2023屆北京市海淀區(qū)北京一零一中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)考（二）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市海淀區(qū)北京一零一中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)考（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，則下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項(xiàng)是否正確即可．【詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；且集合A是集合B的子集，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．本題選擇C選項(xiàng)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識(shí)，熟記集合的基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.3．已知，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)樗赃xC．【解析】比較大小4．已知公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，且成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為基本量的方程組，求出基本量后可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得或（舍），故，故選：B.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運(yùn)用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問題．5．已知函數(shù)，則的（

）A．圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)B．圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)C．圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在上是減函數(shù)D．圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)【答案】B【分析】由定義判斷函數(shù)奇偶性，由導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性【詳解】，定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，由為增函數(shù)，在，，故在上是增函數(shù).故選：B6．已知函數(shù).則函數(shù)的極值點(diǎn)是（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)為，沒有極大值點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極大值點(diǎn)為，沒有極小值點(diǎn)【答案】C【分析】對(duì)求導(dǎo)，討論和可求出的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，沒有極大值.綜上：當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)為，沒有極大值點(diǎn).故選：C7．在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理可得，因?yàn)椋?，即可得出答?【詳解】如圖，在中，，由正弦定理可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：A.8．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.9．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候，我們通?？梢越柚恍┒?jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡便計(jì)算的效果．10．在中，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出的坐標(biāo)，由題意可得，再逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以設(shè)，則，，所以，所以，即（為任意角），所以（其中），所以的最大值為，最小值為，所以①③錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以（其中）因?yàn)?，所以，所以，所以的最小值為，最大值?4，所以②正確，④錯(cuò)誤，故選：A二、填空題11．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．12．若，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】利用基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】由基本不等式可得，，解得.所以，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍，同時(shí)也考查了指數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13．已知函數(shù)，把方程的根按從小到大順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前項(xiàng)和__________．【答案】【分析】由題可知方程的根即為函數(shù)與直線的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合及等差數(shù)列求和公式即得.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，有，則，當(dāng)時(shí)，有，則，當(dāng)時(shí)，有，則，以此類推,當(dāng)(其中)時(shí)，則，作出函數(shù)與直線的圖象，方程的根即為函數(shù)與直線的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可得方程的根按從小到大順序排成的數(shù)列為0，1，2，3，4，，∴該數(shù)列的前n項(xiàng)和.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)分段函數(shù)的處理方法，分段函數(shù)要分段處理，根據(jù)分段函數(shù)的解析式找出各段函數(shù)的零點(diǎn)，從而得出各個(gè)零點(diǎn)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列是特殊的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式，求出數(shù)列的前項(xiàng)的和.14．滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在，使得，那么我們稱函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).在數(shù)學(xué)中，這被稱為布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，此定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲.布勞威爾（英語：L.E.J.Brouwer），是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于函數(shù)，既存在不動(dòng)點(diǎn)，也存在次不動(dòng)點(diǎn)；②對(duì)于函數(shù)，存在不動(dòng)點(diǎn)，但不存在次不動(dòng)點(diǎn)；③函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)和次不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)都是2；④若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①③④【分析】對(duì)①，由即可判斷；對(duì)②，由零點(diǎn)存在定理說明以及在存在交點(diǎn)即可；對(duì)③，分別用導(dǎo)數(shù)法討論與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)④，分別由參變分離法討論、有唯一解時(shí)a的取值范圍，最后取交集即可【詳解】對(duì)①，，所以0既是不動(dòng)點(diǎn)，也是次不動(dòng)點(diǎn)，①對(duì)；對(duì)②，對(duì)以及，易得，且當(dāng)時(shí)，，故與在必存在交點(diǎn)，即存在次不動(dòng)點(diǎn)，②錯(cuò)；對(duì)③，（1）令，，，故單調(diào)遞增，又，，故存在唯一，使得，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，故僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即僅有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；（2）同理，令,，，故單調(diào)遞增，又，，故存在唯一，使得，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，故僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即僅有2個(gè)次不動(dòng)點(diǎn).③對(duì)；對(duì)④，（1）當(dāng)時(shí)，則，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，則，故要僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即有唯一解，需；（2）當(dāng)時(shí)，則，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，則，故要僅有一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，即有唯一解，需；綜上，僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍是，④對(duì).故選：①③④【點(diǎn)睛】含參函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，（1）一般對(duì)參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理判斷；（2）將參數(shù)分離出來，用導(dǎo)數(shù)法討論不含參數(shù)部分的單調(diào)性，由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖象交點(diǎn)的問題；三、雙空題15．函數(shù)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為.若，則_________；_________.【答案】

2

【分析】根據(jù)函數(shù)相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，結(jié)合，即可求出，求出，再根據(jù)即可求出.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，所以，所以，所以，令，則，所以，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：2；.四、解答題16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】(1)由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．(2)因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．17．已知函數(shù)，.（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域.【答案】（1），或，；（2）.【分析】（1）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于的等式，解出即可.（2）利用三角函數(shù)的輔助角公式化簡，結(jié)合的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出的值域.【詳解】（1）由于的周期是，所以，所以.令，故或，整理得或.故解集為或，.（2）由于，所以.所以由于，，所以.，故，故.所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)已知值求角，考查三角函數(shù)輔助角公式的應(yīng)用以及求正弦型函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案；（2）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可得出答案；（3）求導(dǎo)，分和兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最值，從而可得出答案.【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)椋?/p>

所以曲線在處的切線方程為，即；(2)證明：，當(dāng)時(shí)，由得，，隨著的變化，的變化情況如下表：0單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以存在極小值，且極小值為；(3)解：，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上有零點(diǎn)，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)樵趨^(qū)間上有零點(diǎn)，由（1）可知，，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，

所以，綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了分類討論思想.19．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】(1)因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【分析】（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)的取值情況判斷的正負(fù)情況，進(jìn)而得到的增減情況；（2）對(duì)任意，存在，使得成立，等價(jià)于，然后對(duì)進(jìn)行討論，分別求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，與的變化情況如表所示：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，,所以函數(shù)的最大值為．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．對(duì)任意，存在，使得成立，等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，不合題意．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得或，所以．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則，解得，所以.綜上所述，的取值范圍是．21．已知有限數(shù)列共M項(xiàng)，其任意連續(xù)三項(xiàng)均為某等腰三角形的三邊長，且這些等腰三角形兩兩均不全等.將數(shù)列的各項(xiàng)和記為．(1)若，直接寫出的值；(2)若，求的最大值；(3)若，求的最小值【答案】(1)；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列舉出數(shù)列，即可求得；（2）先構(gòu)造數(shù)列使，再說明不同的等腰三角形只有6個(gè)，故，即可求得的最大值；（3）先構(gòu)造數(shù)列使，再設(shè)T為數(shù)列的每一組連續(xù)三項(xiàng)的和的和，得，列舉出不同的等腰三角形，使和最小，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】(1)邊長為1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三項(xiàng)為1，1，1，則該數(shù)列只有3項(xiàng)，不合題意；若前三項(xiàng)為1，2，2，該數(shù)列只有4項(xiàng)，該數(shù)列只能