2021-2022學年四川省自貢市高三第一次診斷性考試數(shù)學試題（理科）（解析版）

2021-2022學年四川省自貢市高三第一次診斷性考試數(shù)學試題（理）本試卷共6頁，23題（含選考題）．全卷滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑．答案寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的．1.全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應的集合運算直接計算作答.【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，所以.故選：C2.若，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出角的值，再利用誘導公式可求得結果.【詳解】因為，，則，所以.故選：D.3.復數(shù)（，為虛數(shù)單位），在復平面內(nèi)所對應的點在上，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的坐標，代入，求得，再根據(jù)復數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】解：復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為，因為點在上，所以，解得，所以，所以.故選：B.4.若的展開式中的系數(shù)為15，則（）A.2 B.3. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式通項公式即可求得．【詳解】的展開式中的項為，則，故.故選：B5.地震震級是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般采用里氏震級標準．震級是據(jù)震中100千米處的標準地震儀（周期，衰減常數(shù)約等于1，放大倍率2800倍）所記錄的地震波最大振幅值的對數(shù)來表示的．里氏震級的計算公式：，其中表示“標準地震振幅”（使用標準地震振幅是為了修正測振儀距離實際震中的距離造成的偏差），是指我們關注的這個地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅．4.5級地震給人的震感已比較明顯，那么6.5級地震的最大振幅是4.5級地震的最大振幅的（）倍．A. B.10 C.100 D.【答案】C【解析】【分析】由求得，然后求得6.5級地震的最大振幅與4.5級地震的最大振幅的比值.【詳解】由于，所以，所以6.5級地震的最大振幅與4.5級地震的最大振幅的比值為：.故選：C6.同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，2枚硬幣均正面向上的概率，再利用二項分布的期望公式計算作答.【詳解】同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣1次的不同結果有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4個，它們等可能，同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，2枚硬幣均正面向上的事件A，有一個結果，則，因同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣1次，事件A有發(fā)生與不發(fā)生兩個不同結果，因此，同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，事件A發(fā)生次數(shù)，則，所以的數(shù)學期望是1.故選：A7.已知三角形的三邊長為、、，則三角形的面積為（海倫—秦九韶公式），，若，，，則面積的最大值為（）A. B. C.16 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)海倫—秦九韶公式將三角形的面積表示出來，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：在中，由，，則，則，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以面積的最大值為.故選：A.8.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用零點存在性定理、由函數(shù)式求出函數(shù)的零點，再結合圖象判斷作答.【詳解】依題意，，于是得在y軸右側有零點2，4，排除選項A，C；由于，，則由零點存在性定理知，在上有零點，又當時，，，即，顯然選項D不滿足，B滿足.故選：B9.已知等比數(shù)列的公比，前項和為，若，，則下列說法正確的是（）A.B.C.數(shù)列與數(shù)列都是等差數(shù)列D.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】C【解析】【分析】利用基本量法求得，即可判斷A，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷牛B，求出數(shù)列前項和為，再根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷C，D.【詳解】解：由，，，得，解得，故A錯誤；則，所以，故B錯誤；則，則，，因為，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，因為，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故C正確；，因為，，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故D錯誤.故選：C.10.在直角中，，，以為直徑半圓上有一點（包括端點），若，則的最大值為（）A.4 B.C.2 D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標表示，結合三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】依題意在直角中，，，以為原點建立如圖所示平面直角坐標系，，設是的中點，則.，所以滿足，設（為參數(shù)，），依題意，即，，，，所以當時，取得最大值為.故選：C11.已知正實數(shù)，，滿足，，，則，，之間的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，在同一直角坐標系中畫出四個函數(shù)的圖像，結合圖像即可得出答案.【詳解】解：由，得，即，則為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，由，得，則為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，由，得，則為函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)，，，的圖像，由圖可知.故選：A.12.定義在上的奇函數(shù)，滿足，當時，，，則函數(shù)在的零點個數(shù)為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得時，的解析式，結合的奇偶性和對稱性畫出在區(qū)間的圖象，由來確定的零點個數(shù).【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，，當時，，，，所以當時，.是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，由于，所以圖象關于直線對稱，由此畫出在區(qū)間的圖象如下圖所示，由圖可知有個解，也即有個解，即有個零點.