數(shù)概-七八章8.1假設(shè)檢驗(yàn)

例：某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,

袋裝糖的凈重是一個(gè)隨 量,

它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5kg,

標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg.

某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,

隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,

稱(chēng)得凈重為(kg):0.4970.5060.518

0.5240.4980.5110.5200.5150.512,問(wèn)機(jī)器工作是否正常?一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理重總體X

的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,長(zhǎng)期實(shí)踐表明標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定,

0.015,分析以和分別表示這一天袋裝糖的凈還是

0.5

.根據(jù)樣本值判斷

0.5提出兩個(gè)相互對(duì)立的假設(shè)H1

:

0

.為此原假設(shè)

H

0

:

0備擇假設(shè)0.5問(wèn)題X

是

的無(wú)偏估計(jì),

H

0為真, |

x

0

|

不應(yīng)由于要檢驗(yàn)的假設(shè)涉及總體均值

可借助樣本均值X進(jìn)行判斷.太大,的大小。當(dāng)H0為真時(shí)~

N

(0,1).

0/

nX

/

n0衡量|

x

|的大小可歸結(jié)為衡量|

x

|

k時(shí),

假設(shè)H0

,0/

n當(dāng)觀(guān)測(cè)值x滿(mǎn)足x

0

k時(shí),

就接受假設(shè)H

.反之，若x

0/

nk=?適當(dāng)選取一正數(shù)k兩類(lèi)錯(cuò)誤及記號(hào)假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是:

小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生,

但很難發(fā)生不等于不發(fā)生,

因而假設(shè)這種錯(cuò)誤有檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的.兩類(lèi):(1)

當(dāng)原假設(shè)H0為真,觀(guān)察值卻落入.真錯(cuò)誤,

犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是顯著性水平作出了H0的判斷,稱(chēng)做第一類(lèi)錯(cuò)誤,又叫棄域,

而P{

H0

/H0為真}=而作出了接受

H0

的判斷,

稱(chēng)做第二類(lèi)錯(cuò)誤,

又叫取偽錯(cuò)誤,一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)樣本容量

n一定時(shí),

若減少犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率,

則犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率往往增大.若要使犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都減小,

除非增加樣本容量n.(2)當(dāng)原假設(shè)

H0

不真,

而觀(guān)察值卻落入接受域,~

N

(0,1),0/

nX

0由于當(dāng)H

為真時(shí)，Z

P{

H0

/H0為真}=0

k/H

為真}=/

nP{

x

0k=z/2一般來(lái)說(shuō)，

控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為。P{

H0

/H0為真}=k=?選取的依據(jù)例1：某車(chē)間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,袋裝糖的凈重是一個(gè)隨量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5kg,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg.

某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋,稱(chēng)得凈重為(kg):0.4970.5060.518

0.5240.4980.5110.5200.5150.512,問(wèn)機(jī)器工作是否正常?取

0.05,

=0.015/2

2.2

>z/

nx

0解（1） 原假設(shè)

H0

:

0H1

:

0

.備擇假設(shè)0.5

（4）查表，計(jì)算已知n

9,

0.05,

=0.015查表：z/2

1.96,計(jì)算：x

0.511,0（2）選統(tǒng)計(jì)量，H

為真時(shí)，~

N

(0,1),0/

nX

Z

（3）求出 域，/

20/H

為真}=/

nx

P{ 0

z（5）做出判斷原假設(shè)H0

,接受備擇假設(shè)H1練習(xí)：P218 2題s2

9200,

問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?(取

0.02)例2

某廠(chǎng)生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,

其

長(zhǎng)期以的波動(dòng)性有所變化.的樣本方差電池,從它生產(chǎn)情況來(lái)看,現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,

測(cè)出其來(lái)服從方差2

5000的正態(tài)分布,

現(xiàn)有一批這種

0.02,(n

1)

44.31,n

26,(n

1)

11.52,/

221/22解:

(1)H0

:

5000,2H1

:

5000.2（2）選統(tǒng)計(jì)量，H0為真時(shí)，22(n

1)S

2~

(n

1),0（3）求出 域，

2(n

1)s2(n

1)1/

2

202

20或(n

1)s(n

1).2/

2（4）查表，計(jì)算0

2(n

1)s246500025

9200（5）做出判斷接受原假設(shè)H0練習(xí)：P218 13題二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念1.顯著性水平如果

z

/

n著的,則H0

;反之,如果則稱(chēng)x

與0的差異是顯接受H0

.z

/

n則稱(chēng)x

與0的差異是不顯著的,則數(shù)

稱(chēng)為顯著性水平.2.

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)法統(tǒng)計(jì)量

Z

X

0

稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量./

n3.

