五年級奧數(shù).計(jì)數(shù)綜合.排列組合.教師版

知識(shí)結(jié)構(gòu)排列組合一、排列問題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從n個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個(gè)元素的排列由個(gè)步驟完成：步驟：從個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有()種方法；步驟：從剩下的個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第個(gè)位置，有(種)方法；由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號(hào)右邊從開始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘．二、排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€(gè)不同元素中取個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個(gè)排列全部取出的排列，叫做個(gè)不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．在排列問題中，有時(shí)候會(huì)要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個(gè)整體捆綁在一起進(jìn)行計(jì)算．三、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個(gè)不同元素中取出的個(gè)元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個(gè)組合中的個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個(gè)公式就是組合數(shù)公式．四、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個(gè)公式的直觀意義是：表示從個(gè)元素中取出個(gè)元素組成一組的所有分組方法．表示從個(gè)元素中取出()個(gè)元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個(gè)元素中選出個(gè)元素的分組方法恰是從個(gè)元素中選個(gè)元素剩下的()個(gè)元素的分組方法．例如，從人中選人開會(huì)的方法和從人中選出人不去開會(huì)的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．五、插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個(gè)要求：所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必須全部分完：③參與分物體的組至少都分到1個(gè)物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn)．在有些題目中，已知條件與上面的三個(gè)要求并不一定完全相符，對此應(yīng)當(dāng)對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得它與一般的要求相符，再適用插板法．六、使用插板法一般有如下三種類型：⑴個(gè)人分個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有一個(gè)．這個(gè)時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的個(gè)空隙中放上個(gè)插板，所以分法的數(shù)目為．⑵個(gè)人分個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有個(gè)．這個(gè)時(shí)候，我們先發(fā)給每個(gè)人個(gè)，還剩下個(gè)東西，這個(gè)時(shí)候，我們把剩下的東西按照類型⑴來處理就可以了．所以分法的數(shù)目為．⑶個(gè)人分個(gè)東西，允許有人沒有分到．這個(gè)時(shí)候，我們不妨先借來個(gè)東西，每個(gè)人多發(fā)1個(gè)，這樣就和類型(1)一樣了，不過這時(shí)候物品總數(shù)變成了個(gè)，因此分法的數(shù)目為.

例題精講一．可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個(gè)底數(shù)，哪個(gè)是指數(shù)【例1】（1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法（2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果（3）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法【解析】：（1）34（2）43（3）43【例2】把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案.A3C3【例3】8名同學(xué)爭奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有（）A、83B、38C、A8D、C8【解析】：冠軍不能重復(fù)，但同一個(gè)學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍，把8名學(xué)生看作8家“店”，3項(xiàng)冠軍看作3個(gè)“客”，他們都可能住進(jìn)任意一家“店”，每個(gè)“客”有8種可能，因此共有83種不同的結(jié)果。所以選A二．相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.【例1】五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.360B.188C.216D.96C2A2A2A2=432【解析】：間接法6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，32222422種其中男生甲站兩端的有23232，符合條件的排法故共有288三．相離問題插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是【解析】：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種【例2】書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有種不同的插法（具體數(shù)字作答）【例3】高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是解析】：A解析】：A1A1A1=504789【解析】：不同排法的種數(shù)為=3600【例4】某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是【解析】依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、乙、丙、丁四個(gè)工程形成的5個(gè)空中，可得有=20種不同排法。【例5】某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且已經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對順序不變則該晚會(huì)的節(jié)目單的編排總數(shù)為種.

解析】：A解析】：A1A1A1=99091011【例6】?馬路上有編號(hào)為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種【解析】：把此問題當(dāng)作一個(gè)排對模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決.例7】3個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種數(shù)有多少種3【解析】：解法1、先將3個(gè)人（各帶一把椅子）進(jìn)行全排列有A3,O*O*O*O，在四個(gè)空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A4種，所以每個(gè)人左右兩邊都空位的排法有A1A1A343=24種.解法2：先拿出5個(gè)椅子排成一排，在5個(gè)椅子中間出現(xiàn)4個(gè)空，*O*O*O*O*再讓3個(gè)人每人帶一把椅3子去插空，于是有A4=24種.【例8】停車場劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種8【解析】：先排好8輛車有A8種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9118個(gè)空檔中任選一個(gè)，將空車位置插入有C9種方法，所以共有C9A8種方法.注：題中*表示兀素，O表示空.四．元素分析法（位置分析法）：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的兀素?！纠?】2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）高☆考￡資早源€網(wǎng)☆【解析】：A2A3—36方法一：從后兩項(xiàng)工作出發(fā)，采取位置分析法。A3A3—36A.36種B.12種C.18種D.48種方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.例2】1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種解析】：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。.例3】有七名學(xué)生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種解析】法AA6=3600解析】法AA6=360056法二：A2A5=360065法三：A7一A6一A6=3600766五.多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。高☆考￡資早源€網(wǎng)☆【例1】（1）6個(gè)不同的兀素排成前后兩排，每排3個(gè)兀素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為A）A5A51510A）A5A51510A5A5A5A3B)151053C）A1515小、A5A5A5十A3D)1510533）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法【解析】：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.☆（2）答案：C（3）看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有種，故共有種排法.五．定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.