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，滿足，則的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標函數(shù)的幾何意義計算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影區(qū)域，其中點，，令，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線：，平移直線到直線，當直線過點A時，直線的縱截距最小，最小，，所以的最小值是1.故答案為：114.從高三年級抽取50名男生測量體重，測得體重全部集中在之間，現(xiàn)將測量體重按照從低到高分成六組：，，…，，下圖是頻率分布直方圖的一部分（缺少第四、五組的圖），已知第一組和第六組的人數(shù)相同，第四組有10人，則第五組的人數(shù)為________．【答案】5【解析】【分析】分別求出第一組和第二組以及第三組的人數(shù)，即可求得答案.【詳解】第一組人數(shù)為（人），第二組人數(shù)為（人），第三組人數(shù)為（人），第四組有10人，第六組的人數(shù)和第一組相同，有5人，故第五組的人數(shù)為（人），故答案為：515.已知：，對任意在區(qū)間上至少存在兩個不相等實數(shù)、滿足，則的最小整數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)判斷出區(qū)間的長度至少為個周期，由此列不等式求得的取值范圍，進而求得的最小整數(shù).【詳解】，，要使在區(qū)間上至少存在兩個不相等實數(shù)、滿足，則在區(qū)間內(nèi)總能同時出現(xiàn)兩個最大值或兩個最小值，所以，即，所以的最小整數(shù)為.故答案為：16.已知函數(shù)，在曲線上總存在兩點，，使得曲線在，兩點處的切線平行，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)兩直線平行結合導數(shù)的幾何意義可得，化簡可得，，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的范圍，再結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，因為在曲線上總存在兩點，，使得曲線在，相兩點處切線平行，所以，且，即，所以，所以，令，則，設，則，當時，，所以函數(shù)在上遞增，所以所以，又，，又因為，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.

故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：（本大題共5小題，每小題12分，共60分）17.在中，，，．（1）求；（2）求邊上的高．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，由此求得.（2）利用余弦定理求的，結合面積法求得邊上的高.【小問1詳解】由正弦定理得，由于，所以是銳角，所以【小問2詳解】由余弦定理得，，，解得或，設邊上的高為，則，所以，或.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是1，最小值是.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.(2)由(1)的信息判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，借助單調(diào)性求解作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為R，求導得：，則有，而，所以曲線在點處的切線方程是：.【小問2詳解】由(1)知：，當時，，，而，當且僅當時取“=”，則當時，有最小值1，即當時，，因此，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為1和.19.已知等差數(shù)列的前項和為，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，________，，．在以下三個條件中任選一個①，②，③，補充在上面橫線上，并作答．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）是否存在正整數(shù)．使得數(shù)列的前項和？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）條件選擇見解析，，（2）存在，且的最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，求得等比數(shù)列的首項和公比，從而求得數(shù)列，的通項公式.（2）先求得，由求得的最小值.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，，則解得，所以.，設等差數(shù)列的公差為，若選①，則.若選②，則.若選③，則.【小問2詳解】由于，所以，，所以，，所以正整數(shù)的最小值為.20.下表是彈簧伸長的長度與拉力值的對應數(shù)據(jù)：長度12345拉力值3781012（1）求樣本相關系數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（2）通過樣本相關系數(shù)說明與是否線性相關；若是求出與的線性回歸方程，若不是，請說明理由．參考數(shù)據(jù)和公式：，，，線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值．【答案】（1）0.98；（2）與是線性相關，回歸方程是.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定數(shù)據(jù)表求出相關系數(shù)公式中的相關量，再代入公式計算作答.(2)由(1)可得與是線性相關，再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程.【小問1詳解】依題意，，，，，，所以樣本相關系數(shù).【小問2詳解】由(1)知，接近于1，說明與具有較強的線性相關關系，，，因此，，，所以與是線性相關，回歸方程是.21.已知函數(shù)．若有兩個零點、．（1）求的取值范圍；（2）若，證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）將問題轉化為有兩個不同的根，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出大致的圖象，由數(shù)形結合法求解即可；（2）由題意得到，設，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的取值情況，即可證明結論．小問1詳解】解：有兩個零點，且，則，設，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當，，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以，故實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】證明：設，，，由已知，，，所以，，設，，則，設，則，當時，，所以函數(shù)在上遞增，，則，在遞增，又，，故．【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合應用，導數(shù)與不等式的綜合應用，利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的策略為：通常構造新函數(shù)或參變量分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍，屬于難題．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的方程為（為參數(shù)），現(xiàn)以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設、是曲線上兩個動點，且滿足，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得曲線的普通方程，然后轉化為極坐標方程.（2）求得，