中考數(shù)學(xué)圓的綜合(大題培優(yōu) 易錯 難題)及答案

一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點?現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）?yy（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）設(shè)AMBN的周長為P，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，P值是否有變化？請證明你的結(jié)論.【答案】（1）n/2（2）22.5。⑶周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出ZAOM的度數(shù)；（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.試題解析：（1）TA點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45。，???OA旋轉(zhuǎn)了45°.???OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為陽冷(2)TMNIIAC,?ZBMN=ZBAC=45°，ZBNM=ZBCA=45°.?ZBMN=ZBNM.?BM=BN.又:BA=BC，?AM=CN.又:OA=OC，ZOAM=ZOCN，?△OAM竺△OCN.?ZAOM=Z?ZAOM=ZCON=121(zaoc-zMON)=2(90。-45。)=22.5°.?旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°.（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，則ZAOE=45°-ZAOM，ZCON=90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,?ZAOE=ZCON.又:OA=OC，ZOAE=180°-90°=90°=ZOCN.

△OAE竺△OCN.OE=ON,AE=CN.又：乙MOE=ZMON=45°,OM=OM,△OME竺△OMN.MN=ME=AM+AE..MN=AM+CN,.p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.???在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.如圖，在ABC中，ZACB二90,ZBAC的平分線AD交BC于點D,過點D作DE丄AD交AB于點E,以AE為直徑作O.（1）求證：BC是O的切線；O（2）若AC=3，占C=4，求tanZEDB的值.1【答案】（1）見解析；（2）tan/EDB=2.【解析】【分析】（1）連接OD,如圖，先證明OD//AC，再利用AC丄BC得到OD丄BC,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）先利用勾股定理計算出AB=5，設(shè)O的半徑為r,則OA=OD=r,OB=5—r,再證明BDO-BCA再證明BDO-BCA，利用相似比得到r：3=（5-r）:5,解得r=-8,接著利用勾531股定理計算BD=-，則CD=-，利用正切定理得tanz1=-，然后證明222Z1=zEDB，從而得到tanzEDB的值.【詳解】（1）證明：連接0D,如圖，

AD平分ABAC,z.Z1=Z2,..OA=AD平分ABAC,z.Z1=Z2,..OA=OD,；Z2=Z3,.??Z1=Z3,???OD//AC,AC丄BC,???OD丄BC,?°?BC是O的切線；（2）解:ACB中，ab=啟2+42=5,o-設(shè)O的半徑為廠，則OA=OD=r,OB=5-r,OD//AC,A?％DOsBCA,??OD:AC=BO:ba,■艮即r3=（』-r）：5,解得r=-,8OB=蘭在RtODB中，BD=襯OB2-OD2?CD=BC-BD=-在RtACD中,tanZl=CD=2=1，AC32AE為直徑，/.ZADe=90,?ZEDB+ZADC=90,?Z1+ZADC=90,。?Z1=ZEDB,。1?tanZEDB=—2?【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；也考查了圓周角定理和解直角三角形．已知，如圖：O1為x軸上一點，以01為圓心作O01交x軸于C、D兩點，交y軸于M、N兩點，ZCMD的外角平分線交OO1于點E,AB是弦，且ABIICD,直線DM的解析式為y=3x+3.（1）如圖1,求OO1半徑及點E的坐標(biāo).（2）如圖2,過E作EF丄BC于F,若A、B為弧CND上兩動點且弦ABIICD，試問：BF+CF與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明.（3）在（2）的條件下，EF交OO1于點G,問弦BG的長度是否變化？若不變直接寫出BG的長（不寫過程），若變化自畫圖說明理由.圖1圖2【答案】（1）r=5E（4,5）（2）BF+CF=AC（3）弦BG的長度不變，等于5、込【解析】分析：（1）連接ED、EC、EO]、MO1，如圖1,可以證到ZECD=ZSME=ZEMC=ZEDC,從而可以證到ZEOD=ZEO]C=90°.