磁場臨界軌跡圓問題@@

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動問題分析策略河南省盧氏縣第一高級中學(xué)徐建強(qiáng)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)這一特點該問題的解決方法一般為：一定圓心，二畫軌跡，三用幾何關(guān)系求半徑，四根據(jù)圓心角和周期關(guān)系確定運(yùn)動時間。其中圓心的確定最為關(guān)鍵，一般方法為：①已知入射方向和出射方向時，過入射點和出射點做垂直于速度方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌跡的圓心。②已知入射點位置及入射時速度方向和出射點的位置時，可以通過入射點做入射方向的垂線，連接入射點和出射點，做其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心。以上方法簡單明了，但具體求解時，學(xué)生對其軌跡的變化想象不出來，從而導(dǎo)致錯解習(xí)題。如從以上方法出發(fā)，再借助圓規(guī)或硬幣從“動態(tài)圓”角度分析，便可快而準(zhǔn)的解決問題。此類試題可分為旋轉(zhuǎn)圓、縮放圓和平移圓三大類型，下面以2010年高考試題為例進(jìn)行分析。一、旋轉(zhuǎn)圓模型特征帶電粒子從某一點以大小不變而方向不限定（如0—180°范圍內(nèi)）的速度射入勻強(qiáng)磁場中，這類問題都可以歸結(jié)為旋轉(zhuǎn)圓問題，把其軌跡連續(xù)起來觀察可認(rèn)為是一個半徑不變的圓，根據(jù)速度方向的變化以出射點為旋轉(zhuǎn)軸在旋轉(zhuǎn)如圖1。解題時使用圓規(guī)或硬幣都可以快捷畫出其軌跡，達(dá)到快速解答試題的目的。典例解析例1（2010?全國1）如圖2,在0白&區(qū)域內(nèi)存在與xQy平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為8。在，=0時刻，一位于坐標(biāo)原點的粒子源在xQy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0°?180°范圍內(nèi)。已知沿j軸正方向發(fā)射的粒子在r=r0W刻剛好從磁場邊界上P（a，a）點離開磁場。求：

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑R及粒子的比荷q/m；此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與j軸正方向夾角的取值范圍;從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間動態(tài)分析由題知沿j軸正方向發(fā)射的粒子從磁場邊界上P(的a，a)點離開磁場，利用圓規(guī)或硬幣可作出其軌跡圖像如圖3,由于粒子速度方向在0°?180°范圍內(nèi)，其它方向的軌跡可以通過旋轉(zhuǎn)第一個圓得到(0點為旋轉(zhuǎn)點)，如圖4。從圖中可明顯發(fā)現(xiàn)第2問第3問所涉及的粒子軌跡所在位置，利用幾何關(guān)系便可解答此題。解析：(1)初速度與j軸正方向平行的粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖5中的弧6°所示，2/r其圓心為。。由題給條件可以得出/0CP=此粒子飛出磁場所用的時間為t0=R ②設(shè)粒子運(yùn)動速度的大小為U,半徑為R,由幾何關(guān)系可得 3 ③由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有 ④ "免=區(qū)⑤，聯(lián)立②③④⑤式，得 叩［如⑥(2)依題意，同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到O點距離相同。在t0時刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點為圓心、OP為半徑的弧洌上，如圖所示。設(shè)此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為vp>vM.vN。