原創(chuàng)2019年南方新課堂高考總復習數(shù)學理科第三章第5講兩角和與差及二倍角三角函數(shù)公式配套課件

考綱要求考點分布考情風向標會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式．能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式．能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系2011年新課標第7題考查同角關(guān)系式及二倍角公式；2013年新課標Ⅰ第10題以解三角形為背景，考查倍角公式及余弦定理；2013年新課標Ⅱ第6題考查誘導公式、二倍角公式(降冪公式)；2014年新課標Ⅱ第14題考查兩角和差的三角函數(shù)；2015年新課標Ⅰ第2題考查誘導公式、兩角和與差的正余弦公式；2016年新課標Ⅰ第14題考查三角函數(shù)求值；2017年新課標Ⅲ第4題考查二倍角公式，新課標Ⅰ第15題考查兩角和與差的余弦公式本節(jié)復習時，應(yīng)準確把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、變形用、創(chuàng)造條件用)；重點解決三角函數(shù)式的化簡、求值、求角問題三角函數(shù)兩角和簡寫形式正弦sin(α＋β)＝sin

αcos

β＋cos

αsin

βSα＋β余弦cos(α＋β)＝

cos

αcos

β－sin

αsinβCα＋β正切tan

α＋tan

βtan(α＋β)＝1－tan

αtan

βTα＋β1.兩角和與差的三角函數(shù)三角函數(shù)兩角差簡寫形式正弦sin(α－β)＝sin

αcos

β－cos

αsin

βSα－β余弦cos(α－β)＝cos

αcos

β＋sin

αsin

βCα－β正切tan

α－tan

βtan(α－β)＝1＋tan

αtan

βTα－β(續(xù)表)三角函數(shù)二倍角簡寫形式正弦sin

2α＝ 2sinαcos

α

S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α正切tan

2α＝

2tanα1－tan2αT2α2.二倍角的三角函數(shù)3.降次公式cos2α＝1＋cos

2α22；sin

α＝1－cos

2α2.4.輔助角公式asin

x＋bcos

x＝

a2＋b2sin(x＋φ).其中cos

φ＝a2＋b2，sin

φ＝a

ba2＋b2，abtanφ＝，角φ

稱為輔助角.41.下列各式的值為1

(的是D

)12A.2cos2

π

－1B.1－2sin275°C.

2tan

22.5°1－tan222.5°D.sin

15°cos

15°2(

C

)A.π2C.πB.3D.2π解析：y＝π2π3sin

2x＋cos

2x＝2sin2x＋6，T＝

2

＝π.433.(2017年山東)已知

cosx＝

，則

cos

2x＝(

D

)A.

1

1－4

B.41C.－81D.81解析：cos

2x＝2cos2x－1＝8.4.(2016

年π)cos2

－sin2π8

8解析：由二倍角公式，得cos2ππ

π

2

8－sin28＝cos

4＝

2

.

2＝

2

.考點

1給角求值問題例＝()A.－33

1B.

C.－22

2

2答案：D1

故解析：原式＝sin

20°cos

10°＋cos

20°sin

10°＝sin

30°＝2.選D.(2)(2015年

)sin

15°＋sin

75°＝

.解析：方法一，sin

15°＋sin

75°＝sin

15°＋cos

15°＝62sin(15°＋45°)＝

2

.方法二，sin

15°＋sin

75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝62sin

45°cos30°＝

2

. 6－

2方法三，sin

15°＋sin

75°＝4＋ 6＋

24

6＝

2

.答案：

62(3)計算：cos

10°＋

3sin

10°1－cos

80°＝

.解析：

cos

10°＋

3sin

10°1－cos

80°＝2cos10°－60°2sin240°＝2cos50°2sin40°＝2.答案：2(4)計算：tan

20°＋tan

40°＋3tan

20°tan

40°＝

.tan

20°＋tan

40°解析：tan(20°＋40°)＝1－tan20°tan

40°，可得3－3tan

20°tan

40°＝tan

20°＋tan

40°，移項，可得tan

20°＋tan

40°＋

3tan20°tan

40°＝

3.答案：3【規(guī)律方法】三角函數(shù)的給角求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)當已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差；

