安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)師范大學(xué)附中2022年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．2．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．3．已知雙曲線：，，為其左、右焦點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．5．一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖1放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，如圖2放置容器時(shí)，液面以上空余部分的高為，則（）A． B． C． D．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．在正方體中，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過，設(shè)球的半徑分別為，則（）A． B． C． D．8．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．29．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列中，，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．12．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圖（1）是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.14．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的焦距為2c，過C外一點(diǎn)P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A、B，若|PA|＝|AF1|，則_____.15．設(shè)平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.16．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點(diǎn)，若，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：；（2）設(shè)，在不單調(diào)，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）已知函數(shù),．（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x＜0時(shí)，研究函數(shù)F（x）=h（x）﹣g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．19．（12分）每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會(huì)選擇利用手機(jī)上的打車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行,出租車公司的訂單數(shù)就會(huì)增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí),該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；（2）天氣預(yù)報(bào)未來(lái)5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：20．（12分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．求證：平面平面；是否存在滿足的點(diǎn)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點(diǎn)；（2）平面平面.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．2．B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．4．C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.5．B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中，液面以上空余部分的體積為；在圖2中，液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑，根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是底邊為，高為的等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，如圖：由底面邊長(zhǎng)可知，底面三角形的頂角為，由正弦定理可得，解得，三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心，所以，該幾何體外接球的表面積為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題，由三視圖求幾何體的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體，設(shè)，兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出，進(jìn)而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑，也即點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離，因此球內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)，兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，則，所以.又因?yàn)?，因此，得，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)8．D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9．D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．10．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.11．B【解析】

先根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對(duì)于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.12．D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.14．【解析】

根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，從而得到點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，則有b＝c，解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因?yàn)閨PA|＝|AF1|，所以點(diǎn)A是線段PF1的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因?yàn)辄c(diǎn)P（c，2c），所以PF2⊥x軸，則|PF2|＝2c，所以O(shè)A⊥x軸，則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，所以|OA|＝b，則2b＝2c，所以b＝c，ac，設(shè)B（c，m）（m＞0），則，解得mc，所以|BF2|c，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，考查直線位置關(guān)系的判斷，方程思想，屬于中檔題.15．【解析】

根據(jù)已知條件計(jì)算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16．【解析】

建系，設(shè)設(shè)，由可得，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調(diào)遞減，故，令，記，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可；（2）由在上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調(diào)遞減，令，記，則在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增；，（2），，在上不單調(diào)，在上有正有負(fù)，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.于是知（i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)增，，，.（ii）當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意.綜上所述，【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.18．（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導(dǎo)數(shù)，討論a＞1和a≤1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F'（x）的單調(diào)性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，令；由（2）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，對(duì)x＜0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證．【詳解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），則，①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞時(shí)，H'（x）→+∞，則?x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0進(jìn)而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)H（x）＜H（0）=0，即當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，則F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時(shí)，F(xiàn)'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（﹣∞，0）無(wú)零點(diǎn)；②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，進(jìn)而F（x）在遞減，在遞增，，且x→﹣∞時(shí)，，F(xiàn)（x）在上有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，故F（x）在（﹣∞，0）有一個(gè)零點(diǎn)．綜合①②，當(dāng)a≤﹣1時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a＞﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，令，則即；由（Ⅱ）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，對(duì)x＜0恒成立，令，則，所以；故有．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些．19．（1），232；（2）【解析】

(1)根據(jù)公式代入求解；(2)先列出基本事件空間，再列出要求的事件，最后求概率即可.【詳解】解：（1）由表格可求出代入公式求出，所以，所以當(dāng)時(shí)，.所以可預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí)該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)約為232份.（2）記這5天中氣溫不高于的三天分別為，另外兩天分別記為，則在這5天中任意選取2天有，共10個(gè)基本事件，其中恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的有，共6個(gè)基本事件，所以所求概率，即恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于20份的概率為.【點(diǎn)睛】考查線性回歸系數(shù)的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.20．證明見解析；2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可；由，知，所以可得出，因此，的充要條件是，繼而得出的值.【詳解】解：證明：因?yàn)槭钦切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所?