函數(shù)的單調(diào)性-知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1.單調(diào)函數(shù)的定義2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間.注意：關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)注意哪些問(wèn)題？(1)定義中x1，x2具有任意性，不能是規(guī)定的特定值．(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；(3)定義的兩種變式：設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么①?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．單調(diào)區(qū)間的表示注意哪些問(wèn)題？單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．知識(shí)點(diǎn)二單調(diào)性的證明方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法(1)定義法:利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并適當(dāng)變形(“分解因式”、配方成同號(hào)項(xiàng)的和等)；③依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性．(2)導(dǎo)數(shù)法:設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)．如果f′(x)>0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)．注意：(補(bǔ)充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限個(gè)，則如果f′(x)，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)，則f(x)在區(qū)間D內(nèi)為減函數(shù)．（2）單調(diào)性的判斷方法：定義法及導(dǎo)數(shù)法、圖象法、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)、用已知函數(shù)的單調(diào)性等(補(bǔ)充)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論1．若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增(減)函數(shù)．2．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為減(增)函數(shù)，如果同時(shí)有f(x)>0，則為減(增)函數(shù)，為增(減)函數(shù)．3．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性．4．y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]為減函數(shù)．簡(jiǎn)稱(chēng)”同增異減”5.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反．二、例題分析： （一)函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明判斷下列說(shuō)法是否正確(1)函數(shù)f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．()(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在其定義域上是減函數(shù)．()(3)已知f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝－2x，則y＝f(x)－g(x)在定義域上是增函數(shù)．()答案：√×√例1.(2014·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x＋1)在(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并證明．法一：定義法設(shè)－1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x1＋1)－eq\f(ax2,x2＋1)＝eq\f(ax1x2＋1－ax2x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(ax1－x2,x1＋1x2＋1)∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)y＝f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．同理當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函數(shù)y＝f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．法二：導(dǎo)數(shù)法1.判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域；2.用定義法判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值—作差—變形—判號(hào)—定論，其中變形為關(guān)鍵，而變形的方法有因式分解、配方法等；3.用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)單快捷，應(yīng)引起足夠的重視（二）求復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間例1求函數(shù)y＝x－|1－x|的單調(diào)增區(qū)間y＝x－|1－x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1.))作出該函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．例2.求函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的單調(diào)區(qū)間．解析:令u＝x2－4x＋3，原函數(shù)可以看作y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u與u＝x2－4x＋3的復(fù)合函數(shù)．令u＝x2－4x＋3>0.則x<1或x>3.∴函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，且開(kāi)口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是減函數(shù)，在(3，＋∞)上是增函數(shù)．而函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,3))u在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴y＝logeq\s\do8(\f(1,3))(x2－4x＋3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)．注意：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．例2.（2）(補(bǔ)充)答案：增區(qū)間：；減區(qū)間：練習(xí):答案：增區(qū)間：；減區(qū)間：（三）利用單調(diào)性解（證）不等式及比較大小已知函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【規(guī)范解答】∵函數(shù)f(x)＝log2x＋eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，∴當(dāng)x1∈(1,2)時(shí)，f(x1)<f(2)＝0，當(dāng)x2∈(2，＋∞)時(shí)，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.例1.（2）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))則不等式f(a2－4)>f(3a)的解集為()A．(2,6)B．(－1,4)C．(1,4)D．(－3,5)【規(guī)范解答】作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4，所以不等式的解集為(－1,4)．注意:本例分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以并!（四）已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例1.已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，2)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2]D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))【規(guī)范解答】函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8))).例2.(1)（補(bǔ)充）如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案][－eq\f(1,4)，0][解析](1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上單調(diào)遞增，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－eq\f(1,a)，因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，所以a<0，且－eq\f(1,a)≥4，解得－eq\f(1,4)≤a<0.綜上所述－eq\f(1,4)≤a≤0.例2.(2)（補(bǔ)充）若f(x)＝x3－6ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)，則a的取值范圍是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a若a≤0，則f′(x)≥0，∴f(x)單調(diào)增，排除A；若a>0，則由f′(x)＝0得x＝±eq\r(2a)，當(dāng)x<－eq\r(2a)和x>eq\r(2a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)增，當(dāng)－eq\r(2a)<x<eq\r(2a)時(shí)，f(x)單調(diào)減，∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－eq\r(2a)，eq\r(2a))，從而eq\r(2a)＝2，∴a＝2.變式：若f(x)＝x3－6ax在區(qū)間(－2,2)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是？[點(diǎn)評(píng)]f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減是不同的，應(yīng)加以區(qū)分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的兩根解得a＝2.例2.(3)（補(bǔ)充）