課件-復(fù)變函數(shù)第一章

第一章復(fù)數(shù)及復(fù)平面2

/

21第一節(jié)復(fù)數(shù)及其幾何表示3

/

21復(fù)數(shù)域記i

=√?1,稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集：C={x

+iy:x,

y

∈R}.設(shè)復(fù)數(shù)z

=x

+iy,則實(shí)部Re

z=x,虛部Im

z=y.復(fù)數(shù)域(C,+,×)加減法：(a1

+ib1)±(a2

+ib2)=(a1

±a2)+i(b1

±b2);乘法：(a1

+ib1)(a2

+ib2)=(a1a2

?b1b2)+i(a1b2

+a2b1);除法：a1

+

ib1a2

+

ib2a1a2

+

b1b2a2b1

?a1b2.=+

ia2

+b2a2

+b22

22

24

/

21復(fù)數(shù)域記i

=√?1,稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集：C={x

+iy:x,

y

∈R}.設(shè)復(fù)數(shù)z

=x

+iy,則實(shí)部Re

z=x,虛部Im

z=y.復(fù)數(shù)域(C,+,×)加減法：(a1

+ib1)±(a2

+ib2)=(a1

±a2)+i(b1

±b2);乘法：(a1

+ib1)(a2

+ib2)=(a1a2

?b1b2)+i(a1b2

+a2b1);除法：a1

+

ib1a2

+

ib2a1a2

+

b1b2a2b1

?a1b2.=+

ia2

+b2a2

+b22

22

24

/

21x復(fù)平面ybz

=

a

+

ib|z|θOa復(fù)數(shù)z=a

+ib

的向量表示復(fù)數(shù)的模：對應(yīng)有向線段的長度，記為|z|.復(fù)數(shù)的輻角：對應(yīng)有向線段與正實(shí)軸的夾角θ，記為Arg

z.復(fù)數(shù)的輻角不唯一：Argz

=

θ

+

2kπ, k

=

0,

±1,

±2,...

.輻角主值：arg

z

∈(?π,π].5

/

21Ox共軛復(fù)數(shù)設(shè)z

=a

+ib,共軛復(fù)數(shù)z

=a

?ib.z

與z

關(guān)于實(shí)軸對稱。yzθ?θ6

/

21z共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義平行四邊形法則O7

/

21xyz1z2z1

+

z2復(fù)數(shù)乘法的幾何意義復(fù)數(shù)的三角表示:z

=|z|(cos

Arg

z

+i

sin

Arg

z).設(shè)z1

=r1(cos

θ1

+i

sin

θ1),z2

=r2(cos

θ2

+i

sin

θ2),則z

z

=

r

r

(cos(θ

+

θ

)

+

i

sin(θ

+

θ

)1

2 1

2

1

2

1 2)

.O8

/

21xyθ1

θ2

θ1

+

θ2z1r1z2r2z1z2r1r2棣莫佛公式乘方公式(r(cos

θ

+

i

sin

θ))n

=

rn(cos

nθ

+

i

sin

nθ),n

∈

Z.開方公式()1n1n(

(r(cos

θ

+

i

sin

θ) =

rcos

n

+θ

2kπn)(+

i

sin

+θ

2kπn

n9

/

21)

),其中k

=0,1,...,n

?1.棣莫佛公式乘方公式(r(cos

θ

+

i

sin

θ))n

=

rn(cos

nθ

+

i

sin

nθ),n

∈

Z.開方公式()1n1n(

(r(cos

θ

+

i

sin

θ) =

rcos

n

+θ

2kπn)(+

i

sin

+θ

2kπn

n9

/

21)

),其中k

=0,1,...,n

?1.AOA0S(=

O0)擴(kuò)充復(fù)平面及無窮大擴(kuò)充復(fù)平面：C

∞=C

∪{∞}.擴(kuò)充復(fù)平面的幾何表示：復(fù)球面。N

(=

∞)B0B10

/

21關(guān)于∞的運(yùn)算法則下列運(yùn)算無意義：0

∞0

,

∞

,

0

·∞.∞

±

∞,下列運(yùn)算中α

?=0:α

·∞=

∞

·

α

=

∞,0α

=∞.下列運(yùn)算中α

?=∞:α

±

∞

=

∞

±

α

=

∞,α

=

0.∞11

/

21復(fù)數(shù)與三次方程求根23x

=

?一般三次方程通過配方法可以轉(zhuǎn)化為下面形式：x3

+

px

+

q

=

0.三次方程x3

+px

+q

=0

的一個根為：√

√

√

√

+

p3

+

3

?

q?

q2

+

p3

.4

27

2

4

27三次方程x3

?2x

+1=0

三個根為：1,?1

±

√52上述求根公式給出√：x

=√

3

?1

+

1

?

