2019-2020年高中數(shù)學(xué)《全稱量詞與存在量詞-量詞》教案2 新人教A版選修2-1

2019-2020年高中數(shù)學(xué)《全稱量詞與存在量詞-量詞》教案2新人教A版選修2-1教學(xué)目標(biāo)：了解量詞在日常生活中和數(shù)學(xué)命題中的作用，正確區(qū)分全稱量詞和存在量詞的概念，并能準(zhǔn)確使用和理解兩類量詞。教學(xué)重點(diǎn)：理解全稱量詞、存在量詞的概念區(qū)別；教學(xué)難點(diǎn)：正確使用全稱命題、存在性命題；課型：新授課教學(xué)手段：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們?cè)?jīng)遇到過(guò)一類重要的問(wèn)題：給含有“至多、至少、有一個(gè)┅┅”等量詞的命題進(jìn)行否定，確定它們的非命題。大家都曾感到困惑和無(wú)助，今天我們將專門學(xué)習(xí)和討論這類問(wèn)題，以解心中的郁結(jié)。問(wèn)題1：請(qǐng)你給下列劃?rùn)M線的地方填上適當(dāng)?shù)脑~①一紙；②一牛；③一狗；④一馬；⑤一人家；⑥一小船①?gòu)垻陬^③條④匹⑤戶⑥葉什么是量詞？這些表示人、事物或動(dòng)作的單位的詞稱為量詞。漢語(yǔ)的物量詞紛繁復(fù)雜，又有兼表形象特征的作用，選用時(shí)主要應(yīng)該講求形象性，同時(shí)要遵從習(xí)慣性，并注意靈活性。不遵守量詞使用的這些原則，就會(huì)鬧出“一匹?！薄耙活^狗”“一只魚”的笑話來(lái)。二、活動(dòng)嘗試所有已知人類語(yǔ)言都使用量化，即使是那些沒(méi)有完整的數(shù)字系統(tǒng)的語(yǔ)言，量詞是人們相互交往的重要詞語(yǔ)。我們今天研究的量詞不是究其語(yǔ)境和使用習(xí)慣問(wèn)題，而是更多的給予它數(shù)學(xué)的意境。問(wèn)題2：下列命題中含有哪些量詞？（1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；（2）存在實(shí)數(shù)x，滿足x2≥0；（3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理數(shù)x，使得x2－2＝0成立；（5）對(duì)于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s使得s=n×n；（6）有一個(gè)自然數(shù)s使得對(duì)于所有自然數(shù)n，有s=n×n；上述命題中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全體和部分的量詞。三、師生探究命題中除了主詞、謂詞、聯(lián)詞以外，還有量詞。命題的量詞，表示的是主詞數(shù)量的概念。在謂詞邏輯中，量詞被分為兩類：一類是全稱量詞，另一類是存在量詞。全稱量詞：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表達(dá)的邏輯為：“對(duì)宇宙間的所有事物x來(lái)說(shuō)，x都是F?！崩洌骸八械聂~都會(huì)游泳?！贝嬖诹吭~：如“有”、“有的”、“有些”等。其表達(dá)的邏輯為：“宇宙間至少有一個(gè)事物x，x是F。”例句：“有的工程師是工人出身?！焙辛吭~的命題通常包括單稱命題、特稱命題和全稱命題三種。單稱命題：其公式為“（這個(gè)）S是P”。例句：“這件事是我經(jīng)辦的?！眴畏Q命題表示個(gè)體，一般不需要量詞標(biāo)志，有時(shí)會(huì)用“這個(gè)”“某個(gè)”等。在三段論中是作為全稱命題來(lái)處理的。全稱命題：其公式為“所有S是P”。例句：“所有產(chǎn)品都是一等品”。全稱命題，可以用全稱量詞，也可以用“都”等副詞、“人人”等主語(yǔ)重復(fù)的形式來(lái)表達(dá)，甚至有時(shí)可以沒(méi)有任何的量詞標(biāo)志，如“人類是有智慧的?！碧胤Q命題：其公式為“有的S是P”。例句：“大多數(shù)學(xué)生星期天休息”。特稱命題使用存在量詞，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。問(wèn)題3：判斷下列命題是全稱命題，還是存在性命題？