2022-2023學(xué)年福建省三明市鳳山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年福建省三明市鳳山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖像可能是

（

）參考答案：C

，且。所以選C2.定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長(zhǎng)度均為d=b﹣a．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x﹣[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度，則當(dāng)0≤x≤3時(shí)，有(

) A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4參考答案：A考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．專題：新定義．分析：先化簡(jiǎn)f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化簡(jiǎn)f（x）＜（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集的長(zhǎng)度．解答： 解：f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈?；當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈?；當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，[x]﹣1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3時(shí)的解集為[2，3]，故d=1．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題3.若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，則A∩B=（）A．{2，3} B．? C．2 D．[2，3]參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】利用已知條件求出集合B，然后求解交集．【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，則A∩B={2，3}．故選：A．4.若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,則a的取值為(

)A．

B．

C.

D．

參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系E3解析：若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，則x2－2ax＋a=－1有相等實(shí)根，所以，解得a=,所以選D.【思路點(diǎn)撥】遇到一元二次不等式的解集問題，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解答.5.已知復(fù)數(shù)z=1+i,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略6.已知，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.五四青年節(jié)活動(dòng)中，高三(1)、(2)班都進(jìn)行了3場(chǎng)知識(shí)辯論賽，比賽得分情況的莖葉圖如圖所示（單位：分），其中高三(2)班得分有一個(gè)數(shù)字被污損，無法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字x具有隨機(jī)性，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由徑葉圖可得高三（1）班的平均分為，高三（2）的平均分為，由，得10>x>5,又，所以x可取，6，7，8，9，概率為，選D.

8.已知一個(gè)幾何體是由上下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為，等腰三角形的腰長(zhǎng)為，則該幾何體的體積是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A由三視圖可知，該幾何體上部分是一個(gè)圓錐，下部分是個(gè)半球，球半徑為1，圓錐的高為，所以圓錐的體積為，半球的體積為，所以幾何體的總體積為，選A.9.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則復(fù)數(shù)z的虛部可以是A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組即可確定復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】＝，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：在第二象限，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部a的取值范圍為：，只有D符合.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)所在象限的確定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（）參考答案：A當(dāng)P、B1重合時(shí)，主視圖為選項(xiàng)B；當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比B1近時(shí)，主視圖為選項(xiàng)C；當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比B1遠(yuǎn)時(shí)，主視圖為選項(xiàng)D，因此答案為A.考點(diǎn)：組合體的三視圖二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果復(fù)數(shù)（b∈R）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則b等于

．參考答案：0【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念；A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成復(fù)數(shù)的代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，得到實(shí)部和虛部和為0，得到結(jié)果．【解答】解：∵===，∵實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，∴，∴，∴b=0，故答案為：012.在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，若△ABD是等邊三角形，且AC=4，則△ADC的面積的最大值為

．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性質(zhì)確定AD?DC的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得三角形面積的最大值．【解答】解：在△ACD中，cos∠ADC===﹣，整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC，∴AD?DC≤16，AD=CD時(shí)取等號(hào)，∴△ADC的面積S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用．本題靈活運(yùn)用了基本不等式的基本性質(zhì)解決了三角形求最值的問題．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為______________.參考答案：因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧，即圓心角,,則,所以，，所以，，所以。14.展開式的常數(shù)項(xiàng)為280，則正數(shù)a=

.參考答案：15.已知

.參考答案：16.若一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的方差

.參考答案：略17.設(shè)復(fù)數(shù)，其中，則______．參考答案：-2/5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.M公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過綜合測(cè)試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業(yè)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），公司規(guī)定：成績(jī)?cè)?80分以上者到“甲部門”工作；180分以下者到“乙部門”工作。（I）求男生成績(jī)的中位數(shù)及女生成績(jī)的平均值；（II）如果用分層抽樣的方法從“甲部門”人選和“乙部門”人選中共選取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？參考答案：略19.設(shè)n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，f（n）是8的倍數(shù)．參考答案：【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分別取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用數(shù)學(xué)歸納法能證明對(duì)任意正整數(shù)n，f（n）是8的倍數(shù)．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．證明：（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶數(shù)，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1時(shí)也成立．由①②得：對(duì)任意正整數(shù)n，f（n）是8的倍數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)值是8的倍數(shù)的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．20.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：．參考答案：解：（Ⅰ）定義域?yàn)?，令，令故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為的極大值為（Ⅱ）證：要證

即證，即證即證

令，由（Ⅰ）可知在上遞減，故

即，令，故累加得，

故，得證法二：=，其余相同證法．略21.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求證：．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由題意可得，令n=1可求a1，n≥2時(shí)，，，兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，從而可得an；（Ⅱ）表示出bn，進(jìn)而可得，并拆項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法可求和，由和可得結(jié)論；解答：解：（Ⅰ）∵成等差數(shù)列，∴，當(dāng)n=1時(shí)，，解得；當(dāng)n≥2時(shí)，，，兩式相減得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，∴，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，．（Ⅱ）bn=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）=×=（2n﹣1）（2n+1），，則==．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬中檔題．22.（13分）已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．參考答案：解析：（Ⅰ）．

---------------------------------------------------3分∵是的一個(gè)極值點(diǎn)，∴是方程的一個(gè)根，解得．----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則．

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