數學專業(yè) 淺談中學數學中的反證法分析研究

淺談中學數學中的反證法摘要：反證法在數學中是一種非常重要的間接證明方法，它被稱為“數學家最精良的武器之一”，又稱為歸謬法、背理法。反證法亦稱“逆證”。其不僅是一種論證方法，對提升學生創(chuàng)新性思維能力與概念思維能力具有積極作用，從某種角度可以說，反證法還是一種思維方式，其還能拓展學生的解題思路，從而使學生形成良好的數學思維。反證法在中學數學中有著廣泛的應用，如今學生在運用反證法解題中，基礎一般的學生會受到思維能力的限制，如果能恰當的使用反證法，在一些有難度的題目上也許能夠得到解決。所以本文首先會敘述反證法的產生，具體闡述反證法的定義，即反證法的概念、分類、科學性，介紹逆證在中學數學中的實際運用并論述了逆證應用的具體需要注意的一些問題。關鍵詞：反證法；中學數學；應用；OntheProofbyContradictioninMiddleSchoolMathematicsAbstract：Proofbycontradictionisaveryimportantindirectproofmethodinmathematics,itiscalled"oneofthemostsophisticatedweaponsofmathematicians",alsoknownasreductiontoabsurdity,unreasonablemethod.Proofbycontradictionisnotonlyanargumentationmethod,butalsoawayofthinking.Itplaysanextremelyimportantroleincultivatingandimprovingstudents'logicalthinkingabilityandcreativethinkingability.Itcanalsoexpandstudents'thinkingofsolvingproblems,sothatstudentscanformgoodmathematicalthinking.Anyway,themethodhasbeenwidelyusedinmiddleschoolmathematics.Nowadays,whenstudentssolveproblemswiththemethodofproofbycontradiction,thestudentswithgeneralfoundationarelimitedbytheirthinkingability.Ifthemethodofproofbycontradictioncanbeusedproperly,theymaybeabletosolvesomedifficultproblems.Therefore,thispaperwillfirstdescribethesourceofproofbycontradiction,specificallyelaboratethedefinitionofproofbycontradiction,thatis,theconcept,classificationandlogicalbasisofproofbycontradiction,introducetheapplicationofproofbycontradictioninmiddleschoolmathematicsandexplaintheproblemstobenoticedintheapplicationofproofbycontradiction.Keywords：proofbycontradiction;Middleschoolmathematics;Application;