（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；（3）方程2x2＋1=0有實(shí)數(shù)根；（4）沒(méi)有一個(gè)無(wú)理數(shù)不是實(shí)數(shù)；（5）如果兩直線不相交，則這兩條直線平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；分析：（1）存在性命題；（2）全稱命題；（3）存在性命題；（4）全稱命題；（5）全稱命題；（6）全稱命題；四、數(shù)學(xué)理論1．開語(yǔ)句：語(yǔ)句中含有變量x或y，在沒(méi)有給定這些變量的值之前，是無(wú)法確定語(yǔ)句真假的．這種含有變量的語(yǔ)句叫做開語(yǔ)句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.2．表示個(gè)體常項(xiàng)或變項(xiàng)之間數(shù)量關(guān)系的詞為量詞。量詞可分兩種：(1)全稱量詞日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“一切的”，“所有的”，“每一個(gè)”，“任意的”，“凡”，“都”等詞可統(tǒng)稱為全稱量詞，記作、等，表示個(gè)體域里的所有個(gè)體。(2)存在量詞日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“存在”，“有一個(gè)”，“有的”，“至少有一個(gè)”等詞統(tǒng)稱為存在量詞，記作，等，表示個(gè)體域里有的個(gè)體。3．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，含有存在量詞的命題稱為存在性稱命題。全稱命題的格式：“對(duì)M中的所有x，p(x)”的命題，記為:存在性命題的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命題，記為:注：全稱量詞就是“任意”，寫成上下顛倒過(guò)來(lái)的大寫字母A，實(shí)際上就是英語(yǔ)"any"中的首字母。存在量詞就是“存在”、“有”，寫成左右反過(guò)來(lái)的大寫字母E，實(shí)際上就是英語(yǔ)"exist"中的首字母。存在量詞的“否”就是全稱量詞。五、鞏固運(yùn)用例1判斷以下命題的真假：（1）（2）（3）（4）分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；例2指出下述推理過(guò)程的邏輯上的錯(cuò)誤：第一步：設(shè)a=b，則有a2=ab第二步：等式兩邊都減去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式兩邊都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：兩邊都除以b得，2=1分析：第四步錯(cuò)：因a-b＝0，等式兩邊不能除以a-b第六步錯(cuò)：因b可能為0，兩邊不能立即除以b，需討論。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命題，不是全稱命題，由此得到的結(jié)論不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命題，不是全稱命題。例3判斷下列語(yǔ)句是不是全稱命題或者存在性命題，如果是，用量詞符號(hào)表達(dá)出來(lái)。（1）中國(guó)的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除數(shù)；（3）任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)；（4）每一個(gè)向量都有方向；分析：（1）全稱命題，河流x∈{中國(guó)的河流}，河流x注入太平洋；（2）存在性命題，0∈R，0不能作除數(shù)；（3）全稱命題，x∈R，；（4）全稱命題，，有方向；六、回顧反思要判斷一個(gè)存在性命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；要判斷一個(gè)存在性命題為假，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。要判斷一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。即全稱命題與存在性命題之間有可能轉(zhuǎn)化，它們之間并不是對(duì)立的關(guān)系。七、課后練習(xí)1．判斷下列全稱命題的真假，其中真命題為（）A．所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)