由對稱性可知vp與OP、vM與OM、vN與ON的夾角均為n/3設(shè)vM、vN與j軸正向的夾角分別為勾、％，由幾何關(guān)系有九3%=3⑧，對于所有此時仍在磁場中的粒子，其初速度與j軸正方向所成的夾角e應(yīng)滿足 3 3 ⑨(3)在磁場中飛行時間最長的粒子的運(yùn)動軌跡應(yīng)與磁場右邊界相切，其軌跡如圖6所示。由幾何關(guān)系可知，二°F⑩，由對稱性可知，翊二°F?，從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場所用的時間tm=2t0 ?跟蹤練習(xí)1.（2010?新課標(biāo)）如圖7所示，在0。&、0MyM范圍內(nèi)垂直于xQy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8。坐標(biāo)原點0處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xQy平面內(nèi)，與j軸正方向的夾角分布在0?90°范圍內(nèi)。已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于。/2到。之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的JTOC\o"1-5"\h\z*? ?*■H:?■ ?...■.?*-‘0 O圖7（1） 速度的大??；（2） 速度方向與j軸正方向夾角的正弦。務(wù)、⑴（2一半）矣⑵學(xué)答案： 2網(wǎng) 10二、縮放圓模型特征帶電粒子從某一點以速度方向不變而大小在改變（或質(zhì)量改變）射入勻強(qiáng)磁場，在勻強(qiáng)磁場中做半徑不斷變化的勻速圓周運(yùn)動。把其軌跡連續(xù)起來觀察，好比一個與入射點相切并在放大（速度或質(zhì)量逐漸增大時）或縮?。ㄋ俣然蛸|(zhì)量逐漸減小時）的運(yùn)動圓，如圖8。解題時借助圓規(guī)多畫出幾個半徑不同的圓，可方便發(fā)現(xiàn)粒子軌跡特點，達(dá)到快速解題的目的。典例解析例2（2010?廣東）如圖10（a）所示，左為某同學(xué)設(shè)想的粒子速度選擇裝置，由水平轉(zhuǎn)軸及兩個薄盤叫、N2構(gòu)成，兩盤面平行且與轉(zhuǎn)軸垂直，相距為L，盤上各開一狹縫，兩狹縫夾角?？烧{(diào)（如圖10（b）；右為水平放置的長為d的感光板，板的正上方有一勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為g。一小束速度不同、帶正電的粒子沿水平方向射入叫,d_能通過n2的粒子經(jīng)O點垂直進(jìn)入磁場。O到感光板的距離為2，粒子電荷量為0，質(zhì)量為m，不計重力。（1）若兩狹縫平行且盤靜止，如圖）（c），某一粒子進(jìn)入磁場后，豎直向下打在感光板中心點M上，求該粒子在磁場中運(yùn)動的時間t（2）若兩狹縫夾角為0°，盤勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向如圖9（b）。要使穿過叫、N2的粒子均打到感光板P1P2連線上，試分析盤轉(zhuǎn)動角速度刃的取值范圍（設(shè)通過叫的所有粒子在盤旋轉(zhuǎn)一圈的時間內(nèi)都能到達(dá)N2）。動態(tài)分析通過審題可知，此題是通過粒子軌跡的變化求粒子速度范圍進(jìn)而求圓盤角速度范圍。粒子以不同的速率沿水平方向從O點射入磁場，做半徑不同的勻速圓周運(yùn)動，由左手定則確定這些圓的圓心都在OP］連線上，且以O(shè)點為切點，利用圓規(guī)任畫一個圓，設(shè)想半徑不斷變大，很容易發(fā)現(xiàn)可以打在感光板上的粒子軌跡，找到兩個邊界軌跡，從而解答題目。解析TOC\o"1-5"\h\zd y(1)粒子運(yùn)動半徑為R=2 ①，由牛頓第二定律qvB=m ②，勻速圓周運(yùn)動絲 ,=E=匝④周期T=v③，粒子在磁場中運(yùn)動時間4的日(2)如圖11，設(shè)粒子運(yùn)動臨界半徑分別為K和R2, . _⑥，設(shè)粒子臨界速度分別為七和u2，由②⑤⑥式，得4用 2耳昵若粒子通過兩轉(zhuǎn)盤，由題設(shè)可知口3 ，聯(lián)立⑦⑧⑨，得對應(yīng)轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速分別為： 4履-，也一奇此。所以粒子要打在感光板上，需滿足條件:物L(fēng)…4履。跟蹤練習(xí)2.