目錄目錄7088_WPSOffice_Level1淺談中學數學中的反證法 13122_WPSOffice_Level11引言 116960_WPSOffice_Level12反證法的產生 17497_WPSOffice_Level22.1古希臘的反證法 16341_WPSOffice_Level22.2中國古代數學中的反證法 213310_WPSOffice_Level13反證法的定義與步驟 224315_WPSOffice_Level23.1反證法的定義 214078_WPSOffice_Level23.2反證法的解題步驟 230514_WPSOffice_Level14反證法的分類與科學性 49292_WPSOffice_Level24.1反證法的分類 416531_WPSOffice_Level34.1.1歸謬法例題 431467_WPSOffice_Level34.1.2窮舉法例題 428806_WPSOffice_Level24.2反證法的科學性 527451_WPSOffice_Level34.2.1反證法的理論依據 519518_WPSOffice_Level34.2.2反證法的可信性 519139_WPSOffice_Level24.3為什么要使用反證法 627576_WPSOffice_Level15反證法在中學數學中的應用 628605_WPSOffice_Level25.1基本命題，即學科中的起始性命題 631143_WPSOffice_Level25.2命題采取否定形式 716499_WPSOffice_Level25.3有關個數的命題 930619_WPSOffice_Level25.4結論涉及無限集或數目不確定的命題 108776_WPSOffice_Level25.5不等式類型 1117585_WPSOffice_Level25.6幾何類型題 1220153_WPSOffice_Level16使用反證法解題過程中要注意的問題 1317801_WPSOffice_Level26.1反設要正確 1310319_WPSOffice_Level26.2要明確推理特點 1322667_WPSOffice_Level26.3能靈活運用 1329596_WPSOffice_Level26.4反證法與舉反例不等同 1416078_WPSOffice_Level26.5熟悉矛盾的種類 1426877_WPSOffice_Level17總結 1425679_WPSOffice_Level1參考文獻 1427945_WPSOffice_Level1致謝 15淺談中學數學中的反證法1引言反證法是間接論證的方法之一，亦稱“逆證”、矛盾證法;。早在古希臘,一些數學家就用矛盾證法處理了大量的數學領域方面的問題。英國物理學家、數學家牛頓（Newton）曾言：“逆證是從事數學研究工作的專家最精確恰當的一個利器”，它在中學數學中有著不可替代的重要作用，一般來說，當學生遇到不容易或者不能從正面進行證明的題目時，則可以嘗試運用反證法進行證明。反證法彌補了直接證明的不足，完善了證明方法，運用反證法可以培養(yǎng)和提高學生的逆向思維能力和創(chuàng)造思維能力，把不可能轉化為可能。教師應要結合熟悉的生活實例和典型的數學例題，幫助并引導學生了解反證法繼而使用反證法，然后運用反證法拓寬學生解決問題的思路。不僅在中學數學中能運用反證法，生活中也能運用反證法解決問題。如李某與朋友們外出游玩，看到路邊的樹上結滿了果子，朋友們都去摘取果子，唯獨李某站在原地一動不動，一朋友問他為什么不去摘取，李某說：“在路邊的樹上結滿果子必然是苦的”，朋友摘取果子嘗試，果然是苦的。為什么李某在還未嘗試果子前就知道是苦的？因為李某巧妙地使用了反證法，如果果子是甜的，路邊樹上的果子已被采摘。像這樣，為了說明某一個結論是正確的，但不從正面直接說明，而是說明它的反面是錯誤的，從而得出它本身是正確的。我們知道，推理與證明是數學問題解題的基本思維過程，從上面的故事中，我們生活中可以使用推理與證明的思維方式進行思考問題。2反證法的產生 2.1古希臘的反證法在南意大利學派的影響下，其主張“一切事物都是整數”，數學知識是可靠和準確的。但隨著第一次數學危機的發(fā)生，自根號二的發(fā)現，使希臘人重新審視了他們自己的數學，從此他們對以數作為基礎的幾何做了舍棄的選擇。首次的數學發(fā)展遇到的暫時困難，使其沒有辦法只信靠直觀與圖形，所以，西方為代表的數學須以證明為主來證明數學。