(完整版)指數(shù)方程與對數(shù)方程教師版

指數(shù)方程與對數(shù)方程【知識要點】1．指數(shù)方程與對數(shù)方程的定義：在指數(shù)上含有未知數(shù)的方程，叫做指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程，叫做對數(shù)方程。2．解指數(shù)方程、對數(shù)方程的基本思想：化同底或換元。指數(shù)方程的基本類型：ax二c(a>0,a豐1,c>0),其解為x=logc；aaf(x)二ag(x)(a>0,a豐1)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程f(x)=g(x)求解；af(x)二bg(x)(a>0,a豐1,b>0,b豐1)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程f(x)lga=g(x)lgb求解；F(ax)=0(a>0,a豐1)，用換元法先求方程F(y)=0的解，再解指數(shù)方程ax=y對數(shù)方程的基本類型：logx二b(a>0,a豐1)，其解為x=aba'f(x)=g(x)logf(x)二logg(x)(a>0,a豐1)，轉(zhuǎn)化為\f(x)>0求解；aa、g(x)>0F(logx)=0(a>0,a豐1)，用換元法先求方程F(y)=0的解，再解對數(shù)方程alogx二ya【規(guī)范解答】化原方程為：1x2【規(guī)范解答】化原方程為：1x2一2ax>06a一3>0x2一2ax=6a一31a>—2(x一a)2=a2+6a一3典型例題【例1】解下列方程：9x+6x=22x+1；log4(3-x)+log丄(3+x)=log4(1-x)+log丄(2x+1)；TOC\o"1-5"\h\z44log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2.【解前點津】(1)可化為關于(—)x的一元二次方程；(2)直接化為一元二次方程求解;(3)轉(zhuǎn)化為關于3x-1的一元二次方程.33【規(guī)范解答】⑴由原方程得：32x+3x?2x=2?22x,兩邊同除以22x得：(—)2x+(—)x-2=0.因式分解得：33[(—)x-l]?[(—)x+2]=0.33*?*(—)X+2>0,A(—)x-1=0,x=0.由原方程得：Iog4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)n(3-x)?(2x+1)=(1-x)?(3+x)解之:x=0或7,經(jīng)檢驗知：x=0為原方程解.log2(9x-1-5)=log24?(3x-1-2)n9x-1-5=4?(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=0n3x-1=1或3x-1=3nx=1或2.經(jīng)檢驗x=2是原方程解.【解后歸納】指數(shù)方程與對數(shù)方程的求解思路是轉(zhuǎn)化?將超越方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，因轉(zhuǎn)化過程中有時“不等價”故須驗根，“增根須舍去，失根要找回”是解方程的基本原則.【例2】解關于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉對數(shù)符號，并保留“等價性”.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉對數(shù)符號，并保留“等價性”.....1*?*a>,211.■T—-a2+6a-3>+6X-3>0,故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=±\V2+6a—3即x=a42土ta2+6a—3(a>—).【解后歸納】含參方程的求解，常依具體條件，確定參數(shù)的取值范圍.

【例3】解關于x的方程：a2?4x+(2aT)?2x+l=0.【解前點津】令t=2x,則關于t的一元方程至少有一個正根，a是否為0,決定了方程的“次數(shù)”?【規(guī)范解答】①當a=0時，2x=l,x=0;1②當a#0時，A=(2aT)-4a2=1-4a;若人＞0則a^4(a#0)._1且關于t的一兀二次方程a2?t2+(2a-1)+1=0至少有一個正根，而兩根之積為一;〉。，故兩a2根之和為正數(shù),12a即IF〉011根之和為正數(shù),12a即IF〉011(L2a)Ha<2，故a<4(a#0)時，2x=2，故a2a2<4@#0)時,1x=lo%-2a—2a2V14*為原方程之根.【解后歸納】方程經(jīng)“換元”之后，如何保持“等價性”是關鍵所在，應確定“新元”和“舊元”的對應關系以及“新元”的取值范圍【例4】當a為何值時，關于x的方程4x-(2i+1)?2x+a2+2=0的根一個比另一個大1.【解前點津】令y=2x，則問題轉(zhuǎn)化為：關于y的方程y2-(2i+1)y+(a2+2)=0中的根一個是另一個的兩倍.【規(guī)范解答】令y=2x，Vx1=x2+1，故2x21=2?2x2，即y2=2yx，故關于y的方程y2-(倉+1)y+(a2+2)=0中的根一個是另一個的兩倍，不妨設為m，2m.0(2a1)20(2a1)24(a22)由m2m2a13m2a1m2ma222m2a222a123a22a4.【解后歸納】在不等式與方程式的混合不等式組中，常從解方程入手，將方程之根代入不等式檢驗便知真?zhèn)?【例5】(1)方程2log(2)方程log(3x)4253logx1【例5】(1)方程2log(2)方程log(3x)4253logx1的解集為25x)解：(1)設txlog(314logX，則3^25log(14x)log(2x141,t1)的解集為x25,x5352)x0。注意：在對數(shù)方程求解過程中，有些變形會改變未知數(shù)的范圍，方程可能產(chǎn)生增根或失根，故對數(shù)方程求解后必須檢驗。

