八上期末復(fù)習(xí)《一次函數(shù)》壓軸題含答案解析

.6/6一次函數(shù)綜合題選講及練習(xí)例1．如圖①所示,直線(xiàn)L：y=mx+5m與x軸負(fù)半軸,y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．〔1當(dāng)OA=OB時(shí),求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線(xiàn)L的解析式；〔2在〔1的條件下,如圖②所示,設(shè)Q為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),作直線(xiàn)OQ,過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=,求BN的長(zhǎng)；〔3當(dāng)m取不同的值時(shí),點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng),分別以O(shè)B、AB為邊,點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,連EF交y軸于P點(diǎn),如圖③．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),試猜想PB的長(zhǎng)是否為定值？若是,請(qǐng)求出其值；若不是,說(shuō)明理由．變式練習(xí)：1．已知：如圖1,一次函數(shù)y=mx+5m的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與函數(shù)y=﹣x的圖象交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3．〔1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2若點(diǎn)Q為直線(xiàn)OC上一點(diǎn),且S△QAC=3S△AOC,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；〔3如圖2,點(diǎn)D為線(xiàn)段OA上一點(diǎn),∠ACD=∠AOC．點(diǎn)P為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且點(diǎn)P到直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CO的距離相等．①在圖2中,只利用圓規(guī)作圖找到點(diǎn)P的位置；〔保留作圖痕跡,不得在圖2中作無(wú)關(guān)元素．②求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2．如圖1,已知一次函數(shù)y=﹣x+6分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)BC交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)C,且OC=OB．〔1求直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式；〔2如圖2,若△ABC中,∠ACB的平分線(xiàn)CF與∠BAE的平分線(xiàn)AF相交于點(diǎn)F,求證：∠AFC=∠ABC；〔3在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△ABP為等腰三角形？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．變式練習(xí)：2．如圖,直線(xiàn)l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點(diǎn),C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段AC、AB上〔點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合,滿(mǎn)足∠BPQ=∠BAO．〔1點(diǎn)A坐標(biāo)是,BC=．〔2當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△APQ≌△CBP,說(shuō)明理由．〔3當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)．課后作業(yè)：1．已知,如圖直線(xiàn)y=2x+3與直線(xiàn)y=﹣2x﹣1相交于C點(diǎn),并且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)．〔1求兩直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)及交點(diǎn)C的坐標(biāo)；〔2求△ABC的面積．2．如圖①,直線(xiàn)y=﹣x+1分別與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),在y軸的負(fù)半軸上截取OC=OB〔1求直線(xiàn)AC的解析式；〔2如圖②,在x軸上取一點(diǎn)D〔1,0,過(guò)D作DE⊥AB交y軸于E,求E點(diǎn)坐標(biāo)．3．如圖,直線(xiàn)L：y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),在y軸上有一點(diǎn)C〔0,4,動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng)．〔1求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2當(dāng)M在x軸正半軸移動(dòng)并靠近0點(diǎn)時(shí),求△COM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M在O點(diǎn)時(shí),△COM的面積如何？當(dāng)M在x軸負(fù)半軸上移動(dòng)時(shí),求△COM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)寫(xiě)出每個(gè)關(guān)系式中t的取值范圍；〔3當(dāng)t為何值時(shí)△COM≌△AOB,并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：例1．