8

+

3√

12?

?√

1

?8

.4

272

4

27注意1/4

?8/27

<0.12

/

21復(fù)數(shù)與三次方程求根23x

=

?一般三次方程通過配方法可以轉(zhuǎn)化為下面形式：x3

+

px

+

q

=

0.三次方程x3

+px

+q

=0

的一個根為：√

√

√

√

+

p3

+

3

?

q?

q2

+

p3

.4

27

2

4

27三次方程x3

?2x

+1=0

三個根為：1,?1

±

√52上述求根公式給出√：x

=√

3

?1

+

1

?

8

+

3√

√

12?

?1

?8

.4

272

4

27注意1/4

?8/27

<0.12

/21復(fù)數(shù)與三次方程求根23x

=

?一般三次方程通過配方法可以轉(zhuǎn)化為下面形式：x3

+

px

+

q

=

0.三次方程x3

+px

+q

=0

的一個根為：√

√

√

√

+

p3

+

3

?

q

?

q2

+

p3

.4

27

2

4

27三次方程x3

?2x

+1=0

三個根為：1,?1

±

√52上述求根公式給出√：x

=√

3

?1

+

1

?

8

+

3√

√

12?

?1

?

8

.4

272

4

27注意1/4

?8/27

<0.12

/

21費(fèi)馬平方和問題哪些整數(shù)可以表示為兩個整數(shù)的平方和？費(fèi)馬的兩個關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)13

/

21費(fèi)馬平方和問題哪些整數(shù)可以表示為兩個整數(shù)的平方和？費(fèi)馬的兩個關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)若整數(shù)n1

和n2

都能表示為兩個整數(shù)的平方和，則n1n2

也能1

1

2

2n1

n2

=

(a2

+

b2

)(a2

+

b2)

=

(a1a2

—b1b2)

2+

(a

b1

2

+

b1

a2

)2

.(費(fèi)馬平方和定理)若p

為奇素數(shù)，則p

能表示為兩個整數(shù)的平方和??p

=4k

+1.13

/

21費(fèi)馬平方和問題哪些整數(shù)可以表示為兩個整數(shù)的平方和？費(fèi)馬的兩個關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)若整數(shù)n1

和n2

都能表示為兩個整數(shù)的平方和，則n1n2

也能1

1

2

2n1

n2

=

(a2

+

b2

)(a2

+

b2)

=

(a1a2

—b1

b2

)2

+

(a1

b2

+

b1

a2

)2

.(費(fèi)馬平方和定理)若p

為奇素數(shù)，則p

能表示為兩個整數(shù)的平方和??p

=4k

+1.13

/

21復(fù)數(shù)與平方和問題的關(guān)系復(fù)整數(shù)的因子分解的洞察費(fèi)馬平方和問題實(shí)質(zhì)上是復(fù)整數(shù)的因子分解問題14

/21復(fù)數(shù)與平方和問題的關(guān)系復(fù)整數(shù)的因子分解的洞察費(fèi)馬平方和問題實(shí)質(zhì)上是復(fù)整數(shù)的因子分解問題從復(fù)數(shù)角度看費(fèi)馬的第一個觀察n1n2

=

(a2

+

b2)(a2

+

b2)2

21

1

2

2=

(a1

+

ib1)(a1

?ib1)(a2

+

ib2)(a2

?ib2)=

(a1a2

?b1b2)

+

(a1b2

+

b1a2)

.費(fèi)馬平方和定理實(shí)際上刻畫了復(fù)整數(shù)中的素數(shù)！系統(tǒng)研究了復(fù)整數(shù)的因子分解問題，他證明了算數(shù)基本定理對于復(fù)整數(shù)也是成立的。為紀(jì)念他的貢獻(xiàn)，復(fù)整數(shù)也稱為

