2023屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)練5數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆天津市南開中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)練5數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后取交集即可【詳解】解：由題意得集合，，所以，故選：D．2．若數(shù)列滿足（為常數(shù)，，），則稱為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）．A．甲是乙的充分非必要條件 B．甲是乙的必要非充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既非充分也非必要條件【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)以及正負(fù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，為常數(shù)，所以成等比數(shù)列，即是等方比數(shù)列，故必要性滿足.若是等方比數(shù)列，即成等比數(shù)列，則不一定為等比數(shù)列，例如，有，滿足是等方比數(shù)列，但不是等比數(shù)列，充分性不滿足.故選：B3．如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，若由直方圖得到的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）分別為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖讀出眾數(shù)a，計(jì)算中位數(shù)b，平均數(shù)c，再比較大小.【詳解】由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)；中位數(shù)應(yīng)落在70-80區(qū)間內(nèi)，則有：，解得：；平均數(shù)

=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以故選：B【點(diǎn)睛】從頻率分布直方圖可以估計(jì)出的幾個數(shù)據(jù)：(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加；(3)中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo)．4．函數(shù)圖象的大致形狀為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性定義判斷的奇偶性，結(jié)合的符號，應(yīng)用排除法確定答案.【詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，排除C、D；，且，，即，排除B.故選：A5．比較,則的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以所以，應(yīng)選D．【解析】比較大?。?．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的關(guān)系式，可得出數(shù)列是等差數(shù)列，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由得，當(dāng)時，，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又因?yàn)?，所以，從而，所以，所以?shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡得出，再根據(jù)平移的左正右負(fù)的原則得到的解析式，最后得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項(xiàng)，令，則的一個增區(qū)間為，故選：B.8．設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合已知求得，再由與垂直，得，結(jié)合數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】解：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛椋?，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得.故選：B.9．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先作出兩函數(shù)的圖像，由圖像可知當(dāng)時，與有1個交點(diǎn)，所以只要當(dāng)時，與有兩個交點(diǎn)即可，結(jié)合圖像可得的圖象在上有兩交點(diǎn)，則在上沒有交點(diǎn)，即直線與在有兩交點(diǎn)，且的圖象在上沒有交點(diǎn)，即在有兩個解，且在上沒有解，然后利用方程根的分布進(jìn)行求解即可【詳解】如圖當(dāng)時，與有1個交點(diǎn).要使有3個零點(diǎn)，則當(dāng)時，與有兩個交點(diǎn)即可，若，，兩函數(shù)沒有交點(diǎn)，所以，畫出圖象，如下圖所示，根據(jù)圖象的圖象在內(nèi)至多有一個交點(diǎn).當(dāng)?shù)膱D象在上有兩交點(diǎn)，則在上沒有交點(diǎn).即直線與在有兩交點(diǎn)，且的圖象在上沒有交點(diǎn).即在有兩個解，且在上沒有解.設(shè)，需，且解得或（舍去），且所以此時若在上的圖象有1個交點(diǎn)，則在上的圖象有1個交點(diǎn)即在有1個解，且在上有1個解.則且，此時無解.要使在只有兩交點(diǎn)，則.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)與方程，考查由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題二、填空題10．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義可求得的值，再用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由題可知為純虛數(shù)，所以，故.故答案為：.11．展開式中的系數(shù)為________.【答案】【分析】先得到的通項(xiàng)公式，再結(jié)合，計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍艺归_式的通項(xiàng)公式為故的系數(shù)為故答案為:.12．如圖，在平面四邊形ABCD中，，則四邊形ABCD的面積為___________.【答案】【分析】采用分割法對三角形進(jìn)行分割，利用余弦定理求得可判斷三角形的形狀以及解三角形ADC，然后由三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】連接，在中，，利用余弦定理得：，解得：，，則是直角三角形，所以.，過點(diǎn)作，則，，則故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不規(guī)則四邊形面積的求法，考查余弦定理解三角形，由于四邊形是不規(guī)則的，所以要將求四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化為求三角形面積的問題來求解，在連接AC將四邊形分成兩個三角形后，利用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合解三角形與三角形面積公式，可求得面積.13．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是___________．①；②；③事件B與事件相互獨(dú)立；④，，是兩兩互斥的事件【答案】②④【分析】根據(jù)每次取一球，易得，，是兩兩互斥的事件，求得，然后由條件概率求得，，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)槊看稳∫磺颍?，，是兩兩互斥的事件，故④正確；因?yàn)椋?，故②正確；同理，所以，故①③錯誤.故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件，相互獨(dú)立事件，條件概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14．已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【分析】利用基本不等式，即可求解.【詳解】解：，（當(dāng)且僅當(dāng)且時，即取“=”），故答案為：4三、雙空題15．在菱形中，，已知點(diǎn)在線段上，且，則______，若點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】

7

【分析】設(shè)，進(jìn)一步將其表示成以，為基底的向量，結(jié)合已知條件，可得關(guān)于和的方程組，解之，再根據(jù)模長的計(jì)算方法，得的值；設(shè)，，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，推出，然后由配方法，得解．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，可設(shè)，而，所以，解得，，所以，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，可設(shè)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：7，．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的線性和數(shù)量積的運(yùn)算法則，平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，有一定的難度．四、解答題16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，且．(1)求A；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由三角形內(nèi)角性質(zhì)及正弦定理邊角關(guān)系可得，進(jìn)而求角的大?。唬?）在△ABC、△ADE中應(yīng)用余弦定理可得、，求出b、c，再由三角形面積公式求面積.【詳解】(1)由得：，即，由正弦定理得，在△ABC中，，故，則，因?yàn)?，所以?2)在△ABC中，由余弦定理，得，在△ADE中，由余弦定理得，所以，化簡得，即，所以，代入得：，，則△ABC的面積．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式可化簡得到；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的求法可求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）（i）令，將問題轉(zhuǎn)化為與在上恰有個不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式即可求得的取值范圍；（ii）由（i）中圖像可確定，，由此可得，整理可得，由兩角和差正弦公式可求得的值，即為所求結(jié)果.【詳解】(1)；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)（i）由（1）得：，當(dāng)時，，設(shè)，則在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)等價于與在上恰有個不同的交點(diǎn)；作出在上的圖像如下圖所示，由圖像可知：當(dāng)時，與恰有個不同的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ii）設(shè)與的個不同的交點(diǎn)分別為，則，，，即，整理可得：，，.18．在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)和極值；（3）若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）零點(diǎn)，極小值；（3）1.【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

所以．因?yàn)?，所以曲線在處的切線方程為.（2）令，解得，

所以的零點(diǎn)為.

由解得，則及的情況如下：2－0+所以函數(shù)在

時,取得極小值.

（3）法一：當(dāng)時，.當(dāng)時，.

若，由（2）可知的最小值為，的最大值為，所以“對任意，有恒成立”等價于即，

解得.

所以的最小值為1.法二：當(dāng)時，.

當(dāng)時，.且由（2）可知，的最小值為，

若，令，則而，不符合要求，所以.

當(dāng)時，,,所以，即滿足要求，綜上，的最小值為1.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相等的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①；②證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，判斷導(dǎo)函數(shù)符號確定原函數(shù)單調(diào)性，注意函數(shù)定義域；（2）①利用參變分離得，即與有兩個交點(diǎn)，判斷函數(shù)單調(diào)性理解計(jì)算；②等價于，借助于函數(shù)零點(diǎn)整理得，即證，構(gòu)建函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明．【詳解】(1)當(dāng)時，函數(shù)，定義域?yàn)椋?，得．?dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)①若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不相