而他們要的是準確性的數學。它以演繹、邏輯為表現的形式?？梢酝茢嗥湟庵杆愕臄祵W與證明的數學恰恰不同。希臘人認為數值計算是幾何證明之后的一個應用，他們更注重演繹與證明，指出“不要近似”，也就是要達到“明確的形式證明和公理的使用”［1］。最開始運用到反證法的是古希臘最盛名的數學家歐幾里德，在他的《原本》著作里就發(fā)現有反證法的應用了，比如，質數有無數多個的論斷的證明，假設命題不真，則素數只有有限多個。數學應始于絕對假設，古希臘哲學家、教育家Platon所主張的，其利用大量的邏輯推理方法得出所需論斷。古希臘哲學家、偉大的思想家亞里士多德（Aristoteles）致力于應用普通邏輯至數學里，亞里士多德開始對數學概念進行探索，亞里士多德對南意大利學派的“一切事物都是整數”的主張表示不贊同，但是對公設表示認同，古希臘哲學家、偉大的思想家亞里士多德（Aristoteles）主張把原來的道理描述出來即數學證明，這樣問題就可以得到解決。2.2中國古代數學中的反證法 對推理演繹的證明，在我國的古代數學領域缺少重視，盡管人們發(fā)現一些邏輯規(guī)律，例如在魏晉時期的雄辯之風，大多數的反駁用到了歸謬法，這里的歸謬法就是舉反例，劉徽受當時的影響，在他的《九章算術注》中，歸謬論證法被多次使用，劉徽在證明某些公式是錯誤的時候，用的方法都是反駁，并且是成功的，符合邏輯規(guī)律的。墨家學派創(chuàng)始人也曾利用反證法，比如違反矛盾律的謬誤：“學之益也，說在誹者。”。利用“學習無益”不是真的證明,得出“學習有益”是真命題。歸謬法也是反證法中的一種方法，但因為中國邏輯學的不完善，在指出明確運用反證法的用法上是少之又少，與西方差別甚大。3反證法的定義與步驟3.1反證法的定義反證法是科學證明方法之一，為間接證明方法的一種，簡單點說即由逆著方向證明的論證法。起初，譽為全才數學家的哈達瑪這樣概述反證法，如果對定理的假設進行肯定，而對其結論作出否定的做法，則會形成矛盾?！鄙厦娴恼Z句可如此認為：先擺出同結論不同的假設，之后得出與已知的證明的公理、題設、定理互相矛盾的結論，如此，則證明出同結論不同的假設，不可以成立，那么認同了原先的判斷必然正確，這樣的間接證明方法，我們認為即反證法［2］。3.2反證法的解題步驟通過逆證法證明一個命題的3個步驟:（1）反設——反設是用反證法解題的基礎，反設是否準確對解題過程與結果起著決定性的影響。第一步要找到題目中的已知條件和結論，接著是細心并準確找出與結論相反的假設，最后是對結論進行肯定或否定。（2）歸謬——歸謬是重點，亦是難點。利用題設和反設出發(fā),經過嚴格地邏輯推理和論證,最終導出矛盾。但許多學生不知道怎樣去尋找矛盾.所以,教師在教學時,要讓學生清楚:反設后條件都有什么;邏輯推理的方向;矛盾將如何產生.（3）結論——即根據反設以及歸謬所得到的最終結果。歸謬是根據反設得到一個與命題原結論矛盾的理論，從而肯定命題的原結論。完成這三步，用反證法解題就已經完成［3］。例如：已知:如下圖，設點A、B、C在同一直線上，求證：過A、B、C三點不能作圓.【反設】假設過A、B、C三點能作圓，這個假設作為下一步“歸謬”的一個已知條件?！練w謬】由上述假設過A、B、C三點能作圓出發(fā)，設此圓圓心為O，則A、B、C三點中連任意兩點的線段是圓O的弦，由垂徑定理：O既在AB的中垂線OM上，又在BC的中垂線ON上，從而過點O有兩條直線OM與ON均與AC垂直，這個結論就與“同一平面內過一點有且僅僅有1條直線同已知直線垂直”的垂直定理相互違背。推理無誤，因此假設不正確?！窘Y論】故過同一直線上三點A、B、C不能作圓。4反證法的分類與科學性4.1反證法的分類反證法包含窮舉法與歸謬法(reductioadabsurdum)又稱歸于不可能(reductioadimpos-sibile)。采取歸于不可能方法證題的時候，若把要證明的命題的方面情形僅僅有1種，則僅僅需要將此種情形論證不成立，就能夠達到反證的目的。若要證明的方面，有數種情形，則須把每種情況全部反駁倒，之后進行逐個處理、解析，方可以論證原來的結論正確，這就是窮舉法。