【例6】關于x的方程k-9x-k-3x+i+6(k-5)二0在區(qū)間［0,2］上有解，求k的取值范圍。解法指導：有關方程的有解與無解的問題以及方程的解的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)類的問題。本題可利用分離參數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解。解：由k-9x-k-3x+1+6(k-5)二0，得30=9x-3x+1+6，因為方程在［0,2］上有解,k所以30在函數(shù)u=9x-3x+1+6,xe［0,2］的值內(nèi)取值即可，不難求得其值域為k2,82,8，所以2§k§8【例7】解關于x的方程4x-(a+1)-6x二2(a2一a)-9x(2\2(2\2x解：原方程可化為B-(a+1)?(2'13丿—2(a2—a)=0(1)則(t-2a)(t+a-1)=0(1)當a§0時，x二log(1-a)；2(2)3(2)當0va<1時，x二log(1-a),x二log(2a)；122“3當a>1時，x二log(2a)。23作業(yè)：1.方程log[log(logX)]=0的根是D)2A.1作業(yè)：1.方程log[log(logX)]=0的根是D)2A.1B.9C.25D.125方程2log2(2x2-7x+3)=X2-X-2的解集是C)A.{1，5}B.{-1，5}方程：log(x2-2x)=log(5x-6)的根的個數(shù)是(4-x)(4-x)A)A.0B.1若關于x的方程2x-1+2x2+a=0有實根，B)C.⑸D.{1}(4-x)(4-x)C.2則a的取值范圍是D.無窮多個D.(1,+◎D.(1,+◎BO,-2)5.方程2x+3x=5?6x-1的解集是B)(A.{0}B.{1}C.{-1}D.以上都不是6?若關于x的方程：lg(ax)?lg(ax2)=4的根都大于1,貝V實數(shù)a的取值范圍是(C)A.(0,1)B.(丄,1)C.(0,丄)D.(1,+-)100100若關于x的方程ax-a-x二b(ax+a-x)(a>0,aH1)有解，則b的取值范圍是(B)-1)A.[—1,1]B.(-1,1)C(—x,-1)U[1,+*)D.(—x.-1)U(1,+x)關于x的方程|x-2|=logx(a>1)的解的個數(shù)是a(C)A.0B.1C.2D.3A.0B.1C.2D.3、思維激活若關于x的方程：2x2+(3logm-1)x-3=0和6x2+(2logm-3)x-2=0有公共根,TOC\o"1-5"\h\z22則使logm為整數(shù)的m值為.10?從方程組中消去x2得公共根為：x=logm2，令u=log2m代入第一個原方程得—+(3u-1)?丄-3=0nu=2nlog2m=2,u2u11?方程5i°g34x=12i°g35的解集是.兩邊取對數(shù)：log3(4x)?log35=log35?log312n4x=12,?：x=3即解集為{3}.關于x的方程5x=lg(a+3)有負根，aez,則a的值所成之集為.Txv0,???5xG(0,1)即0vlg(a+3)v1nIg1vlg(a+3)vlg10n1<a+3<10n-3vav7,???aG{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.二、能力提咼13?解方程：9x-4?3x+3=0.由(3x)2-4(3x)+3=0n(3x-1)(3x-3)=0n3x=1或3nx=0或1.已知關于x的方程：2log2x-7?logx+3=0有一個根是2,求a值及另一個TOC\o"1-5"\h\zaa根.14.設另一根為m,VA>0，故由根與系數(shù)關系得:nSga2log14.設另一根為m,VA>0，故由根與系數(shù)關系得:nSga23log2?logm=—aa27(7(2-10ga2)=—na=4或32222解關于x的方程：lg(ax-l)-lg(x-l)=l.15.由<ax-1><ax-1>0ax-1=10(x-1)ax-1=10x-1