(2)當已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補”的關(guān)系.考點

2給值求值問題例2

π3

πsinθ＋4＝5，則

tanθ－4＝

.解

π得cosθ＋4＝5

π45

ππ4cosθ＋4＝

.∴tanθ－4＝－tan

－θ＝co44－3.4答案：－3(2)(201(

)7A.－92B.－92C.99解析：由s2sin

αcos

α＝1－sin

2α＝16

sin

2α＝－.故選9

，所以

9答案：A(3)(2017

年新課標＝

.解析：由tan

α＝2，得sin

α＝2cos

α，又sin2α＋cos2α＝12

π所以

cos

α＝5.因為

α∈0，2，所以

cos

α＝

5

，sin

α＝1

5

2

55.

π因為

cosα－4＝cos

αcos4＋sin

αsin4＝

5

×

2

＋5π

π

5

2

2

5

2×

2

＝3

1010

.答案：3

1010A.1B.2C.3

D.4(4)(2015

年重慶)若tan

α＝2tanπ5，則3πcosα－10

πsinα－5＝(

)解析：由已知，3πcosα－10

πsinα－5＝3π

3πcos

αcos

10＋sin

αsin

10sin

αcos

π－cos

αsin

π5

5＝cos

3π＋tan

αsin

3π

10

10πtan

αcos

5－sin

5π

＝10cos

3π＋π

3π2tan

5sin

102tan

πcos

π－sin

π5

5

5答案：C＝cos

π

3π

π

3π

5cos

10＋2sin

5sin

10sin

π

π5cos

5＝3sin

π

π5cos

52sin1

2π5＝3sin

2π

5sin2π

＝3.故選C.5(5)(2017

年則cos

α＝

.

π

π23解析

5

π＝

3

.所以

cos

α＝cosα＋3－32

1

5

3＝－3×2＋

3

×

2

＝

15－26.答案：

15－2

6考點

3給值求角問題5例

3：已知

A，B

均為鈍角，且

sin

A＝

5

sin

B＝，1010，求A＋B

的值.5解：∵A，B

均為鈍角，且

sin

A＝

5

sin

B＝，1010

，5∴cos

A＝－

1－sin2A＝－

2

＝－2

55，1010cos

B＝－

1－sin2B＝－

3

＝－

.3

10∴cos(A＋B)＝cos

Acos

B－sin

Asin

B＝－5

×－

102

5

3

10

5

10

2－

5

×

10

＝

2

.π

π∵2<A<π，2<B<π，7π∴π<A＋B<2π.∴A＋B＝

.4【規(guī)律方法】已知三角函數(shù)值求角時，要先確定所求角的范圍，再選擇在該范圍內(nèi)具有單調(diào)性的某一三角函數(shù)求解，否

ππ則容易出現(xiàn)增根.如若α∈(0，π)，則選余弦函數(shù)；若α∈－2，2則選正弦函數(shù).【互動探究】1.已知

α，β

為銳角，且

cos

α＝

1

，cosβ＝

1

，為了求10

5α＋β的值，要先求sin(α＋β)或cos(α＋β)，你認為選

cos(α＋β)3π更好.最后求得α＋β＝

4

.難點突破⊙利用函數(shù)的思想探討三角函數(shù)的最值問題例題：函數(shù)

y＝sin

x＋cosx＋2sin

xcosx

的最大值是

.2≤t≤

2.解析：令sin

x＋cos

x＝t，則－平方，得

1＋2sin

xcos

x＝t2.所以

2sin

xcos

x＝t2－1.2

125則y＝t＋t

－1＝t＋2

－4.1函數(shù)圖象的對稱軸方程為

t＝－2.所以當

t＝

2時，ymax＝

2＋( 2)2－1＝

2＋1.答案：2＋1【互動探究】2.(2016

年2

πsin

x－6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；ππ(2