分類討論的起因

例說(shuō)數(shù)學(xué)解題中引起分類討論的原因分類討論的數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是歷年來(lái)高考的?？?、必考內(nèi)容.搞清引起分類討論的原因，確定分類討論的分界點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)，是掌握好分類討論這一數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵.本文試就引起分類討論的原因，通過(guò)分析、舉例應(yīng)用進(jìn)行探討，以便從中找到解決分類討論問(wèn)題的基本方法1、由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論我們知道數(shù)學(xué)概念都是在一定范圍內(nèi)定義的，這一范圍就是應(yīng)用它的條件，如絕對(duì)值、不等式、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)等概念，都有限制條件，凡是涉及到相關(guān)問(wèn)題，當(dāng)不能直接解答時(shí)，一般都應(yīng)以所定義的概念來(lái)進(jìn)行分類討論，并且討論時(shí)要注意概念所受的限制.例1、(2005.浙江)已知函數(shù)地;)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且fx)=x2+2x.(I)求函數(shù)g(x)的解析式；解不等式g(x)^f(x)-lx-11；若h(x)=g(x)-人fx)+1在［-1，1］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.解：(I)解答略g(x)=-x2+2x.(II)由g(x)>f(x)-1x-1l可得：2x2-1x-1l<0，此時(shí)解此不等式就需要根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)。當(dāng)x>1時(shí)，2x2-x+1<0，此時(shí)不等式無(wú)解。- ? 1當(dāng)x<1時(shí)，2x2-x+1<0-1<x<—2因此，原不等式的解集為［-1,；］.(III)h(x)=-(1+人)x2+2(1—人)x+1.因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)帶有參數(shù)人，故需對(duì)人的取值進(jìn)行討論。①當(dāng)人=-1時(shí)，h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函數(shù)，.?.人=-11—人②當(dāng)"-1時(shí)，對(duì)稱軸的方程為x=庶一. 1-人一一.①當(dāng)人<-1時(shí)， <-1，解得人<一1。1+入.一1-人. .(ii)當(dāng)人>-1時(shí)，~7->1時(shí)，解得一1<人<01+入綜上,人<0解題點(diǎn)評(píng)：解絕對(duì)值不等式最常用的方法就是利用“零點(diǎn)分區(qū)間法”劃分分類討論的層次，去掉絕對(duì)值，把它轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式。2、由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論數(shù)學(xué)運(yùn)算具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性，條件性，當(dāng)條件范圍很廣時(shí)，一般都需要?jiǎng)澐殖蓭讉€(gè)小范圍進(jìn)行分類討論.如除法運(yùn)算中的除式不為零、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、解不等式時(shí)根的大小不確定等問(wèn)題時(shí)，一般都需要進(jìn)行分類討論.例2(2005.江西)已知函數(shù)f(x)=二丁(sb為常數(shù))且方程f(x)-x+12=0有ax+b兩個(gè)實(shí)根為X]=3,x2=4.(1)求函數(shù)Rx)的解析式；(2)設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；f(x)<-——— 2—xx2解：(1)解答略f(X)=——(X壬2).2一xx2 (k+1)x—k x2—(k+1)x+k 八(2)不等式即為一< ——,可化為——三~-——<0，2—x2—x 2—x即(x—2)(x—1)(x—k)>0.此時(shí)，由于參數(shù)K的取值沒有具體確定，故需對(duì)它進(jìn)行分類討論。當(dāng)1<k<2,解集為xe(1,k)u(2,+3).當(dāng)k=2吐不等式為(x—2)2(x—1)>0解集為xe(1,2)u(2,+3);當(dāng)k>2時(shí),解集為xe(1,2)u(k,+3).3、由函數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)定理、公式的限制引起的分類討論函數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)定理、公式的運(yùn)用都是有條件的，在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立.如等比數(shù)列的求和公式、對(duì)數(shù)公式、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題等.例3、(2006.安徽)在等差數(shù)列中，a1=1，前n項(xiàng)和S〃滿足條件七=竺2,n=1,2,…。Sn+1〃(I)求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式；(II)記bja.an(p>0)，求數(shù)列｛b〃｝的前n項(xiàng)和To解：(I)(解答略)a”=n(II)由b=apan，得b=npn。所以T=p+2p2+3p3+..?+(n—1)pn-1+npn，此時(shí)需要根據(jù)P的取值進(jìn)行分類o nn+1當(dāng)p=1時(shí)，T= ；n2當(dāng)p壬1時(shí)，pT=p2+2p3+3p4+???+(n—1)pn+npn+1，