由直線DM的解析式為y=3x+3可得OD=1,OM=3.設(shè)OO1的半徑為r.在RtAMOO1中利用勾股定理就可解決問題.（2）過點01作Of丄EG于P,過點01作Of丄BC于Q,連接EO】、DB，如圖2.由ABIDC可證到BD=AC,易證四邊形OfFQ是矩形，從而有Of=FQ,ZPO1Q=90°，進(jìn)而有ZEOp=ZCO1Q，從而可以證到厶EPO*△CQO1，則有PO1=QO1.根據(jù)三角形中位線定理1可得FQ=-BD.從而可以得到BF+CF=2FQ=AC.厶（3）連接EO1，ED,EB,BG,如圖3.易證EFIBD,則有ZGEB=ZEBD,從而有BG=ED，也就有BG=DE.在RtAEOD中運用勾股定理求出ED,就可解決問題.詳解：（1）連接ED、EC、EO]、MO1，如圖1.TME平分ZSMC,???ZSME=ZEMC.TZSME=ZECD,ZEMC=ZEDC,AZECD=ZEDC,AZEOD=ZEOC.TZEO]D+ZEO]C=180°,AZEOD=ZEOC=90°.T直線DM的解析式為y=3x+3,A點M的坐標(biāo)為（0,3）,點D的坐標(biāo)為（-1,0）,AOD=1,OM=3.設(shè)OO]的半徑為r,則MO]=DO]=r.在RtAMOO1中，(r-1)2+32=r2.解得：r=5,???001=4,E0]=5,???OO]半徑為5,點E的坐標(biāo)為(4,5).BF+CF=AC.理由如下：過點O]作Of丄EG于P,過點O]作Of丄BC于Q,連接EO].DB,如圖2.vABIIDC,?ZDCA=ZBAC,?ad=BC,:.BD=AC,?BD=AC.???Of丄EG,O]Q丄BC,EF丄BF,?ZO]PF=ZPFQ=ZO]QF=90°,?四邊形OfFQ是矩形，O]P=FQ,ZPO]Q=90°,?ZEO]P=90°-ZPO]C=ZCO]Q.'/EOP=ZCOQ11在厶EPO]和厶CQO]中，＜ZEPO]=ZCQO],OE=OC11△EPO梓△CQO],?PO^QO],?FQ=QO].vQO]丄BC,?BQ=CQ.11CO]=DO],?O]Q=—BD,?.FQ=—BD.厶厶?:BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,?BF+CF=BD=AC.連接EO],ED,EB,BG,如圖3.DC是OO]的直徑，?ZDBC=90°,?ZDBC+ZEFB=180°,?EFIBD,ZGEB=ZEBD，?BG=ED，?BG=DE.vDO=EO=5,EO丄DO,?DE=5、遼,?BG=5、迂,1111?弦BG的長度不變，等于5邁.EEDDqC02aBB上AA圖EEDDqC02aBB上AA圖2點睛：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.而由ABIDC證到AC=BD是解決第(2)小題的關(guān)鍵，由EGIDB證到BG=DE是解決第(3)小題的關(guān)鍵.如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，小圓直徑AE的延長線-與大圓交于點B,點D在大圓上，BD與小圓相切于點F,AF的?延長線與大圓相交于點C,且CE丄BD.找出圖中相等的線段并證明.【解析】試題分析：由AE是小OO的直徑，可得OA=OE,連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OF丄BD,然后由垂徑定理，可證得DF=BF，易證得OFIICE，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得AF=CF，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AD=BC，AB=CD.然后連接OD、OC,可證得△AOD竺△EOC，則可得BC=AD=CE=AE.試題解析：圖中相等的線段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE.證明如下：TAE是小OO的直徑，OA=OE.連接OF，TBD與小OO相切于點F，.OF丄BD.TBD是大圓O的弦，.DF=BF.TCE丄BD，.CEIOF，.AF=CF..四邊形ABCD是平行四邊形.-AD=BC,AB=CD.TCE：AE=OF：AO，OF=AO，.AE=EC.連接OD、OC，TOD=OC，ZODC=ZOCD.TZAOD=ZODC,ZEOC=ZOEC,.ZAOC=ZEOC，.△AOD竺△EOC,.AD=CE..BC=AD=CE=AE.【點睛】考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，小心不要漏解．5.如圖，AB是半圓0的直徑，半徑0C丄AB,0B=4,D是0B的中點，點E是弧BC上的動點，連接AE，DE．當(dāng)點E是弧BC的中點時，求△ADE的面積；3若tanZAED二§，求AE的長；點F是半徑0C上一動點，設(shè)點E到直線0C的距離為口，當(dāng)厶DEF是等腰直角三角形時，求m的值.16【答案】（1）S=6\2；（2）AE—5；（3）m=2、〔3，m=2*'2，ADE5m=、門-1.【解析】【分析】（1）作EH丄AB,連接OE,EB,設(shè)DH=a，貝HB=2-a，OH=2+a，則EH=OH=2+a,根據(jù)RtAAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出S^ADE的值；AFAD（2）作DF丄AE,垂足為F,連接BE，設(shè)EF=2x,DF=3x，根據(jù)DFIIBE故=——,EFBD得出AF=6x，再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2，即可求出x,進(jìn)而求出AE的長;(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作EH丄AB，連接OE,EB,設(shè)DH=a，貝HB=2-a,OH=2+a,???點E是弧BC中點，ZCOE=ZEOH=45°,

