、込,PC=4，試求AABC的邊長.13.13.如圖所示，P是等邊AABC中的一點(diǎn)，PA二2,PB=2、込,PC=4，試求AABC的邊長.BA答案：2*7解析：由于有等邊三角形，故可考慮將APBA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60。，使PA、pb、PC出現(xiàn)在一個(gè)三角形中，從而構(gòu)造出一個(gè)直角三角形.解：將APBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則BA與BC重合，A點(diǎn)轉(zhuǎn)至C點(diǎn)，P點(diǎn)轉(zhuǎn)至P點(diǎn)，連接PP，如圖所示，有PC=pA=2，PB=PB=2彰'3，ZpBp二60°.11111故APBP為等邊三角形，PP=BP=2、廳，11在APCP中，PC2=42=22+（2\.；'3）2=PC2+PP2，111故ZPPC=90°，PC=-PC，112從而有ZCPP=30°，故ZBPC=ZBPP+ZPPC=60°+30°=90°.所以，在RtAPBC中，BC2=PB2+PC2=42+(2j3)2=28，BC=2的.14.如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0).求：(1)ZAPB的度數(shù)；(2)正方形的邊長.答案：(1)135°；(2)AB=、；5+22a解析：(1)將AAPB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ACQB.連接PQ，因?yàn)閆PBQ=90°,PB=QB=2a,所以ZPQB=ZQPB=45°，PQ=2、迂a.在APQC中，pc=3a，CQ=a，PQ=2、遼a，則PC2二CQ2+PQ2,所以ZPQC=90°，故ZAPB=ZCQB=90°+45°=135°.（2）因ZAPB+ZBPQ=135°+45°=180°，則A、P、Q三點(diǎn)共線，故AQ=2p2a+a=（1+2*2）a，QC=a，在RtAAQC中，根據(jù)勾股定理得AC=、ja2+[（1+2邁）a]2=<10+4、遼a所以AB=AC-sin45°=2AC=$5+2邁a.2

15.在AABC中，AB=AC,P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，已知ZAPC〉/APB，求證：PB〉PC.答案：見解析解析：ABC因?yàn)锳B=AC，所以可將AABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AACD的位置，連結(jié)PD、AD、CD，則AP二AD，PB=DC，/ADC=/APB因?yàn)?APC〉/APB，所以/APC〉/ADC由AD二AP，可得/APD二/ADP，則/DPC〉/PDC.DC〉PC，即PB〉PC.16.如圖，P是等邊AABC外的一點(diǎn)，PA=3，PB二4，PC=5，求/APB的度數(shù).CC答案：30解析：解析：解析：解析：解析：AAB=AC,??.將VAPC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至VABM，使AC與AB重合,則AM=AP=3,ZPAB=60°,BM=PC=5,ZBAM=ZPAC=ZPAB+ZBAC=120°.???ZPAM=ZBAM—ZPAB=120。—60。=60。,???VAPM為等邊三角形，則PM=AM=3，ZAPM=ZPAM=60°,在VPMB中，BM2=PM2+PB2,?VMPB為直角三角形，即ZBPM=90°.???ZBPA=ZBPM—ZAPM=90°—60°=30°.APBC是等邊三角形嗎？17.如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，ZPAD=ZPDA=15°，連結(jié)PB、APBC是等邊三角形嗎？為什么？答案：見解析將AAPD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得ADPPC,再作ADP'C關(guān)于DC的軸對稱圖形ADQC，得VAPD仝VCQD仝CPD.所以PD=QD,Z.QDC=ZDCQ=ZPAD=PDA=15。,ZPDQ=90。—15。—15。=60。,???APDQ為等邊三角形，即/PQD=60。.又ZDQC=ZAPD=180?！?5?！?5。=150。,.?.ZPQC=360?！?0?！?50。=150。=ZDQC.?/ZPAD=PDA=15。,???AP=PD，則有DQ=QC.?PQ=QD.PQ=CQ，?ZPCQ=ZQCP=15。.???ZPCD=30。,???ZPCB=ZDCB—ZPCD=90?！?0。=60。.同理可得ZPBC=60。.'+SVADE'+SVADEVBEF18.VABC中，ZC=90。,四邊形CDEF是VABC的內(nèi)接正方形，AE=30cm,BE=24cm,的值.

解析：如圖，???四邊形EFCD是正方形，???EF=ED,將VBEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至VGED，使EF與ED重合.則有VBEF=VGED.?/ZFED=90°,???ZBEF+ZAED=90°.?/ZBEF=ZGEDZGED+ZAED=90°.故S+S=S+S=S=1GE-EA=1BE-EA=27VADEVBEFVADEVGEDVAEG2219.梯形ABCD中，ADPBC,ZB=90°,AB=1,AD=3,BC=5,DE丄DC且DE=DC，求AE的長和VADE面積.解析：

???DE=DC,??.將VADE繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，至VFDC處，使DE與DC重合.則DC=DE,DF=AD=3,AE=FC,延長FD交BC于點(diǎn)G,??旋轉(zhuǎn)角是90。，???ZFDA=90。,?/ADPBG,?ZFGB=90。,???四邊形ABGD是矩形，BG=AD=3,?/BC=5,???GC=BC-BG=5-3=2,DG=AB=1,在RtVFGC中,根據(jù)勾股定理有FG2+GC2=FC2,即（3+1）2+22二FC2,解得FC二2J5.S=S=S-S=-FG-GC--DG-GC=3VADEVFDCVFGCVDGC2220.在梯形ABCD中，ADPBC,zD=90。，BC=CD=12,ZABE=45。，若AE=10,求CE的長。答案：6或4解析：答案：見解析答案：見解析解析：答案：見解析答案：見解析解析：答案：見解析答案：見解析解析：ADPBC,ZD=90。，???ZC=90。,過點(diǎn)B作BM丄DA,交DA延長線與點(diǎn)M，故四邊形DMBC是矩形，???BC=DC=12,??.矩形DMBC是正方形，則BM=DC=BC=12,將VBCE繞B點(diǎn)順時(shí)針90。，至VBMN處，則VBCE竺VBMN，???ZMBN=ZEBC,?/ZABE=45。，???ZEBC+ZABM=45。，?ZMBN+ZABM=45。二ZABE,?/BE二BN，?VABE竺VABN，?AN=AE=10，設(shè)EC=x，則MN二x，AM=AN-MN=10-x，.?.DA=DM-AM=12-（10-x）=2+x,?/DE=DC-EC=12-x，?在RtVADE中，（x+2）2+（12-x）2二102，解得x=6或x=4，即EC的長為6或4.21.如圖，P等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ZAPC=117。，ZBPC=130。，求以AP、BP、CP為邊的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。BC

要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無策如果以C為中心，將AAPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則A點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB，P點(diǎn)變到D點(diǎn)，此時(shí)，CP=CD，并且ZPCD=60。，ZBDC=ZAPC=117°.APCD為等邊三角形，所以PD=CP，ZCPD=ZCDP=60°.這時(shí)，ABPD就是以BP、AP（=BD）、CP（=PD）為三邊構(gòu)成的三角形.易知ZBDP二ZBDC—ZCDP=ZAPC—60°=117?！?0°=57°而ZBPC=360°—117°—130°=113°所以ZBPD=ZBPC—ZCPD=130°—60°=70°因此ZPBD=180°—57°—70°=53°22.如圖，AABC中，AB=AC，ZBAC=90°，D是BC中點(diǎn)，ED丄FD，ED與AB交于E，F(xiàn)D與AC交于F.求證：BE二AF，AE=CF.連結(jié)AD．連結(jié)AD．???AB=AC,ABAC/