四點(diǎn)共圓(一)復(fù)習(xí)課程

知識(shí)要點(diǎn)】四點(diǎn)共圓的判定方法：1、若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即這四點(diǎn)共圓)。2、若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角的和等于180度，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。3、若一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。5、若AB、CD兩線段相交于P點(diǎn)，且PA-PB=PC-PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。6、若AB、CD兩線段延長(zhǎng)后相交于P點(diǎn)，且PA-PB=PC-PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。7、若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。典例精講】例1、銳角AABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個(gè)點(diǎn)中.能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是()A、4組A、4組B、5組C、6組D、7組例2、如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC=ED。證明：CD//AB；延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A、B、G、F四點(diǎn)共圓.例3、如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上，設(shè)ED與AF相交于點(diǎn)G,若B,C,F,E四點(diǎn)共圓，求證：AG-GF=DG-GE.例4、已知點(diǎn)A(2,0),B(3,5)，直線l過點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C(0,c)，若O、A、B、C四點(diǎn)共圓，則c的

值為(例6、如圖，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，已知AE=m,AC=n,AD,AB為方程x2一14x+mn=0的兩根.A、22B、28

A、22B、28

yC、17D、無(wú)法求出證明：C,B,D,E四點(diǎn)共圓；若ZA=90。，m=4，n=6，求C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑.例7、如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點(diǎn)F.(1)證明：A、E、F、M四點(diǎn)共圓；(2)證明：AC2+BF-BM=AB2.例8、如圖，在平行四邊形ABCD中，ZBAD為鈍角，且AE丄BC,AF丄CD.求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；設(shè)線段BD與(1)中的圓交于M、N.求證：BM=ND.例9、如圖所示，I為AABC的內(nèi)心，求證：ABIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓.例12、如圖，點(diǎn)F是AABC外接圓弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在邊AC上，使得AD=AB,BE=EC。證明:B、E、D、F四點(diǎn)共圓.CC例13、如圖，AH二AC，EB二BC，AE二AK，BH=BM.求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓；若KE=EH，CE=3求線段KM的長(zhǎng).例14、在AABC的邊AB,BC,CA上分別取D,E,外心．證明：D,E,F,O四點(diǎn)共圓；證明：O在ZDEF的平分線上.F.使得DE=BE,FE=CE,又點(diǎn)O是AADF的例15、如圖，CD為AABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC-AE=DC-AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓.（1）證明：CA是AABC外接圓的直徑；（2）若DB二BE二EA，求過B、E、F、C的圓的面積與AABC外接圓面積的比值.例16、如圖，銳角AABC的內(nèi)心為D，過點(diǎn)A作直線BD的垂線，垂足為F，點(diǎn)E為內(nèi)切圓D與邊AC的切點(diǎn).（1）求證：A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；（2）若ZC=50。，求ZDEF的度數(shù).例17、如圖，在正AABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC、AC上，且BD=3BC，CE=|CA，AD，BE相交于點(diǎn)P，求證：（1）P，D，C，E四點(diǎn)共圓；（2）AP丄CP.

強(qiáng)化訓(xùn)練】1、如圖，AB是。O的直徑，弦BD,CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)BE-DE+AC-CE=CE2；(2)E,F,C,B四點(diǎn)共圓.2、如圖，已知AP是。O的切線，P為切點(diǎn)，AC是。O的割線，與。O交于B,C兩點(diǎn)，圓心O在ZPAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).(1)證明A,P,O,M四點(diǎn)共圓；(2)求ZOAM+ZAPM的大小.3、如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為B、C,DC的延長(zhǎng)線交BE于

F,AC的延長(zhǎng)線交BE于E.AD丄DC,D為垂足(1)求證：A、D、F、B四點(diǎn)共圓；(2)求證：EF=FB.4、如圖，已知AABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H,ZB=60。,F在AC上,且AE二AF.(1)證明：B，D，H，E四點(diǎn)共圓；(2)證明：CE平分ZDEF.5、如圖，已知BA是。O的直徑，AD是。O的切線，割線BD、BF分別交。O于C、E，連接AE、CE.求證：BE-BF=BC-BD.6、如圖，0O與。P相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P在。O上,0O的弦BC切。P于點(diǎn)B,CP及其延長(zhǎng)線交OP于D,E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF丄CE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：B、P、E、F四點(diǎn)共圓；

7、如圖所示，已知PA切圓O于A，割線PBC交圓O于B、C,PD丄AB于D,PD與AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交圓0于點(diǎn)F，連接AF.(1)求證：B,C,E,D四點(diǎn)共圓；(2)當(dāng)AB=12,8、如圖，AABC是直角三角形，ZABC=90。.以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連ODEOBD交圓O于點(diǎn)M(1)求證：O,B,D,E四點(diǎn)共圓；(2)求證：2DE2=DM-AC+DM-AB.

EOBD9、如圖所示，在RtABC中，ZACB=90。，點(diǎn)O為三角形外的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與邊AB相半圓于點(diǎn)C，延長(zhǎng)AC交FG于E.32^j.A.(1)求證D、C、E、F四點(diǎn)共圓；(2)若=三，求的值.GB2GF11、如圖所示，AB是。O的直徑，G為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是。O的割線，過點(diǎn)G作AB的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過G作。O的切線，切點(diǎn)為H.求證：(1)C,D,