EH=0H=2+a,在RtAAEB中，EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=±2p'2-2,.a=2邁-2,EH=2邁,ODHB(2)如圖，作DF丄AE,垂足為F,連接BE設(shè)EF=2x,DF=3x???DFIIBE.AF_AD…~EF~~BDAF6…——=32x2.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=I<5(3)當(dāng)點D為等腰直角三角形直角頂點時，如圖設(shè)DH=a由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,

乙DFO=ZEDH△ODF竺△HED.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH?BH(2)2=(6+a)?(2-a)解得a=±2朽-2m=2J3當(dāng)點E為等腰直角三角形直角頂點時，如圖同理得△EFG竺△DEH設(shè)DH=a，貝9GE=a,EH=FG=2+a在RtAABE中，EH2=AH?BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2^2-2.m=2\迂當(dāng)點F為等腰直角三角形直角頂點時，如圖同理得△EFM竺△FDO設(shè)OF=a,貝9ME=a，MF=OD=2.EH=a+2在RtAABE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±J7-1m=\：7-1【點睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì).6.如圖1,在RtAABC中，ZABC=90°,BA=BC，直線MN是過點A的直線CD丄MN于點D,連接BD.觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點B作BE丄BD，交MN于點E,進(jìn)而得出：DC+AD=BD．(2)探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△ABD面積取得最大值時，若CD長為1,請直接寫DN圖1.V圖DN圖1.V圖2DBD的長．【答案】(1)€2；(2)AD-DC=J2BD；(3)bd=ad=€2+1.【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系過點B作BE丄BD，交MN于點E.AD交BC于O,證明ACDB^AAEB，得到CD=AE,EB=BD,根據(jù)ABED為等腰直角三角形，得到DE=42BD,再根據(jù)DE=AD-AE=AD-CD，即可解出答案.根據(jù)A、B、C、D四點共圓，得到當(dāng)點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.在DA上截取一點H,使得CD=DH=1，則易證CH=AH=72,由BD=AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，由題意：ABAE空ABCD,AE=CD,BE=BD,CD+AD=AD+AE=DE,???ABDE是等腰直角三角形，.DE=邁BD,.DC+AD=p2BD,故答案為〔2?(2)AD-DC=J2bD.證明：如圖，過點B作BE丄BD，交MN于點E.AD交BC于O.ZABC=ZDBE=90。,ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,ZABE=ZCBD.ZBAE+ZAOB=90°,ZBCD+ZCOD=90°,ZAOB=ZCOD,ZBAE=ZBCD,ZABE=ZDBC.又AB=CB,ACDB^AAEB,CD=AE,EB=BD,.ABD為等腰直角三角形,de=J2BD.DE=AD—AE=AD—CD,.AD—DC=\2BD.(3)如圖3中,易知A、B、C、D四點共圓,當(dāng)點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.此時DG丄AB,DB=DA,在DA上截取一點H,使得CD=DH=1,則易證CH二AH二j2,…BD二AD=\2+1.【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用,正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.7.如圖1,AB為半圓0的直徑，半徑0P丄AB,過劣弧AP上一點D作DC丄AB于點C.連接DB,交0P于點E,ZDBA=22.5°.