4.1.1歸謬法例題著名的俄國文學家亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑，曾經參加一個了聚會，他非常不喜歡派對上播放的音樂，促使他用手把聽覺器官——耳朵捂了起來。接待賓客的人向亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑說明：“演奏的音樂是流行的?！薄傲餍械囊魳肪褪歉呱械膯幔俊?，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑逆向問接待賓客的人。“不高尚的東西，怎能流行呢？”，聽后，接待賓客的人很驚異地回話?！傲餍懈忻耙彩歉呱械牧?？”，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑笑著講。命題的意思：“不高尚的東西怎能流行呢？”此言等同“所有流行的東西，皆為高尚的”。假設定其為真，亞歷山大·伊凡諾維奇·赫爾岑卻這樣做，從而導出“流行感冒也是高尚的了”這個荒謬的結果?；闹嚨慕Y果可以把主人話中不明顯的荒謬揭露出來。這就是運用歸謬法從假定被反駁的判斷是真的，推出荒謬的結論。以至于結論不需要直言出，就能夠使相對的一方認為自己命題的荒唐不合情理。揭示之巧妙，顯得很幽默，有趣得使人發(fā)笑。4.1.2窮舉法例題若,則有,證明:若不然,則有,,與題設矛盾,,與題設矛盾,因此,.4.2反證法的科學性4.2.1反證法的理論依據反證法所依據的是亞里士多德的形式邏輯中的排中律、矛盾律2個規(guī)律，2個規(guī)律有著不一樣的概念內涵，矛盾律是講：在同一個論證環(huán)節(jié)里，2個相互矛盾的判斷，也就是相互反對的判斷或相互矛盾，其中必然有一個是假的，不可能同時為真。如對這個數,“是有理數”和“是無理數”的兩個判斷中必然有一個是假的，不可能同時為真。而所謂的排中律是：在同一個思維過程中，兩個矛盾的思想，即兩個互相矛盾的判斷，其中必然有一個是真的，不可能同時為假。如要證明“是無理數”,只需要證明“是有理數”是假的，因為“是有理數”和“不是有理數”,是兩個相矛盾的判斷,則根據排中律,其中必然有一個是真的。排中律常用公式表示為“A或者非A”，即“A∨?A”。矛盾律與排中律的相同點和區(qū)別。其相同點是：兩個規(guī)律都不能存在邏輯矛盾，若與排中律相違背，則毫無疑問也與矛盾律相違背。不同點：第一，適用范圍不同。矛盾律包含了互相反對的判斷，而排中律只包含了互相矛盾的判斷，說明矛盾律是包含排中律的。在此，解釋一下互相矛盾與互相反對?；ハ嗝苁侵高@兩個命題不能同真，也不能同假。而互相反對是指這兩個命題不能同真，但是可以同假。第二，邏輯要求不同。矛盾律要求互相矛盾和互相反對的命題，不能加以肯定，必須否定其中一個。而排中律要求互相矛盾的命題，不能加以否定，必須肯定其中一個。排中律還要求需具有明確性和清晰性的思維。4.2.2反證法的可信性反證法在其證明過程中，對“原結論”和“否定的原結論”，必然形成2個判斷，這2個判斷是矛盾的，按照“不矛盾律”，這2個矛盾的推斷不可以同時都是真，肯定有一個非真的，而已經被證明是正確的命題、已知的法則、定理、公理、已知的條件皆為真，因此必然否定的原結論是非真。再按照“不容間位律”，“否定的原結論”與“原結論”這一對立的相互矛盾的論斷，不可以都是假，必然有一非假，而“否定的原結論”為假，由此，能夠得出：為真的必定是原結論。綜合上面所言，反證法（亦稱逆證）是以邏輯思維的理論與基本規(guī)律為根據的，通過嚴謹的邏輯推理，從而得出令人信服的正確結論，所以反證法是可信的。4.3為什么要使用反證法直接證法與反證法最終目的都是為了證明結論。這兩種證法就像是兩條道路，前者是直線，后者是曲線。如果路好走，我們肯定選擇直路，但是如果直線路崎嶇難行，難關重重，那我們寧愿選擇那條比較好走的路雖然它曲折。若直路是一條絕路，那是非走曲折路不可了。這與我們選擇使用何種證明方法類似，有些題目雖然可以用直接證法，但用反證法會簡便很多，所以我們寧愿選擇用反證法。