整數(shù)。14

/21復(fù)數(shù)與平方和問題的關(guān)系復(fù)整數(shù)的因子分解的洞察費(fèi)馬平方和問題實(shí)質(zhì)上是復(fù)整數(shù)的因子分解問題從復(fù)數(shù)角度看費(fèi)馬的第一個觀察n1n2

=(

a2

+

b2)(a2

+b2)1

1

2

2=

(a1

+

ib1)(a1

?ib1)(a2

+

ib2)(a2

?ib2)2

2=

(a1a2

?b1b2)

+

(a1b2

+

b1a2)

.費(fèi)馬平方和定理實(shí)際上刻畫了復(fù)整數(shù)中的素數(shù)！系統(tǒng)研究了復(fù)整數(shù)的因子分解問題，他證明了算數(shù)基本定理對于復(fù)整數(shù)也是成立的。為紀(jì)念他的貢獻(xiàn)，復(fù)整數(shù)也稱為

整數(shù)。14

/

21復(fù)數(shù)與平方和問題的關(guān)系復(fù)整數(shù)的因子分解的洞察費(fèi)馬平方和問題實(shí)質(zhì)上是復(fù)整數(shù)的因子分解問題從復(fù)數(shù)角度看費(fèi)馬的第一個觀察n1n2

=(

a2

+

b2)(a2

+b2)1

1

2

2=

(a1

+

ib1)(a1

?ib1)(a2

+

ib2)(a2

?ib2)2

2=

(a1a2

?b1b2)

+

(a1b2

+

b1a2)

.費(fèi)馬平方和定理實(shí)際上刻畫了復(fù)整數(shù)中的素數(shù)！系統(tǒng)研究了復(fù)整數(shù)的因子分解問題，他證明了算數(shù)基本定理對于復(fù)整數(shù)也是成立的。為紀(jì)念他的貢獻(xiàn)，復(fù)整數(shù)也稱為

整數(shù)。14/2115/21第二節(jié)復(fù)平面的拓?fù)?6/21第二節(jié)復(fù)平面的拓?fù)涑醪礁拍?I)開圓盤：U(α,r)={z

:|z

?α|

<r}.閉圓盤：U(α,r)={z

:|z

?α|≤r}.設(shè)集合E

?C.E

的聚點(diǎn)集(極限點(diǎn)集)：(E

的聚點(diǎn)不一定屬于E

!)E

′={z

:?r>0,U(z,

r)∩E

包含無窮多點(diǎn)}.E

的內(nèi)點(diǎn)集：}E

?

=

{

z:

?r

>

0,

U(z,

r)

?

E

.}17/21E

的邊界點(diǎn)集：(E

的邊界點(diǎn)不一定屬于E

!)?E

=

{z

:

?r>0,

U

(z,

r)

∩E

?=

?,U(z,

r)

\

E

?=

?

.E

的孤立點(diǎn)集：E

\E′.E

的閉包：E

=E

∪?E

=E

∪E′.初步概念(I)開圓盤：U(α,r)={z

:|z

?α|

<r}.閉圓盤：U(α,r)={z

:|z

?α|≤r}.設(shè)集合E

?C.E

的聚點(diǎn)集(極限點(diǎn)集)：(E

的聚點(diǎn)不一定屬于E

!)E

′={z

:?r>0,U(z,

r)∩E

包含無窮多點(diǎn)}.E

的內(nèi)點(diǎn)集：}17/21E

?=

{

:

?r

>

0,

U

(z,

r)

?

E}z

.E

的邊界點(diǎn)集：(E

的邊界點(diǎn)不一定屬于E

!)?E

=

{z

:

?r>0,

U

(z,

r)

∩E

?=

?,U(z,

r)

\

E

?=

?

.E

的孤立點(diǎn)集：E

\E′.E

的閉包：E

=E

∪?E

=E

∪E′.初步概念(II)E

為開集??E

=E

?.E

為閉集??E

=E.E

為有界集???r>0,E

?U

(0,r).E

為集???r>0,E

??U

(0,r).E為緊集??E

為有界閉集。18/21區(qū)域區(qū)域定義為連通的開集。開集E

連通???α,β∈E,?折線L