2022-2023學(xué)年福建省寧德市東僑經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省寧德市東僑經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，且T14=128，則的最小值是(

)A． B． C．2

D．2參考答案：A考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等比數(shù)列可得a7a8=2，可得+==（a7+a8），由基本不等式求最值可得．解答：解：由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得T14=（a7a8）7=128，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)為正數(shù)可得a7a8=2，∴+==（a7+a8）≥?2=，當(dāng)且僅當(dāng)a7=a8=時(shí)取等號(hào)，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．2.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),若,則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 （）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：A略3.將甲、乙、丙三位新同學(xué)分到2個(gè)不同的班級(jí)，每班至少1人，則甲、乙被分到同一個(gè)班的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先求出將甲、乙、丙三位新同學(xué)分到2個(gè)不同的班級(jí)，每班至少1人的基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被分到同一個(gè)班包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲、乙被分到同一個(gè)班概率．【解答】解：將甲、乙、丙三位新同學(xué)分到2個(gè)不同的班級(jí)，每班至少1人，基本事件總數(shù)n=，甲、乙被分到同一個(gè)班包含的基本事件個(gè)數(shù)m=，∴甲、乙被分到同一個(gè)班概率p===．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．4.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M>0，使|f（x）|≤M|x|對(duì) 一切實(shí)數(shù)x均成立。則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)?，F(xiàn)給出下列函數(shù)①f（x）=2x，②f（x）=sinx+cosx，③f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x1，x2，均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|。其中是F函數(shù)的有（

）

A．3個(gè)

B．2個(gè)

C．1個(gè) D．0個(gè)參考答案：B略5.已知f（1+logax）=．若f（4）=3，則a=（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】利用函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為方程組，求解即可．【解答】解：f（1+logax）=．f（4）=3，可得：，解得x=2，a=，故選：C．6.如圖，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．9C．D．－9參考答案：C7.若橢圓上一點(diǎn)與其中心及長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，則此橢圓的離心率為A．B．

C．D．參考答案：答案：C解析：不妨設(shè)橢圓的方程為，由題意得橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，即，∴，∴，∴．8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2=b2+c2+bc，則角A等于（）A． B． C． D．參考答案：A9.已知f(x)＝，則下列四圖中所作函數(shù)的圖像錯(cuò)誤的是()參考答案：D10.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

．參考答案：12.已知圓，直線，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)P，則P到直線的距離大于2的概率為

．參考答案：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2=2的圓心是（1，0），圓心到直線3x﹣4y+12=0的距離是d==3，當(dāng)與3x﹣4y+12=0平行，且在直線下方距離為2的平行直線為3x﹣4y+b=0，則d==2，則|b﹣12|=10，即b=22（舍）或b=2，此時(shí)直線為3x﹣4y+2=0，則此時(shí)圓心到直線3x﹣4y+2=0的距離d=1，即三角形ACB為直角三角形，當(dāng)P位于3x﹣4y+2=0時(shí)，此時(shí)P到直線l的距離大于2，則根據(jù)幾何概型的概率公式得到P==故答案為：．

13.如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長到使,過作圓的切線交于.若,,則_________.參考答案：14.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“△”，且對(duì)任意，具有性質(zhì)：①；

②；③，則函數(shù)的最小值為

.參考答案：3略15.已知直線2x+my﹣8=0與圓C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，且△ABC為等腰直角三角形，則m=

．參考答案：2或14【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由三角形ABC為等腰直角三角形，得到圓心C到直線的距離d=rsin45°，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：∵由題意得到△ABC為等腰直角三角形，∴圓心C（m，0）到直線2x+my﹣8=0的距離d=rsin45°，即=，解得：m=2或14，故答案為2或14．16.當(dāng)恒成立，則的取值范圍是

參考答案：答案：17.在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線y＝x－與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，該拋物線與直線y＝kx（k＞0）所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，若點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為，則k的值為__________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,.(I)求的值;(II)求的值.參考答案：（Ⅰ）3；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）由已知可得，從而可求出的值，再由正弦定理可得，代入即得a的值；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求得、、、的值，再由三角形內(nèi)角和定理可知，利用余弦的和角公式即可求得的值．試題解析：(I)在中,因?yàn)?所以,即,

..............2分所以.................4分

..................5分由正弦定理,得.

.........7分(II)因?yàn)?即,所以為鈍角,為銳角.由(I)可知,,所以.

...............9分又,

................10分所以

.............11分

................12分

...........13分考點(diǎn)：1.正弦定理；2.三角恒等變換.19.某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例，其關(guān)系如圖(1)，B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖(2)(注：利潤與投資量的單位均為萬元)．(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；(2)該公司有10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

參考答案：解：(1)設(shè)投資x萬元，A產(chǎn)品的利潤為f(x)萬元，B產(chǎn)品的利潤為g(x)萬元．依題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由圖(1)，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.由圖(2)，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6.∴k2＝，故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，則A產(chǎn)品投入10－x萬元，設(shè)公司利潤為y萬元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤，∴當(dāng)＝2，即x＝4時(shí)，ymax＝＝2.8，因此當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬元，B產(chǎn)品投入4萬元時(shí)，該公司獲得最大利潤，為2.8萬元．

20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且-a2，Sn，2an+1成等差． (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (Ⅱ)記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：(Ⅰ)∵，∴當(dāng)，……………… 2分兩式相減得，所以.…………… 4分又當(dāng)n=1時(shí)，，所以也滿足∴{an}是首項(xiàng)a1=2，公比為2的等比數(shù)列，∴an=2n.…………… 6分(Ⅱ)∵，

…………… 8分 ∴ ，

…………………… 11分 ∵ .…………… 14分21.已知，，且直線與曲線相切．（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得任意個(gè)實(shí)數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有成立；（ⅱ）求證：．參考答案：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．

2分設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

4分（2）當(dāng)時(shí)，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．

8分（3）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．令，得，

化簡得，

．

13分22.（12分）把圓周分成四等份，是其中一個(gè)分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針方向前進(jìn)?，F(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個(gè)面上分別寫有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字。點(diǎn)出發(fā)，按照正四面體底面上數(shù)字前進(jìn)幾個(gè)分點(diǎn)，轉(zhuǎn)一周之前連續(xù)投擲