而有些題目則只能用反證法來證明。雖然反證法有時可以用直接證法來代替，但是不能否定反證法的存在。反證法與直接證法都是必要的，同等重要。5反證法在中學數學中的應用在中學數學中，常用反證法證明的命題有以下幾種類型：5.1基本命題，即學科中的起始性命題這類命題用直接證明是有一定難度的或者說結論的反面比結論本身更容易證明，因為已知條件以及由已知條件推出的結論比較少，在這種題目中能夠運用的定理、定義、公理也比較少，此時我們會選擇用反證法來進行證明［4］。5.1.1兩條直線同時平行于第三條直線,則原兩條直線互相平行.ACEACEBDF圖1求證:證明：假設與不平行,則AB與CD相交于點P，即、即,過點有2條不一樣的直線同平行,然而此矛盾于幾何學的重要公理之一——平行公理,所以，假定與不平行不成立.故.【分析】讓學生知道這種類型題是不能直接證明的，這要從問題的反面出發(fā)，否定命題結論，即AB與CD不平行，那么它們肯定相交，交點為P，因為過點P就有兩條直線AB、CD都平行于EF，這顯然與平行公理矛盾，產生矛盾的原因是假設錯誤。所以AB與CD不相交，則只能平行，問題得證［5］。例5.1.2平面與直線的交點為，在平面內，過點畫出直線、、，，那么是否正確，若正確，請求證。證明：假若PO與平面不垂直。畫且與平面有個交點H，這時O、H不重合，聯結OH。過P點畫，垂足為E，垂足為F，依據，立體幾何之三垂線定理得出，，。由于，公共邊PO，因此，所以又所以所以因此，OH是的平分線。同樣的方法，可以證明，的平分線是OH。然而，OC與OB是2條不重合的直線，同時OH是和的平分線是不可能的，產生矛盾?！痉治觥勘镜李}若從正面進行證明，根據題目所給條件所能借助的公理定理有限，則只能嘗試從反面去思考，這道題由于不能直接證明，不妨先假設PO不垂直平面，以此為條件再結合相關定理得到與客觀事實不符合的結論，這說明假設“PO不垂直平面”錯誤，那么假設的反面就是正確的，即，故原命題結論成立。5.2命題采取否定形式結論里有“不是”、“沒有”、“不存在”、“不可能”等這樣否定形式的字眼的命題出現；例5.2.1證明不是有理數，即是無理數。證明：假設是有理數，那我們能找到自然數a和b，使得=這里的a和b是互質的，對上式兩邊進行平方，得到因此，為偶數，所以，a也一定是偶數。于是，存在一個自然數c,使得，則，則從而是偶數，因此也是偶數。由上得出均為偶數與互質矛盾，所以我們一開始的假設是錯誤的，故是無理數。［4］【分析】對于中學生來說，是無理數是很平常的結論，它為什么是無理數，大多數學生都會說因為它是無限不循環(huán)小數，但是沒有人能對其作出嚴格的證明。希巴斯利用畢達哥拉斯的勾股定理，發(fā)現邊長為1的正方形對角線的長度不是有理數，繼而發(fā)現無理數的存在，但希巴斯卻因為這個真理死亡。確實，我們在證明是無理數的時候，直接證明是無理數會讓人手足無措，于是，我們可以從是有理數出發(fā)進行證明，結果肯定與原結論是矛盾的。例5.2.2不可能在同一個三角形里有2個角都為鈍角。已知：三角形ABC的三個內角分別是∠A、∠B、∠C。求證：∠A、∠B、∠C里有2個鈍角是不可能的。證明：如果∠C、∠B、∠A中有2個鈍角，設∠B＞900，且∠A＞900，則∠C+∠B+∠A比1800大。此矛盾于“三角形內角和為1800”定理。所以∠B、∠A都比900大是不正確的。因此，一個三角形有有2個鈍角是不可能的。【分析】由上題可知，對于這種“不可能事件”，我們很難從正面解題，如果我們從正面進行證明，那它的情況就會很多，我們幾乎無從下手。“不可能事件”的反面是“肯定事件”，如若從它的反面出發(fā)，就只有這一種情況，所以我們假設∠A＞900,且∠B＞900。當題目含有“不可能”、“不存在”、“沒有”、“不是”等這樣形式的字眼，運用逆向思維把“不可能事件”變成“肯定事件”，相當于給題目增加了一個條件，這樣就達到了運用反證法解題的目的。5.3有關個數的命題即結論里包含詞語“最多”、“不少于”、“至少”、“至多”、“唯一”等這樣的命題；例5.3.1已知,求證關于的方程有且只有一個根.證明:假設方程（）至少存在兩個根,不妨設其中的兩根分別為,且,則,,,,,與已知矛盾,故假設不成立,結論成立.【分析】對于這種唯一性的問題，本道題一樣是直接使用反證法證明，在本題中，我們知道“有且只有一個”的反面是“至少存在兩個”，因此，可以直接寫出它的否命題。根據邏輯推理能推出我們假設的是錯誤的，繼而得出原結論是正確的。例5.3.2已知,,都是正實數，求證：下列三個式子中至少有一個不小于2：證明：不妨設三個式子全部都小于2，即，，由于是任意的正實數，可以令5,則我們有：顯然矛盾。所以，假設不成立，故原命題成立，即中至少有一個不小于2.【分析】“三個式子中至少有一個不小于2”共有七種情況，雖然結論很顯然，但是證明起來困難又繁雜，而它的反面是“全都小于2”只有一種情況，那我們肯定選擇從反面進行證明，利用反證法，我們假設三個式子全都小于2，再來證明假設是錯誤的，原結論才得以成立。由上述例題可以知道當遇到結論里包含“最多”、“不少于”、“至少”、“至多”、“唯一”等這樣的詞語命題時，我們可以從反面進行思考并分析問題，看看能不能使用反證法證題，這樣會簡便很多。5.4結論涉及無限集或數目不確定的命題待證命題的結論是無限的，結論涉及的對象無法全部列出，這些命題結論的反面是有限的、肯定的，這時宜用反證法。例5.4.1證明質數有無限多個證：假設質數個數為有限個，假設質數只有有限n個設全體質數為，令，很容易發(fā)現除以余1，除以余1，除以余1，所以不含因數，故要么是質數，要么含有除了外的質因數，這說明除了質數外，還有其他質數，因此，假設不成立。所以，質數有無限多個。【分析】首先題目原結論說質數有無限多個，很顯然，它的反面就是質數個數為有限個，并假設它有n個，設全體質數為，令p是一個比大1的數。由邏輯推理可得都不是p的因數，所以，p是一個與都不同的質數。故對于這種涉及無限的結論也可用反證法而證之。5.5不等式類型對于一些較復雜的不等式，有時候很難從正面直接入手去證明，這時可以考慮嘗試反證法。例5.5.1已知,.求證：全是正數證明：假設又由，則，，與原結論矛盾.若,則與矛盾，所以，一定是正數.同理可證：也是正數［6］。【分析】對于不等式類型的命題，首先弄清楚題目所含有的條件和結論，條件即，最后結論是。其次是作出與所要證明的不等式相反的假設，即c<0。接著是根據題目所給條件和假設出發(fā)，進行正確的邏輯推理，導出矛盾。最后肯定因為假設錯誤而導致矛盾，故原不等式成立。不等式類型的題目會因為使用反證法間接地達到目的例5.5.2在△中，,求證：.證明：假設,由已知條件得即因為,故，又，所以。則，所以。這與矛盾，故假設不成立，所以?！痉治觥勘绢}同上一道例題一樣，首先弄清楚題目所含有的條件和結論，條件是在△中有，結論是，其次，作出與原結論相反的假設，即。接著根據所給條件和假設出發(fā)，進行嚴謹地邏輯推理，這里要注意掌握三角函數公式的運用，必須要熟悉三角函數的公式才能完成此道題，才能推出假設錯誤，從而肯定原結論是正確的。5.6幾何類型題如要證明某個圖形不可能有某種性質，并且要求證的結論是否定形式的，若用反證法證明會有一定的困難，所以這類題一般會使用反證法進行證明。例5.6.2已知如下圖所示，圓О兩弦AB，CD相交于點E，且AB，CD均不過O點.求證：弦AB，CD不能互相平分.證明：假設AB與CD互相平分，平分點是E由垂徑定理得OEAB，同時OECD，AB//CD,顯然，這與已知條件AB與CD相交矛盾.所以，弦AB，CD不能互相平分［7］。【分析】對于幾何題使用反證法，一般是題目中所給條件是無法使用上的并且要求證的結論是否定形式的。那首先我們假設求證的問題是成立的，即假設AB與CD互相平分，然后再根據垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦且平分這條弦所對的兩條弧，然后得出與原結論不符合的結論，故而推出原證題是成立的。6使用反證法解題過程中要注意的問題6.1反設要正確必須正確地否定原結論，這是使用反證法的必要前提，如本