(2010-全國2)圖12中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為乙電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為場，方向平行于板面并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里.假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域，不計重力。圖12已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量。（2） 已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為4a,求離子乙的質(zhì)量。（3） 若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。思路點撥此題是通過改變粒子質(zhì)量實現(xiàn)軌跡的變化，求解粒子運(yùn)動過程中的臨界條件。（1）畔臂或一*⑵嘴^答案： 2 "三、平移圓模型特征帶電粒子在兩個或更多個并列勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動，粒子從一個勻強(qiáng)磁場進(jìn)入另一個勻強(qiáng)磁場后，若磁場方向相反，根據(jù)左手定則得粒子旋轉(zhuǎn)方向相反，軌跡在交界處必外切，軌跡可認(rèn)為是圓的平移所得，如磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也變再結(jié)合縮放圓處理;若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得粒子運(yùn)動半徑改變，軌跡在交界處必內(nèi)切，軌跡可認(rèn)為兩個半徑不同的圓通過交替平移所得。如圖13所示。圖13典例解析例3（2010?浙江）有一個放射源水平放射出a、p和y三種射線，垂直射入如圖14所示磁場。區(qū)域I和II的寬度均為乙各自存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小8相等，方向相反（粒子運(yùn)動不考慮相對論效應(yīng)）。若要篩選出速率大于七的P粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域II,求磁場寬度d與B和七的關(guān)系。若B=0.0034T,七=0.1c(c是光速)，則可得d；a粒子的速率為0.001c，計算a和Y射線離開區(qū)域I時的距離；并給出去除a和y射線的方法。當(dāng)d滿足第(1)小題所給關(guān)系時，請給出速率在v1<v<v2區(qū)間的P粒子離開區(qū)域I時的位置和方向。請設(shè)計一種方案，能使離開區(qū)域I的。粒子束在右側(cè)聚焦且水平出射。已知：電子質(zhì)量me=9.1x10-31kg,a粒子質(zhì)量ma=6.7x10-27kg,電子電荷量q=1.6x10T9C,■\任忌1+.；斧1時)圖15動態(tài)分析此題是縮放圓和平移圓的結(jié)合應(yīng)用。根據(jù)洛倫茲力提供向心力，。粒子順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)速度逐漸增大，軌跡半徑在I區(qū)域不斷變大，當(dāng)與交界處相切時，速度再增大則進(jìn)入1區(qū)域，由于兩區(qū)域僅磁場方向相反，所以軌跡在兩區(qū)域交界處外切，可通過圓的平移得到粒子運(yùn)動軌跡，如圖15所示。解析:

(1)根據(jù)帶電粒子在磁場中受洛倫茲力作用后做圓周運(yùn)動的規(guī)律：瓣一胡"由臨界條件得d、b和七的關(guān)系為：g占 ②m由②.—MW折小棚m=1m由②(2)由①式可得a粒子的回旋半徑： 的$3x1.6x10^x[].0034 -式得嚴(yán)k1.E或項蹈ZE,豎直方向的距離為:f-g-Twm可見通過區(qū)域I的磁場難以將a射線與y射線分離.可用薄紙擋去a射線，須用厚鉛板擋掉Y射線。圖17圖17在上述磁場條件下，要求速率在v1<v<v2區(qū)間的P粒子離開區(qū)域II時的位置和方R=耍向，先求出速度為^的p粒子所對應(yīng)的圓周運(yùn)動半徑：'硒，該p粒子從區(qū)域i磁場射/疔足一寸用_小=莞(V2—山一說)"出時，垂直方向偏離的距離為： ；同理可得從區(qū)域II射出時，垂直方向偏離的距離為：？〃 ；同理可得，與速度為七對應(yīng)的P粒子垂直方向偏離的距離為：番。速率在七＜02區(qū)間射出的。粒子束寬為Y1—Y