原假設(shè)與備擇假設(shè)前面的檢驗(yàn)問(wèn)題通常敘述成:在顯著性水平下,檢驗(yàn)假設(shè)原假設(shè)H

0

:

0

,備擇假設(shè)

H1

:

0

.4.域與臨界點(diǎn)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí),拒域,絕原假設(shè)H0

,

則稱(chēng)區(qū)域C為點(diǎn)稱(chēng)為臨界點(diǎn).如在上例中,域?yàn)閨z

|

z/2

,臨界點(diǎn)為

z

z/

2

,

z

z/

2

.域的邊界5.

兩類(lèi)錯(cuò)誤及記號(hào)(1)棄真錯(cuò)誤。取偽錯(cuò)誤。第一類(lèi)錯(cuò)誤,第二類(lèi)錯(cuò)誤,(2)6.顯著性檢驗(yàn)只對(duì)犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率加以控制,

而不考慮犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn),

稱(chēng)為顯著性檢驗(yàn).7.

雙邊假設(shè)檢驗(yàn)形如H

0

:

0

,H1

:

0

的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)

為雙邊假設(shè)檢驗(yàn).8.

右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)形如H

0

:

0

,H1

:

0

的假設(shè)檢驗(yàn)

稱(chēng)為右邊檢驗(yàn).形如H

0

:

0

,H1

:

0

的假設(shè)檢驗(yàn)

稱(chēng)為左邊檢驗(yàn).右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱(chēng)為單邊檢驗(yàn).9.

單邊檢驗(yàn)的

域設(shè)總體

X

~

N

(,

2

),

為已知,是來(lái)自總體

X

的樣本,

給定顯著性水平.n右邊檢驗(yàn)的/

n域?yàn)?/p>

z

x

0

z

,左邊檢驗(yàn)的域?yàn)?/p>

z

x

0/

n

z

.則：9.

單邊檢驗(yàn)的

域設(shè)總體X

~

N

(,

2

),

為已知,是來(lái)自總體X

的樣本,

給定顯著性水平

.則：n三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求,提出原假設(shè)

H0

及備擇假設(shè)H1

;選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；3.

按

絕

H0

/H}=求出拒絕域;0，還是

H0

.查表，計(jì)算；根據(jù)樣本觀(guān)測(cè)值確定接受例2

公司從生產(chǎn)商牛奶.

公司懷疑生產(chǎn)商在牛奶中摻水以謀利.通過(guò)測(cè)定牛奶的冰點(diǎn)，可以檢驗(yàn)出牛奶是否摻水.天然牛奶的冰點(diǎn)溫度近似服從正態(tài)分布，均值0

0.545C

,標(biāo)準(zhǔn)差

0.008C.牛奶摻水可使冰點(diǎn)溫度升高而接近于水的冰點(diǎn)溫度(0C

).

測(cè)得生產(chǎn)商提交的5批牛奶的冰點(diǎn)溫度，其均值x

0.535C

,

問(wèn)是否可以認(rèn)為生產(chǎn)商在牛奶中摻了水？取

0.05.解H

0

:H1

:按題意需檢驗(yàn)假設(shè)

0

0.545(即設(shè)牛奶未摻水)

0(即設(shè)牛奶已摻水)這是右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，其z

x

0

z域?yàn)?.645.

n0.05現(xiàn)在z

0.535

(0.545)2.7951

1.645,z的值落在

0.05下0.008

5域中，所以 在顯著性水平H

0

,即認(rèn)為牛奶商在牛奶中摻了水.四、單個(gè)總體N

(,2

)參數(shù)的檢驗(yàn)1.

2

為已知,

關(guān)于的檢驗(yàn)在上節(jié)中過(guò)正態(tài)總體

N(,)2當(dāng)2為已知時(shí),關(guān)于

0的檢驗(yàn)問(wèn)題:假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

;假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

;假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

.X

-0~

N

(0,1)/

n(Z

檢驗(yàn)法)一個(gè)有用的結(jié)論H1

:

和檢驗(yàn)問(wèn)題當(dāng)顯著性水平均為

時(shí),檢驗(yàn)問(wèn)題

H0

:

0

,H0

:

0

,

H1

:

0有相同的

域.x

0/

n

z

.四、單個(gè)總體N

(

,

2

)均值

的檢驗(yàn)2.

2

為未知,

關(guān)于的檢驗(yàn)當(dāng)2為未知時(shí),

關(guān)于

0的檢驗(yàn)問(wèn)題:(1)假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

;(2)

假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

;(3)假設(shè)檢驗(yàn)

H0

:

0

,

H1

:

0

.X

-0S/

n~

t(n

1)(t

檢驗(yàn)法),

均為未知.

現(xiàn)測(cè)得只元件的問(wèn)是否有理由認(rèn)為元件的平均大于225(小時(shí))?例1分布,如下:解H取1依題意需檢驗(yàn)假設(shè)nxs某種電子元件的

X(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)查表得0.05t

(15)

1.7531

0.6685s

/

nt

x

0不大于

小時(shí)故接受H0

,認(rèn)為元件的平均t表分布四、單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)H

:2

2

,1

03.

關(guān)于2

的檢驗(yàn)1

02

2H

:

H

: