蝴蝶定理和燕尾定理

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點(diǎn) O，那么SABO:SACO BD:DC．梯形中比例關(guān)系 (“梯形蝴蝶定理” )：①S1:S3 a2:b2②S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab；2③S的對應(yīng)份數(shù)為 a b ．等積變形①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖S1:S2 a:b③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，則可知直線AB平行于CD．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等 (長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 )；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應(yīng)角 (相等角或互補(bǔ)角 )兩夾邊的乘積之比．如圖在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖 ⑴(或D在BA的延長線上，上)，

E在

AC則S△ABC:S△ADE (AB AC):(AD AE)如圖，S2 2，S3 4，求梯形的面積．【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營)如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是________平方厘米．梯形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知梯形上底為 2，且三角形 ABO的面積等于三2角形BOC面積的 ，求三角形 AOD與三角形BOC的面積之比．(第十屆華杯賽 )如下圖，四邊形 ABCD中，對角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO 1，并且三角形ABD的面積3，那么OC的長是多少三角形CBD的面積5梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2，問三角形AOD的面積是多少如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積是11，三角形BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積．如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米．如圖面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積．如圖，在長方形ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AEEFFB，求陰影部分的面積．(2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題)已知ABCD是平行四邊形，BC:CE3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是平方厘米．【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是5平方厘米，CED的面積是10平方厘米．問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米(2007年”迎春杯”高年級初賽)如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為___________平方厘米．(98迎春杯初賽)如圖，長方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54，OD的長是16，OB的長是9．那么四邊形OECD的面積是．燕尾定理應(yīng)用【例1】2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD:DC1:2，AD與BE交于點(diǎn)F．則四邊形DFEC的面積等于．【鞏固】如圖，已知BDDC，EC2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分面積.【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是200cm2，E在AC上，點(diǎn)D在BC上，且AE:EC3:5,BD:DC2:3，AD與BE交于點(diǎn)F．則四邊形DFEC的面積等于．【鞏固】如圖，已知BD3DC，EC2AE，BE與CD相交于點(diǎn)O,則△ABC被分成的4部分面積各占△ABC面積的幾分之幾【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是請寫出這4部分的面積各是多少

1，BD

2DC，

CE

2AE

，

AD

與

BE

相交于點(diǎn)

F

，【鞏固】如圖，E在BE交于點(diǎn)F．四邊形

AC上，D在BC上，且AE:EC 2:32DFEC的面積等于 22cm，則三角形

,

BD:DC 1:2，AD與ABC的面積 ．三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2，CB3，AMBM，那么三角形AMN(陰影部分)的面積為多少【鞏固】如圖，長方形

ABCD的面積是

2平方厘米，

EC

2DE，F(xiàn)

是DG的中點(diǎn)．陰影部分的面積是多少平方厘米如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB 3BE，平行四邊形 BODC的面積為________．

AD

3AF

，四邊形

AEOF的面積是

12，那么ABCD是邊長為

12厘米的正方形，

E、

F

分別是

AB、BC邊的中點(diǎn)， AF與CE

交于

G，則四邊形

AGCD的面積是

_________平方厘米．如圖所示，在

△ABC中，

BE:EC

3:1，

D是

AE的中點(diǎn)，那么

AF:FC

．【鞏固】在

ABC中，

BD:DC

3:2，

AE:EC

3:1，求OB:OE【鞏固】在

ABC中，

BD:DC

2:1

，

AE:EC

1:3/r