[考點(diǎn)]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1當(dāng)y=0時(shí),x=﹣5；當(dāng)x=0時(shí),y=5m,得出A〔﹣5,0,B〔0,5m,由OA=OB,解得：m=1,即可得出直線(xiàn)L的解析式；〔2由勾股定理得出OM的長(zhǎng),由AAS證明△AMO≌△ONB,得出BN=OM,即可求出BN的長(zhǎng)；〔3作EK⊥y軸于K點(diǎn),由AAS證得△ABO≌△BEK,得出對(duì)應(yīng)邊相等OA=BK,EK=OB,得出EK=BF,再由AAS證明△PBF≌△PKE,得出PK=PB,即可得出結(jié)果．[解答]解：〔1∵對(duì)于直線(xiàn)L：y=mx+5m,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣5,當(dāng)x=0時(shí),y=5m,∴A〔﹣5,0,B〔0,5m,∵OA=OB,∴5m=5,解得：m=1,∴直線(xiàn)L的解析式為：y=x+5；〔2∵OA=5,AM=,∴由勾股定理得：OM==,∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°,∠AOB=90°,∴∠AOM+∠BON=90°,∵∠AOM+∠OAM=90°,∴∠BON=∠OAM,在△AMO和△OBN中,,∴△AMO≌△ONB〔AAS∴BN=OM=；〔3PB的長(zhǎng)是定值,定值為；理由如下：作EK⊥y軸于K點(diǎn),如圖所示：∵點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,∴AB=BE,∠ABE=90°,BO=BF,∠OBF=90°,∴∠ABO+∠EBK=90°,∵∠ABO+∠OAB=90°,∴∠EBK=∠OAB,在△ABO和△BEK中,,∴△ABO≌△BEK〔AAS,∴OA=BK,EK=OB,∴EK=BF,在△PBF和△PKE中,,∴△PBF≌△PKE〔AAS,∴PK=PB,∴PB=BK=OA=×5=．[點(diǎn)評(píng)]本題是一次函數(shù)綜合題目,考查了一次函數(shù)解析式的求法、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng),難度較大,特別是〔3中,需要通過(guò)作輔助線(xiàn)兩次證明三角形全等才能得出結(jié)果．變式練習(xí)：1．[考點(diǎn)]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式,求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo),然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求得m的值,則易求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2由S△QAC=3S△AOC得到點(diǎn)Q到x軸的距離是點(diǎn)C到x軸距離的3倍或點(diǎn)Q到x軸的距離是點(diǎn)C到x軸距離的2倍；〔3①如圖2,以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,該弧與x軸的交點(diǎn)即為P；②如圖3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC,求出AD的長(zhǎng),進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出CD解析式,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出公式,=,解出a的值即可．[解答]解：〔1把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．則C〔﹣3,2．將其代入y=mx+5m,得：2=﹣3m+5m,解得m=1．則該直線(xiàn)方程為：y=x+5．令x=0,則y=5,即B〔0,5；〔2由〔1知,C〔﹣3,2．如圖1,設(shè)Q〔a,﹣a．∵S△QAC=3S△AOC,∴S△QAO=4S△AOC,或S△QAO=2S△AOC,①當(dāng)S△QAO=4S△AOC時(shí),OA?yQ=4×OA?yC,∴yQ=4yC,即|﹣a|=4×2=8,解得a=﹣12〔正值舍去,∴Q〔﹣12,8；②當(dāng)S△QAO=2S△AOC時(shí),OA?yQ=2×OA?yC,∴yQ=2yC,即|﹣a|=2×2=4,解得a=6〔舍去負(fù)值,∴Q′〔6,﹣4；綜上所述,Q〔﹣12,8或〔6,﹣4．〔3①如圖2,以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,該弧與x軸的交點(diǎn)即為P；②如圖3,作P1F⊥CD于F,P1E⊥OC于E,作P2H⊥CD于H,P2G⊥OC于G．∵C〔﹣3,2,A〔﹣5,0,∴AC==2,∵∠ACD=∠AOC,∠CAO=∠DAC,∴△CAO∽△DAC,∴=,∴AD=,∴OD=5﹣=,則D〔﹣,0．設(shè)CD解析式為y=kx+b,把C〔﹣3,2,D〔﹣,0分別代入解析式得,解得,函數(shù)解析式為y=5x+17,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔a,0,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,=,兩邊平方得,〔5a+172=2×4a2,解得a=﹣5±2,∴P1〔﹣5﹣2,0,P2〔﹣5+2,0．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了一次函數(shù)綜合題,涉及坐標(biāo)與圖象的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、三角形的面積公式等知識(shí),綜合性較強(qiáng),值得關(guān)注．法二：例2．[考點(diǎn)]一次函數(shù)綜合題．[分析]〔1根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式；〔2根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì),可得∠FCA=∠BCA,∠FAE=∠BAE,根據(jù)三角形外角的關(guān)系,可得∠BAE=∠ABC+∠BCA,∠FAE=∠F+∠FCA,根據(jù)等式的性質(zhì),可得答案；〔3根據(jù)等腰三角形的定義,分類(lèi)討論：AB=AP=10,AB=BP=10,BP=AP,根據(jù)線(xiàn)段的和差,可得AB=AP=10時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),可得AB=BP=10時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,可得BP=AP時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．