安徽省阜陽市臨泉縣第一中學2023學年高考適應性考試數(shù)學試卷（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．若,,,則下列結論正確的是()A． B． C． D．3．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．5．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④7．若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．8．（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，對任意的，，當時，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對稱軸是 D．函數(shù)的一個對稱中心是10．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．111．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．12．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．近年來，新能源汽車技術不斷推陳出新，新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn)，在汽車市場上影響力不斷增大.動力蓄電池技術作為新能源汽車的核心技術，它的不斷成熟也是推動新能源汽車發(fā)展的主要動力.假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上，車載動力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達到2000次的概率為85%，充放電循環(huán)次數(shù)達到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電，那么他的車能夠充電2500次的概率為______.14．已知橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________．15．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是__________.16．某高校組織學生辯論賽，六位評委為選手成績打出分數(shù)的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.18．（12分）已知函數(shù)，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數(shù)，，滿足，求證：．19．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點，點在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點；（2）平面平面.20．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，21．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由．22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

由已知可得，結合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【題目詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【答案點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.2、D【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【答案點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.3、A【答案解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【題目詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.4、C【答案解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【題目詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【答案點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數(shù)方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.5、B【答案解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【題目詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【答案點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應用.6、D【答案解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.【題目詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【答案點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.7、C【答案解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【題目詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【答案點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉化，考查推理能力，屬于中等題．8、D【答案解析】

利用，根據(jù)誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【題目詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【答案點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.9、D【答案解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【題目詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，，函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，由，故D正確.故選：D【答案點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，屬于基礎題.10、C【答案解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【題目詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【答案點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.11、B【答案解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【題目詳解】由，得，所以．故選：B【答案點睛】本題考查了復數(shù)的除法的運算法則，考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.12、A【答案解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【題目詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【答案點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：，由條件概率公式即得解.【題目詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A，“他的車能夠充電2500次”為事件B，即求條件概率：故答案為：【答案點睛】本題考查了條件概率的應用，考查了學生概念理解，數(shù)學應用，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.14、【答案解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結合橢圓的定義求出,結合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【題目詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【答案點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.15、【答案解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【題目詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當直線經(jīng)過時，最大，且，故的最大值為.故答案為：.【答案點睛】本題考查線性規(guī)劃中非線性目標函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎題.16、【答案解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù)，然后可得結果.【題目詳解】剩下的四個數(shù)為83，85，87，95，且這四個數(shù)的平均數(shù)，這四個數(shù)的中位數(shù)為，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【答案點睛】本題主要考查莖葉圖的識別和統(tǒng)計量的計算，側重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【答案解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點間距離得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【題目詳解】（1）由題可知，設點的坐標為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標軸交點為：，則，故，設，則.令，解得=10.當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù).所以當時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時.故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)解決實際的最值問題，涉及構造函數(shù)法以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實際應用，還考查解題分析能力和計算能力.18、（1）；（2）證明見詳解.【答案解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【題目詳解】解：（1），，，因為的解集為，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，當且僅當，，，等號成立．【答案點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；【答案解析】

（1）推導出，由是的中點，能證明是有中點．（2）作于點，推導出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面．【題目詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中點，是有中點．（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．【答案點睛】本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．20、（1）選取更合適；（2）；（3）時，煤氣用量最小.【答案解析】

（1）根據(jù)散點圖的特點，可得更適合；（