版第2章6節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)

[轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.4.了解指且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．1．對(duì)如果ax＝N(a＞0

且a≠1)，那么x

叫做其中a

叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N

叫做真數(shù)．x＝logaN2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝

N

；②logaab＝b(a＞0，且

a≠1)．a(chǎn)(2)換底公式：log

blogcb＝logca(a，c

均大于0

且不等于1，b＞0)．(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝

logaM＋logaN；a

N②log

M＝，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．logaM－logaN3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0

且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：

(0，＋∞)

值域：

R

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0在(0，＋∞)上為

增函數(shù)

在(0，＋∞)上為

減函數(shù)

4.反函指數(shù)函數(shù)

y＝ax(a＞0

且

a≠1)與對(duì)數(shù)反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)

y＝x

對(duì)稱(chēng)．y＝logax(1)log2x2＝2lo當(dāng)x＞1

時(shí)，logax＞0.(函數(shù)y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)與y＝lg[對(duì)數(shù)函數(shù)

y＝logax(a＞0

且

a≠1)的圖象過(guò)定1a

，－1，函數(shù)圖象不在第二、三象限．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2．已知a＝223，b＝log

1，c＝log31，則(

)B．a(chǎn)＞c＞bD．c＞a＞b01231，b＝log

＜2log

1＝02，c＝log

＞log

1

1，＝A．a(chǎn)＞b＞cC．c＞b＞aD

[∵0＜a＝2

＜2

＝∴c＞a＞b.]則下列結(jié)論成立的A．a(chǎn)＞1，c＞1B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D

[由圖象得到的，其中0＜c＜1.再根據(jù)單調(diào)性可知0＜a＜1.]圖2-6-1a44．(

改編)若

log

3

1(a＞0，且

a≠1)，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(

)＜0

3A.

，4B．(1，＋∞)0

33

D.4，1C.

，4∪(1，＋∞)C

[當(dāng)0＜a＜1

時(shí)，log

3a4＜a3log

a＝1，∴0＜a＜4；當(dāng)a＞1

時(shí)，log

3a4＜alog

a＝1，∴a＞1.即實(shí)數(shù)

a的取值范圍是0

3∪(1，＋∞)．]

，45．(2017·杭州二次質(zhì)檢)計(jì)算：2log510542

3

[2log510＋54以2log43＝2log23＝3.]對(duì)數(shù)的運(yùn)算a

b(1)設(shè)

2a＝5b＝m，且1

1

2，則

m

等于(

)＋

＝A.

10C．20B．10D．1001(2)計(jì)算：lg

4－lg

25÷100—＝

.(1

1

1

∴a＋b＝log2m＋log5m∴m＝

10.(2)原式＝(lg

2－2－lg

52)×100

＝＝

1

lg2

·52

2×10＝(lg＝－20.][成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算ab＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)在運(yùn)算中應(yīng)注意互化．2x，x≥4，fx＋1，x＜4，A．24C．12則f(2B．D．8(2)(2015·浙江高考)計(jì)算：log2222

4

＝

，2log

3＋log

3＝(1)A23＋log23＝8×3＝24，故選A.22

2

22

2

2(2)log

2

＝log 2

－

log

2

＝

1

－

1

＝－

1

；

2log

33×2log43＝3×2log2

3＝3

3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(1)(2016·

焦作一模)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)

y＝loga|x|的圖象大致是(

)A

BD(2)(2017·衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝Clog2x，x＞0，x3

，x≤0，且關(guān)于x

的方程f(x)＋x－a＝0

有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

．B

(2)(1，＋∞) [(1)若函數(shù)

y＝a|x|(a＞0，且

a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則a＞1，故函數(shù)y＝loga|x|的大致圖象如圖所示．故選B.如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a

表示直線(xiàn)在y

軸上截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線(xiàn)y＝－x＋a

與y＝log2x

只有一個(gè)交點(diǎn)．][規(guī)律方法]

1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．2．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形求解．[變式訓(xùn)練

2]

(2017·西城區(qū)二模)如圖

2-6-2，點(diǎn)

A，B

在函數(shù)

y＝log2x＋2的圖象上，點(diǎn)C

在函數(shù)y＝log2x

的圖象上，若△ABC

為等邊三角形，且直線(xiàn)BC∥y

軸，設(shè)點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為(m，n)，則

m＝(

)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222051】A．2C.

2圖2-6-2B．3D.

3D坐標(biāo)為(m＋3，n＋1)．又Alog2m＋2＝n，log2m＋

3＋2＝n＋1，解得m＝3，故選D.]對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用?角度1比較對(duì)數(shù)值的大小(2016·A．logac＜logbcC．a(chǎn)c＜bc卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，則(B．logca＜logcbD．ca＞cb)B

[∵0＜c＜1，∴當(dāng)a＞b＞1

時(shí)，logac＞logbc，A

項(xiàng)錯(cuò)誤；∵0＜c＜1，∴y＝logcx

在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又a＞b＞0，∴l(xiāng)ogca＜logcb，B

項(xiàng)正確；∵0＜c＜1，∴函數(shù)y＝xc在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C

項(xiàng)錯(cuò)誤；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D

項(xiàng)錯(cuò)誤．]?角度2解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式(2016·浙江高考)已知a，b>0

且a≠1，b≠1，若logab>1，則()A．(a－1)(b－1)<0C．(b－1)(b－a)<0D

[法一：logab＞1＝logaa，B．(a－1)(a－b)>0D．(b－1)(b－a)>0當(dāng)a＞1

時(shí)，b＞a＞1；當(dāng)0＜a＜1

時(shí)，0＜b＜a＜1.只有D

正確．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故選D.]?角度3探究對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]

假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)

a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是關(guān)于x的減函數(shù).3分又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是關(guān)于x

的減函數(shù)，∴函數(shù)y＝logau是關(guān)于u

的增函數(shù)，∴a＞1，x∈[1,2]時(shí)，u

最小值為3－2a，7

分f(x)最即a3

＜2，3

2a＝

，10

分故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)為1.12

分[規(guī)律方法]

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要注意以下四點(diǎn)：一是定義域；二是底數(shù)與

1

的大小關(guān)系；三是如果需將函數(shù)解析式變形，一定確保其等價(jià)性；四是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的[思想與方法]對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a＞1

且b＞1

或0＜a＜1

且0＜b＜1

時(shí)logab＞0；當(dāng)a＞1

且0＜b＜1

或0＜a＜1

且b＞1

時(shí)logab＜0.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式求最值等問(wèn)題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決．?dāng)?shù)形結(jié)合；(24．多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖題，可通過(guò)比較圖象與直線(xiàn)y＝1

交進(jìn)行判定．[易錯(cuò)與防范]在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于

0

的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)

y＝logax

的定義域應(yīng)為(0，＋∞