[解答]解：〔1當(dāng)x=0時(shí),y=6,即B〔0,6,當(dāng)y=0時(shí),﹣x+6=0,解得x﹣8,即A〔8,0；由OC=OB,得OC=3,即C〔﹣3,0；設(shè)BC的函數(shù)解析式為,y=kx+b,圖象過(guò)點(diǎn)B、C,得,解得,直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x+6；〔2證明：∵∠ACB的平分線(xiàn)CF與∠BAE的平分線(xiàn)AF相交于點(diǎn)F,∴∠FCA=∠BCA,∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角,∠FAE是△FAC的外角,∴∠BAE=∠ABC+∠BCA,∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA,∠ABC=∠F；〔3當(dāng)AB=AP=10時(shí),8﹣10=﹣2,P1〔﹣2,0,8+10=18,P2〔18,0；當(dāng)AB=BP=10時(shí),AO=PO=8,即P3〔﹣8,0；設(shè)P〔a,0,當(dāng)BP=AP時(shí),平方,得BP2=AP2,即〔8﹣a2=a2+62化簡(jiǎn),得16a=28,解得a=,P4〔,0,綜上所述：P1〔﹣2,0,P2〔18,0,P3〔﹣8,0；P4〔,0．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了一次函數(shù)綜合題,〔1利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系求出A、B、C的值又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；〔2利用了角平分線(xiàn)的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),〔3利用了等腰三角形的定義,分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．變式練習(xí)：2．[考點(diǎn)]一次函數(shù)綜合題。[分析]〔1把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式,求出A、B的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理求出BC即可．〔2求出∠PAQ=∠BCP,∠AQP=∠BPC,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AP=BC,根據(jù)全等三角形的判定推出即可．〔3分為三種情況：①PQ=BP,②BQ=QP,③BQ=BP,根據(jù)〔2即可推出①,根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可判斷②,根據(jù)勾股定理得出方程,即可求出③．[解答]解：〔1∵y=x+6,∴當(dāng)x=0時(shí),y=6,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣8,即A的坐標(biāo)是〔﹣8,0,B的坐標(biāo)是〔0,6,∵C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴C的坐標(biāo)是〔8,0,∴OA=8,OC=8,OB=6,由勾股定理得：BC==10,故答案為：〔﹣8,0,10．〔2當(dāng)P的坐標(biāo)是〔2,0時(shí),△APQ≌△CBP,理由是：∵OA=8,P〔2,0,∴AP=8+2=10=BC,∵∠BPQ=∠BAO,∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°,∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°,∴∠AQP=∠BPC,∵A和C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴∠BAO=∠BCP,在△APQ和△CBP中,,∴△APQ≌△CBP〔AAS,∴當(dāng)P的坐標(biāo)是〔2,0時(shí),△APQ≌△CBP．〔3分為三種情況：①當(dāng)PB=PQ時(shí),∵由〔2知,△APQ≌△CBP,∴PB=PQ,即此時(shí)P的坐標(biāo)是〔2,0；②當(dāng)BQ=BP時(shí),則∠BPQ=∠BQP,∵∠BAO=∠BPQ,∴∠BAO=∠BQP,而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：∠BQP＞∠BAO,∴此種情況不存在；③當(dāng)QB=QP時(shí),則∠BPQ=∠QBP=∠BAO,即BP=AP,設(shè)此時(shí)P的坐標(biāo)是〔x,0,∵在Rt△OBP中,由勾股定理得：BP2=OP2+OB2,∴〔x+82=x2+62,解得：x=﹣,即此時(shí)P的坐標(biāo)是〔﹣,0．∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔2,0或〔﹣,0．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,題目綜合性比較強(qiáng),難度偏大．課后作業(yè)：1．解：〔1當(dāng)x=0時(shí),y=2x+3=3,則A〔0,3；當(dāng)x=0時(shí),y=﹣2x﹣1=﹣1,則B〔0,﹣1；解方程組得,則C點(diǎn)坐標(biāo)為〔﹣1,1；〔2△ABC的面積=×〔3+1×1=2．2．解：〔1y=﹣x+1,當(dāng)x=0時(shí),y=1,當(dāng)y=0時(shí),x=2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2,0,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0,1,∵在y軸的負(fù)半軸上截取OC=OB,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0,﹣1,設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A〔2,0,C〔0,﹣1代入得：解得：∴y=x﹣1．〔2由直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+1,DE⊥AB,設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為y=x+b,把D〔1,0代入得：b=0,解得：b=﹣,∴直線(xiàn)DE的解析式為y=x﹣,當(dāng)x=0時(shí),y=﹣,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔0,﹣．3