⑴若0C=2,則AC的長為;⑵試寫出AC與PE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；⑶連接AD并延長，交0P的延長線于點G,設(shè)DC=x,GP=y,請求出x與y之間的等量關(guān)系式.(請先補(bǔ)全圖形,再解答)【答案】⑴2叵-2；⑵見解析；⑶y=2x【解析】【分析】如圖，連接OD,則有ZAOD=45°,所以△DOC為等腰直角三角形，又OC=2,所以DO=AO=2，故可求出AC的長；連接AD,DP,過點D作DF丄0P,垂足為點F.證AC=PF或AC=EF,證DP=DE證PF=EF=丄PE，故可證出PE=2AC；2首先求出OD=^2CD=、遼x，再求AB=2、遼x，再證△DGE里△DBA,得GE=AB=2邁X，由PE=2AC得PE=2(邁x-x)，再根據(jù)GP=GE—PE可求結(jié)論.【詳解】(1)連接OD,如圖，ZB=22.5°,ZDOC=45°,TDC±AB.△DOC為等腰直角三角形，TOC=2,???OD=2$2,.A°=2J2,.AC=AO-OC=2邁2.⑵連接AD,DP,過點D作DF丄0P,垂足為點F.TOP±AB,.ZPOD=ZDOC=45°,.AD=PD,T△DOC為等腰直角三角形，.DC=CO,易證DF=CO,.DC=DF,RtADAC竺RtADPF,.PF=AC,TDO=AO,ZDOA=45°.ZDAC=67.5°.ZDPE=67.5°,TOD=OB,ZB=22.5°,.ZODE=22.5°.ZDEP=22.5°+45°=67.5°.ZDEP=ZDPEPF=EF=-PE2.PE=2AC(3)如圖2,由/DCO=90°,ZDOC=45°得OD=j2CD=y'2x??AB=2OD=2払vAB是直徑，.ZADB=ZEDG=90°,由(2)得AD=ED,ZDEG=ZDAC△DGE^△DBAGE=AB=2\；'2xvPE=2ACPE=2&2x-x)GP=GE—PE=2<2x-2Q2x-x)即：y=2x【點睛】本題是一道圓的綜合題，涵蓋的知識點較多，難度較大，主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握并運用這些知識是解題的關(guān)鍵.8如圖，AB為OO的直徑，BC為OO的弦，過O點作OD丄BC,交OO的切線CD于點D,交OO于點E,連接AC、AE，且AE與BC交于點F.(1)連接BD,求證：BD是OO的切線；(2)若AF：EF=2：1,求tanZCAF的值.【答案】⑴證明見解析；⑵弓【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ZOBD=ZOCD=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；根據(jù)已知條件得到ACIIDE，設(shè)OD與BC交于G,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到11AC：EG=2：1,EG=AC,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OG=二AC于是得到AC=OE,求得/ABC=30°，即可得到結(jié)論.【詳解】證明：(1)TOC=OB,0D丄BC,ZCOD=ZBOD,在厶COD與厶BOD中，'OC=OB<ZCOD=ZBOD,OD=0D.△COD竺△BOD,.ZOBD=ZOCD=90°，.BD是OO的切線;(2)解：TAB為OO的直徑，AC丄BC,TOD丄CB,.ACIIDE,設(shè)OD與BC交于G,TOEIAC,AF：EF=2：1,1.AC：EG=2：1,即卩EG=_AC,2TOGIAC,OA=OB,OG=1AC,211OG+GE=2AC+2AC=AC'.AC=OE,.AC=AB,2.ZABC=30°.ZCAB=60°,CE=BE,ZCAF=ZEAB=1ZCAB=30°,2..tanZCAF=tan30°=【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．9.如圖，已知等邊△ABC,AB=16，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D,過點D作DF丄AC,垂足為F,過點F作FG丄AB,垂足為G,連結(jié)GD.求證：DF是O0的切線；求FG的長；求tanZFGD的值.【答案】⑴證明見解析；(2)6「：；(3)'.【解析】試題分析：⑴連接OD,根據(jù)等邊三角形得出ZA=ZB=ZC=60°,根據(jù)OD=OB得到ZODB=60°,得到ODIIAC,根據(jù)垂直得出切線；(2)根據(jù)中位線得出BD=CD=6，根據(jù)RtACDF的三角函數(shù)得出CF的長度，從而得到AF的長度，最后根據(jù)RtAAFG的三角函數(shù)求出FG的長度；⑶過點D作DH丄AB,根據(jù)垂直得出FGIIDH,根據(jù)RtABDH求出BH、DH的長度，然后得出ZGDH的正切值，從而得到ZFGD的正切值.試題解析：⑴如圖①，連結(jié)OD,T△ABC為等邊三角形，???ZC=ZA=ZB=60°,而OD=OB,?△ODB是等邊三角形，ZODB=60°,?ZODB=ZC,ODIIAC,TDF丄AC,?OD丄DF,?DF是OO的切線T0DIIAC，點O為AB的中點，?OD為厶ABC的中位線，BD=CD=6.在RtACDF中，ZC=60°,?ZCDF=30°,CF=CD=3,?AF=AC-CF=12-3=9在RtAAFG中，TZA=6