B．C．對(duì)每個(gè)無(wú)理數(shù)x，則x2也是無(wú)理數(shù)

D．每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)2．將“x2+y2≥2xy”改寫成全稱命題，下列說(shuō)法正確的是（）A．，都有

B．，都有C．，都有

D．，都有3．判斷下列命題的真假，其中為真命題的是A．

B．C．

D．4．下列命題中的假命題是（）A．存在實(shí)數(shù)α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβB．不存在無(wú)窮多個(gè)α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβC．對(duì)任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβD．不存在這樣的α和β，使cos(α+β)≠cosαcosβ－sinαsinβ5．對(duì)于下列語(yǔ)句（1）（2）（3）（4）其中正確的命題序號(hào)是。（全部填上）6．命題是全稱命題嗎？如果是全稱命題，請(qǐng)給予證明，如果不是全稱命題，請(qǐng)補(bǔ)充必要的條件，使之成為全稱命題。參考答案：1．B2．A3．D4．B5．（2）（3）6．不是全稱命題，補(bǔ)充條件：（答案不惟一）當(dāng)時(shí),，2019-2020年高中數(shù)學(xué)《全稱量詞與存在量詞-量詞否定》教案3新人教A版選修2-1教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對(duì)量詞命題的否定，使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化；教學(xué)難點(diǎn)：隱蔽性否定命題的確定；課型：新授課教學(xué)手段：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語(yǔ)，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號(hào)分別記為“”與“”來(lái)表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。二、活動(dòng)嘗試問(wèn)題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）?x∈R，x2-2x+1≥0分析：（1）?，否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；（2），否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；（3），否定：?x∈R，x2-2x+1<0；這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？結(jié)論：從命題形式上看，這三個(gè)全稱命題的否定都變成了存在性命題.三、師生探究?問(wèn)題2：寫出命題的否定（1）p：?x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等邊三角形；（3）p：有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)；（4）p：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直且平分；分析：（1）?x∈R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等邊三角形；（3）任何函數(shù)都有反函數(shù)；（4）對(duì)于所有的四邊形，它的對(duì)角線不可能互相垂直或平分；從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析：,四、數(shù)學(xué)理論1.全稱命題、存在性命題的否定一般地，全稱命題P：?x∈M,有P（x）成立；其否定命題┓P為：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：?x∈M，使P（x）成立；其否定命題┓P為：?x∈M,有P（x）不成立。用符號(hào)語(yǔ)言表示：P:?∈M,p(x）否定為?P:?∈M,?P（x）P:?∈M,p(x）否定為?P:?∈M,?P（x）在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.關(guān)鍵量詞的否定詞語(yǔ)是一定是都是大于小于且詞語(yǔ)的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語(yǔ)必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立所有x不成立

詞語(yǔ)的否定一個(gè)也沒(méi)有至多有n-1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立存在有一個(gè)成立

五、鞏固運(yùn)用例1寫出下列全稱命題的否定：（1）p：所有人都晨練；（2）p：?x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四邊形的對(duì)邊相等；（4）p：?x∈R，x2－x+1＝0；分析：（1）?P：有的人不晨練；（2）?x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對(duì)邊不相等；（4）?x∈R，x2－x+1≠0；例2寫出下列命題的否定。（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。（2）任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0.（4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。（2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對(duì)所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。解題中會(huì)遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡(jiǎn)化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡(jiǎn)單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫出其否定形式。例3寫出下列命題的否定。（1）若x2＞4則x＞2.。（2）若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0。（4）被8整除的數(shù)能被4整除。（5）若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿足＞4，但≤2?；蛘哒f(shuō)：存在小于或等于2的數(shù)，滿足＞4。（完整表達(dá)為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,若x2＞4則x＞2）（2）否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)，使+-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。）（3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。（4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)（5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無(wú)論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）例4寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。（1）p：若x＞y,則5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,則x2-x﹤2；（3）p：正方形的四條邊相等；（4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。解：（1）?P：若x＞y，則5x≤5y；假命題否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題（2）?P：若x2+x﹤2，則x2-x≥2；真命題否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2）；假命題。（3）?P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。

否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。（4）?P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b﹤0。假命題。否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒(méi)有非空實(shí)解集，則a2-4b﹤0。真命題。評(píng)注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：1．任何命題均有否定，無(wú)論是真命題還是假命題；而否命題僅針對(duì)命題“若P則q”提出來(lái)的。2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。3．原命題“若P則q”的形式，它的非命題“若p，則?q”；而它的否命題為“若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。六、回顧反思在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識(shí)負(fù)載于其它知識(shí)之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。七、課后練習(xí)1．命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是（）A.存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根；B.不存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根；C.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根；D.至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根；2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋ǎ〢．大前提錯(cuò)誤

B．小前提錯(cuò)誤/r/