..mg 〃(1一Pn)(1-P)T=p+p2+p3H Fpn-1+pn—npn+1=—^ npn+1TOC\o"1-5"\h\zn+1 .即T=<n~F， p=即T=<np(1—pn) 1 —npn+1,p豐11—p4、由圖形的不確定性引起的分類討論數(shù)學(xué)圖形問(wèn)題中當(dāng)已知條件不能確定圖形的位置時(shí)，在求解或證明的過(guò)程中，常需根據(jù)可能出現(xiàn)的圖形位置進(jìn)行分類討論.例4、在直角三角形ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k)，求實(shí)數(shù)k的值.分析：由于直角頂點(diǎn)不確定，所以應(yīng)對(duì)直角頂點(diǎn)加以討論.解：由AB=(2,3),AC=(1,k)得：BC=(—1,k—3).當(dāng)/A=900時(shí)，AB-AC=0，得k=—|；當(dāng)Z.B=900時(shí)，AB-BC=0，得k=?；當(dāng)ZC=900時(shí)，AC-BC=0，得k=土七'13.5、由參數(shù)的變化引起的分類討論某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法，如含參數(shù)的方程或不等式、直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程等，這時(shí)就需要進(jìn)行分類討論.例5、設(shè)k為實(shí)常數(shù)，問(wèn)方程(8-k)X2+(k一4)y2=(8-k)-(k一4)表示的曲線是何種曲線？解：方程表示何種曲線主要取決于k的取值，可對(duì)k分以下三種情形討論:⑴當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)?x2=。即x=0，表示直線；⑵當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)?y2=0即y=0，表示直線;X2 y2 ―⑶當(dāng)k=也=8時(shí)，方程變?yōu)榭? =1’又有以下五種情形討論:①當(dāng)k<4時(shí)，方程表示雙曲線;當(dāng)4<k<6時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)k=6時(shí)，方程表示圓；當(dāng)6<k<8時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)k>8時(shí)，方程表示雙曲線.6、由實(shí)際問(wèn)題的具體情況引起的分類討論在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常應(yīng)按實(shí)際問(wèn)題的不同要求，選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法，按要求分成若干類加以解決，如排列組合問(wèn)題、概率問(wèn)題、應(yīng)用問(wèn)題中常遇到的分類計(jì)數(shù)、分步計(jì)數(shù)問(wèn)題.例6、某車間有10名工人，其中4人僅會(huì)車工，3人僅會(huì)鉗工，另外3人車工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一項(xiàng)工作，需車工鉗工各3人，問(wèn)有多少種選派方案？分析：本題解法較多，可按“僅會(huì)車工”、“僅會(huì)鉗工”、“車工鉗工都會(huì)”等情況分類來(lái)解.本題按“選出的鉗工中所含全能工人的個(gè)數(shù)”來(lái)分類。解：選出的鉗工中沒有全能工人的選法有C3?C3種；選出的鉗工中有1名全能工人的選法有C1?C2?C3種；選出的鉗工中有2名全能工人的選法有C1?C2?C3種；選出的鉗工中有3名全能工人的選法有C3?C3種.???總共有309種選派方案.引起分類討論的原因是多種多樣的，但無(wú)論怎樣，只要我們明確，解決分類討論問(wèn)題的要害，在于根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)確立合理了分類才能做到不重復(fù)、不遺漏.熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，做到融會(huì)貫通，是解決分類討論問(wèn)題的前提條件.樹立和運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，恰當(dāng)分類、逐步討論，是解決分類討論問(wèn)題的基本模式.只要我們不斷地積累方法、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，克服分類討論中的思想上的主觀性、盲目性和畏懼心理，樹立分類討論的意識(shí)，就一定能掌握好數(shù)學(xué)解題中分類討論思想方法的運(yùn)用⑴由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對(duì)值定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等等；⑵由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如偶次方根非負(fù)、對(duì)數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不