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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高二丈,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈,上棱長(zhǎng)2丈,高2丈,問(wèn):它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺3.設(shè),是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,記().下列兩個(gè)命題()①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A.①正確,②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤4.設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.()A. B. C. D.6.已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b7.如圖在直角坐標(biāo)系中,過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn),則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.8.閱讀下面的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.89.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類(lèi),因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之冪,開(kāi)方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),此點(diǎn)取自朱方的概率為()A. B. C. D.11.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過(guò)這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),,不共線時(shí),的面積的最大值是()A. B. C. D.12.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.14.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,,.若,,,則_____________15.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),記最大值為,則的最小值為_(kāi)_____.16.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長(zhǎng)/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).(1)試估計(jì)的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿(mǎn)足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí),燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì),在一場(chǎng)燈光展中,處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商;②若,則,,.18.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù).).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線與直線其中的一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)極徑.極角(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)已知直線的直角坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的面積.20.(12分)貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會(huì)的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會(huì)提出“堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),建立解決相對(duì)貧困的長(zhǎng)效機(jī)制”對(duì)當(dāng)前和下一個(gè)階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署,即2020年要通過(guò)精準(zhǔn)扶貧全面消除絕對(duì)貧困,實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號(hào)召,某市對(duì)口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開(kāi)展扶貧工作.對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)銷(xiāo)售進(jìn)行指導(dǎo),經(jīng)調(diào)查知,在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi),每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬(wàn)元,未售出的商品,每噸虧損2萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩市場(chǎng)以往100個(gè)銷(xiāo)售周期該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量的頻數(shù)分布如下表:市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)205030市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)106030把市場(chǎng)需求量的頻率視為需求量的概率,設(shè)該廠在下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)噸該產(chǎn)品,在、兩市場(chǎng)同時(shí)銷(xiāo)售,以(單位:噸)表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的需求量,(單位:萬(wàn)元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的銷(xiāo)售總利潤(rùn).(1)求的概率;(2)以銷(xiāo)售利潤(rùn)的期望為決策依據(jù),確定下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸還是噸?并說(shuō)明理由.21.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.22.(10分)已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于,若直線、、的斜率成等差數(shù)列,請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值?若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)的圖象,易知直線過(guò)定點(diǎn),故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),再與切線問(wèn)題相結(jié)合,即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可,即,當(dāng)設(shè)切點(diǎn),則,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,曲線的切線問(wèn)題,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于較難的壓軸題.2.A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:
沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,
則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱,
則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵.3.A【解析】
利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類(lèi)推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.4.C【解析】
作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,,同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6.B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.7.A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點(diǎn),所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型,同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8.C【解析】
根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程,寫(xiě)出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.10.C【解析】
首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類(lèi)型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆?,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡(jiǎn)得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時(shí),的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.12.C【解析】
由題意,模擬程序的運(yùn)行,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的,的值,當(dāng)時(shí),不滿(mǎn)足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.或【解析】試題分析:由,則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系:,已知兩邊及其對(duì)角,求角.用正弦定理;,則;可得.考點(diǎn):運(yùn)用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)15.【解析】
易知,設(shè),,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減令,當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí),,,則則,即故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.16.【解析】
先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)①,,②72【解析】
(1)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)的頻率,然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù),將此平均數(shù)除以(個(gè)小時(shí)),即可得到的估計(jì)值;(2)①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解;②先根據(jù)條件計(jì)算出的取值范圍,然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對(duì)稱(chēng)性,求解出在滿(mǎn)足取值范圍下對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】(1)平均時(shí)間為(分鐘)∴(2)①∵,∴,②∵,,∴∵,,∴∴即最佳時(shí)間長(zhǎng)度為72分鐘.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型(長(zhǎng)度模型)、二項(xiàng)分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計(jì)算,屬于綜合性問(wèn)題,難度一般.(1)如果,則;(2)計(jì)算正態(tài)分布中的概率,一定要活用正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性對(duì)應(yīng)概率的對(duì)稱(chēng)性.18.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡(jiǎn)得到.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),此類(lèi)問(wèn)題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù),本題屬于容易題.19.(1)極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化公式即可;(2)只需算出A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo),利用計(jì)算即可.【詳解】(1)曲線C:(為參數(shù),),將代入,解得,即曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(2)由(1),得點(diǎn)的極坐標(biāo)為,由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為,知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程間的互化以及利用極徑求三角形面積,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.20.(1);(2)噸,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,由題可得,,,,,,代入,計(jì)算可得答案;(2)可取180,190,200,210,220,求出噸和噸時(shí)的期望,比較大小即可.【詳解】(1)設(shè)“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,則,,,,,,;(2)可取180,190,200,210,220,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.,時(shí),平均利潤(rùn)大,所以下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望,是中檔題.21.(1)見(jiàn)解析;(2)(i)(ii)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類(lèi)討論即可求解;(2)(
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