例1】.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）解析】：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種例2】書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法解析】：法A39解析】：法A39法二：A99【例3】將A、B、C、D、E、F這6個(gè)字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、A36B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法【解析】：法一：法二：A3六．標(biāo)號(hào)排位問題（不配對問題）把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.【例1】將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種☆【解析】：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1=9種填法，選.【例2】編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是（）A10種B20種C30種D60種答案：B【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有（）（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種【解析】：設(shè)四個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫的賀年卡分別為a、b、c、do第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式；第二步，假設(shè)甲取b，則乙的取法可分兩類：（1）乙取a，則接下來丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種情況，接下來丙、丁的取法也都是唯一的。根據(jù)加法原理和乘法原理，一共有3%°+2）=9種分配方式。故選（B）【例4】：五個(gè)人排成一列，重新站隊(duì)時(shí)，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊(duì)方式共有（）（A）60種（B）44種（C）36種（D）24種答案：B六．不同元素的分配問題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式高☆考￡資早源€網(wǎng)☆分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本分成每組都是2本的三個(gè)組；分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本；分給5人每人至少1本。解析】C1C2C31)65解析】C1C2C31)653C1C2C3A32)65333)C2C2C2—6~4_2A334)C2C2C26425)C2C1C1C1C1C1―5—5—4_3—2_AA454例2】將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種用數(shù)字作答）．【解析】：第一步將4名大學(xué)生按，2，1，1分成三組，其分法有;第二步將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有所以滿足條件得分配的方案有

說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配.【例3】5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有(A)150種(B)180種(C)200種(D)280種【解析】：人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有=60種，若是1,1,3，則有=90種，所以共有150種，選A【例4】將9個(gè)(含甲、乙)平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為()A．70B．140C．280D．840答案：(A)【例5】將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有()(A)30種(B)90種(C)180種(D)270種【解析】：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個(gè)班，共有種不同的分配方案，選B.【例6】某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有()種☆A(yù).16種B.36種C.42種D.60種【解析】：按條件項(xiàng)目可分配為與的結(jié)構(gòu)，???故選D；【例7】(1)5本不同的書，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()A、480種B、240種C、120種D、96種答案：.(2)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有多少種C4C4C4—128_A答案：A33答案：3【例8】有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是()A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種【解析】：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.【例9】.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案【解析】：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個(gè)城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種【例10】四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種【解析】：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種.相同元素的分配問題隔板法：【例1】：把20個(gè)相同的球全放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，則有多少種不同的放法【解析】：向1，2，3號(hào)三個(gè)盒子中分別放入0，1，2個(gè)球后還余下17個(gè)球，然后再把這17C2120個(gè)球分成3份，每份至少一球，運(yùn)用隔板法，共有C16120種。例2】10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級，每個(gè)班級至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案【解析】：10個(gè)名額分到7個(gè)班級，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種變式1：7個(gè)相同的小球，任意放入四個(gè)不同的盒子，問每個(gè)盒子都不空的放法有種變式2：馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種【例3】：將4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球、6個(gè)相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個(gè)中，使得有一個(gè)空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種【解析】：1、先從4個(gè)盒子中選三個(gè)放置小球有種方法。2、注意到小球都是相同的，我們可以采用隔板法。為了保證三個(gè)盒子中球的顏色齊全，可以在4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球、6個(gè)相同的紅球所產(chǎn)生的3個(gè)、4個(gè)5個(gè)空擋中分別插入兩個(gè)板。各有、、種方法。3、由分步計(jì)數(shù)原理可得=720種八．多面手問題（分類法---選定標(biāo)準(zhǔn)）【例1】：有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問這樣的8人名單可以開出幾張C4C4+C3ClC4+C4ClC3+C2C4+C4C2+C3C1CiC35452452454545214變式：.有11名外語翻譯人員,其中有5名會(huì)英語,4名會(huì)日語,另外兩名英,日語都精通,從中選出8人,組成兩個(gè)翻譯小組,其中4人翻譯英語,另4人翻譯日語,問共有多少不同的選派方式答案：九．走樓梯問題（分類法與插空法相結(jié)合）【例1】小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級或三級臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有16級臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法【解析】：插空法解題：考慮走3級臺(tái)階的次數(shù)：1）有0次走3級臺(tái)階（即全走2級），那么有1種走法；2）有1次走三級臺(tái)階。（不可能完成任務(wù)）；3）有兩次走3級臺(tái)階，則有5次走2級臺(tái)階：C1=6（a）兩次三級臺(tái)階挨著時(shí)：相當(dāng)于把這兩個(gè)挨著的三級臺(tái)階放到5個(gè)兩級臺(tái)階形成的空中，有C6-6種C2二15（b）兩次三級不挨著時(shí)：相當(dāng)于把這兩個(gè)不挨著的三級臺(tái)階放到5個(gè)兩級臺(tái)階形成的空中，有C6-5種走法。4）有3次（不可能）5）有4次走3級臺(tái)階，則有2次走兩級臺(tái)階，互換角色，想成把兩個(gè)2級臺(tái)階放到3級臺(tái)階形成得空中同（3）考慮挨著和不挨著兩種情況有種C5+Cl=15走法；6）有5次（不可能）故總共有：1+6+15+15=37種。變式：欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有（）（A）34種（B）55種（C）89種（D）144種答案：（C）十．排數(shù)問題（注意數(shù)字“0”）【例1】（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種【解析】：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個(gè)，

