橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

《橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》課堂實(shí)錄教師:前一章我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，并且對(duì)曲線和方程的概念有了初步認(rèn)識(shí)，從今天開始學(xué)習(xí)圓錐曲線.那么什么是“圓錐曲線”呢，“圓錐曲線”名稱是怎么來的呢,這是我們引言中需要解決的第一個(gè)問題。（打開幻燈）多媒體展示“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道圖片.打開圓錐曲線課件，教師指出：在初中幾何里我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，得到的截面是一個(gè)圓（演示）。當(dāng)平面與圓錐面的軸所成的角不同時(shí)，就可以截出橢圓、雙曲線、拋物線等不同的曲線，因此，通常把橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。（課件演示），同學(xué)們課下可以動(dòng)手切割圓錐形食物或膠泥等，以加深對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)。通過上面的課件演示，可以看出用一個(gè)平面截圓錐，得到的截面可以是圓、橢圓、雙曲線、拋物線，有些書上把圓作為橢圓的特例，把圓作為圓錐曲線的一種，統(tǒng)一歸在圓錐曲線中。本書為了學(xué)習(xí)方便，先把圓單獨(dú)列出來專門討論，所以本章講的圓錐曲線不再包括圓。教師:生活離不開數(shù)學(xué)，也可以說生活中處處有數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，能否指出生活中常見的圓錐曲線，學(xué)生甲回答:老師，講桌上的水杯傾斜后水面的邊界線（學(xué)生演示）。即傾斜著的圓柱形水杯的水面的邊界線、（橢圓形）學(xué)生乙回答:汽車油罐截面的輪廓線、（橢圓形）學(xué)生丙回答:發(fā)電廠通風(fēng)塔的外形線、（雙曲線形）學(xué)生丁回答:探照燈反光鏡的軸截面的曲線（拋物線）；學(xué)生戊回答:我家梳妝臺(tái)的鏡子等等。教師指出：除了同學(xué)們舉出的實(shí)例，許多天體的運(yùn)行軌道也是圓錐曲線；（幻燈片投影）2007年10月24日8時(shí)05分，搭載著我國(guó)首顆探月衛(wèi)星的嫦娥一號(hào)的長(zhǎng)征三號(hào)甲運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心三號(hào)塔架點(diǎn)火成功發(fā)射。嫦娥飛天了，它帶著中國(guó)人的希望而去，它奔向了故鄉(xiāng) 月球?請(qǐng)問：“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是什么，多媒體展示“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道圖片.（教師用多媒體演示）教師指出:天文學(xué)家是如何計(jì)算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)間的呢，原來海爾?波普彗星運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，通過觀察它運(yùn)行中的一些數(shù)據(jù)，可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程，從而算出它的運(yùn)行周期及軌道的周長(zhǎng)，在太陽(yáng)系中，天體運(yùn)行的軌道除橢圓外，還有拋物線、雙曲線等。（請(qǐng)同學(xué)們看一下太陽(yáng)系中行星的運(yùn)行軌跡，演示課件）今天咱們開始研究圓錐曲線中的橢圓（板書課題?8.13橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程）教師提問：在我們實(shí)際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎,能舉出一些實(shí)例嗎，學(xué)生思考：教師演示課件情境1.生活中，你見過哪些類似橢圓的圖形或物體？課件情境2.讓學(xué)生觀察傾斜的圓柱形水杯的水面邊界線，并從中抽象出數(shù)學(xué)模型教師指出：由此可見，橢圓在現(xiàn)實(shí)世界中是很常見的，學(xué)習(xí)橢圓的有關(guān)知識(shí)也是十分必要的。我們知道，動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的軌跡叫曲線，例如前面學(xué)習(xí)的圓，是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡;譬如給你一枚圖釘，一段細(xì)繩，一支筆你就可以畫出圓，在這個(gè)過程中，誰是定點(diǎn)，誰是動(dòng)點(diǎn)，（學(xué)生集體回答）那么橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡呢,過去的木匠師傅，在做橢圓形的形狀時(shí)，用兩枚圖釘，一塊紙板、一段細(xì)繩、一只筆就能畫出橢圓，現(xiàn)在給你這些物品，你能否畫出橢圓，學(xué)生活動(dòng):讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一塊紙板、一段細(xì)繩、兩枚圖釘；（兩個(gè)人一小組，嘗試探究橢圓的畫法）先讓學(xué)生自己動(dòng)手畫，畫完之后；回答問題：在橢圓的形成過程中，什么是固定不變的，什么是變化的，即誰是動(dòng)點(diǎn)，誰是定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足什么條件,那么橢圓的定義是什么，（學(xué)生討論回答）通過上面的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓的直觀形象，再聯(lián)想圓的定義，引導(dǎo)學(xué)生用語言描述這條軌跡。