2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四講冪函數(shù)與二次函數(shù)課件

第四講冪函數(shù)與二次函數(shù)課標(biāo)要求考情分析1.通過具體實(shí)例，結(jié)合y＝x，

的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù).2.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)；能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題1.本講以冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用為主，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)常與方程、不等式等知識(shí)交匯命題，著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合思想.2.題型一般為選擇、填空題，中等難度1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1性質(zhì)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0]上單調(diào)遞減；在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1,1)(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】巧記冪函數(shù)y＝xα的圖象

五個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的大致情況可以歸納為“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即α＞0(α≠1)時(shí)的圖象是拋物線型(α＞1時(shí)的圖象是豎直拋物線型，0＜α＜1時(shí)的圖象是橫臥拋物線型)，α＜0時(shí)的圖象是雙曲線型.解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】(1)注意二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，經(jīng)常分二次項(xiàng)系數(shù)大于零與小于零兩種情況討論. (2)一元二次不等式恒成立的條件①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a＞0且Δ＜0”.②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a＜0且Δ＜0”.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()答案：ABDA.y＝x0的圖象是一條直線B.若冪函數(shù)y＝xn是奇函數(shù)，則y＝xn是增函數(shù)C.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函數(shù)D.當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)題組二走進(jìn)教材點(diǎn)答案：C3.(教材改編題)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0,3]上的最大值為________，最小值為________.答案：62

考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) A.－1 C.3B.2D.2或－1答案：A圖2-4-1A.Ⅵ，ⅦB.Ⅳ，ⅧC.Ⅲ，ⅧD.Ⅲ，Ⅶ

3.已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則n的值為()A.－3B.1C.2D.1或2

解析：由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意.故選B.

答案：B【題后反思】(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

(3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考向1二次函數(shù)的圖象通性通法：拋物線的開口方向、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論.

[例1]如圖2-4-2所示是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論： 圖2-4-2 ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是()A.②④B.①④C.②③D.①③

解析：結(jié)合題中圖象可知該函數(shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；又對(duì)稱軸為x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確.答案：B考向2二次函數(shù)的單調(diào)性

通性通法：處理數(shù)學(xué)中的問題要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解).[例2](多選題)若函數(shù)f(x)＝(x－1)|x＋a|在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的值可能是()A.0B.2C.－2D.－3

解析：根據(jù)題意可知f(x)＝圖2-4-3答案：ABD圖2-4-4考向3二次函數(shù)中的恒成立問題

通性通法：由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的關(guān)鍵解題思路，一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域.[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：由題意可知，f(x)＞2x＋m等價(jià)于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)在[－1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1).

【考法全練】

1.(考向2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.[0,4]

解析：∵f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，∴對(duì)稱軸是x＝2，又f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，則拋物線的開口向下，且f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減，∵f(a)≥f(0)，則f(a)≥f(4)，所以根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合圖象可得0≤a≤4.故選D.答案：D

2.(2021年歷下月考)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，若關(guān)于a的不等式f(x)＞c－1的解集為(m－4，m)，則實(shí)數(shù)c的值為________.答案：－3

3.(考向3)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

⊙分類討論思想在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用[例4]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值.

解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；【反思感悟】

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng).無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.【高分訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值.解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝1.當(dāng)t＋1≤1，即t≤0時(shí)，函數(shù)圖象如圖D4(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；(1)(2)(3)

圖D4

當(dāng)t<1<t＋1，即0<t<1時(shí)，函數(shù)圖象如圖D4(2)所示，