個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選.從1,2,3,???，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種【解析】：將分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集,易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.十一．染色問題：涂色問題的常用方法有：(1)可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;(2)根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題?！纠?】將一個(gè)四棱錐S一ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用,那么不同的染色方法的總數(shù)是.【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S,再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、C1A2=60D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別同色，故有C5A4-60種方法。若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S,再從余下的四種顏色中任選兩種染A2A與B,由于A、B顏色可以交換，故有4種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C,C1A2CiCi=240而D與C中另一個(gè)只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有C5A4C2C2-240種方法。A5二120若恰用五種顏色染色，有A5-0種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20.【解析二】設(shè)想染色按S—A—B—C—D的順序進(jìn)行，對S、A、B染色，有5x4x3=60種染色方法。由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時(shí)(此時(shí)C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有l(wèi)x3+2x2=7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60x7=420【解析三】可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個(gè)區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法總體實(shí)施分步完成,可分為四大步:給S涂色有5種方法；給A涂色有4種方法(與S不同色)；給B涂色有3種方法(與A,S不同色)；給C,D涂色.當(dāng)C與A異色時(shí),C,D都有2種涂色方法；當(dāng)C與A同色時(shí),C有一種涂色方法(與A同色)，D有3種涂色方法.給C,D涂色共有2X2+3=7種方法.由分步計(jì)數(shù)原理共有5X4X3X7=420種方法［規(guī)律小結(jié)］涂色問題的常用方法有：(1)可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;(2)根據(jù)相對區(qū)域是否同色分類討論;(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問題。十二．“至多”“至少”問題用間接法或分類:十三．幾何中的排列組合問題:亠丄二1匚二100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱【例1】已知直線ab(a，b是非零常數(shù))與圓X2+二100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有C2=6612C1=12其中關(guān)于原點(diǎn)對稱的有4條不滿則條件切線有C12=12,12個(gè)其中平行于坐標(biāo)軸的有14條不滿則條件66-4+12-14=60答案:60【解析】：圓上的整點(diǎn)有：(土6C2=6612C1=12其中關(guān)于原點(diǎn)對稱的有4條不滿則條件切線有C12=12,12個(gè)其中平行于坐標(biāo)軸的有14條不滿則條件66-4+12-14=60答案:60鞏固】4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法【例1】將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰.請問共有多少種不同的排列方法鞏固】6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法例2】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法鞏固】四年級三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)．整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成．請問如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場順序例3】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法【鞏固】a,b,c,d,e五個(gè)人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法例4】一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求：⑴當(dāng)個(gè)