第1頁(yè)F,F學(xué)生回答:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。12教師指出:別的同學(xué)有沒有補(bǔ)充，學(xué)生補(bǔ)充回答:常數(shù)大于FF12F,FFF定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。1212教師演示橢圓的課件FF教師接著指出：如果常數(shù)等于或者小于，動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何，12學(xué)生回答教師演示課件，投影橢圓定義。F,FFF定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩1212個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距2c。教師指出:研究曲線就要研究曲線的方程，那么橢圓的方程如何,如何推導(dǎo)橢圓的軌跡方程呢，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下求曲線方程的步驟。提問.學(xué)生回答:（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y）

(2)列出方程f(x,y)=0;(3)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。教師指出:請(qǐng)同學(xué)們思考如何建立坐標(biāo)系，如何求出方程，兩人一組，合作完成。教師在此可結(jié)合建立坐標(biāo)系的一般原則，從“對(duì)稱美”和“簡(jiǎn)潔美”出發(fā)作必要的點(diǎn)撥;最后將學(xué)生方案歸納起來，y進(jìn)行評(píng)議、對(duì)比選定下列兩種方案(如圖)yMF1MxxOOFF21F2方案一方案一方案一方案一對(duì)于方案一學(xué)生自己動(dòng)手完成以下三個(gè)步驟(1)建系。(2)設(shè)點(diǎn)。2222(x，c)，y，(x,c)，y,2a(3)列式即：？222a,cx,a(x,c)，y平方整理得？22222222，，a,cx，ay,a(a,c)再平方整理，22xy222,,1xa,c,b并令得：(a>b>0)?這是焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;22ab22yx，,1(a,b,0)(實(shí)物投影學(xué)生的化簡(jiǎn)過程)若選擇方案二建立坐標(biāo)系，方程的形式是，22ab這是焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。yx,y也可以讓學(xué)生合理猜想，學(xué)習(xí)好的學(xué)生還可以根據(jù)列出的兩個(gè)方程形式相同，僅僅位置互換了，做第2頁(yè)22yx，,1(a,b,0)出進(jìn)一步解釋;得出方程的形式是，這是焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。y22ab得出橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程后，要注意讓學(xué)生理解以下幾點(diǎn)：(1)給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后如何分辨焦點(diǎn)所在的位置,(2)三個(gè)字母a,b,c之間的關(guān)系如何，學(xué)生回答：(1)根據(jù)a與b的大小關(guān)系。222(2)a=b+c(七)例題精析例1、填空：22xy，,1(1)已知橢圓的方程為：，則a=，b=，2516c=，焦點(diǎn)坐標(biāo)為:焦距等于;教師點(diǎn)評(píng)：22xy，,1(2)已知橢圓的方程為：，則a=，b=，45c=，焦點(diǎn)坐標(biāo)為:，焦距等于;教師點(diǎn)評(píng)：例2已知橢圓的焦距等于8,橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教師點(diǎn)評(píng)：例3若曲線上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為3,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離等于 教師點(diǎn)評(píng)：課堂練習(xí)(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教師點(diǎn)評(píng)：(2)求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：?a=4，b=1，焦點(diǎn)在x軸上；15?a=4,b=，焦點(diǎn)在Y軸上教師點(diǎn)評(píng)：第3頁(yè)課堂小結(jié)（1）橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系；a,b,c（3）焦點(diǎn)所在的軸與標(biāo)準(zhǔn)方程形式之間的關(guān)系2222yxxy標(biāo)準(zhǔn)方程互換x，y，，，,1a,b,0，,12222，，a,b,0ababyAy1B2MMF1B1OxxAAOBFF12212圖形F2B1A2焦點(diǎn)坐標(biāo)F（-c,0），F(xiàn)（c,0）F（0,c），F(xiàn)（0,-c）1212A（-a，0