(解答)學期工科高數(shù)

(解答)學期工科高數(shù)(解答)學期工科高數(shù)(解答)學期工科高數(shù)華南農(nóng)業(yè)大學期末考試一試卷〔A〕卷2005學年第2學期高等數(shù)學〔工科〕考試時間：120分鐘一.填空題〔每題3分，共24分〕1.函數(shù)zxyx2y20f(x,y)x2y2x2y2，在點(0,0)處對00x的一階導數(shù)fx(0,0)_____解答：fx(0,0)f(x,0)f(0,0)lim00limx0xx0x02.設(shè)D:x2y24x，那么f(x,y)dxdy在極坐標系下的二次積分D為_____解答：積分地區(qū)就是2,04cos，所以224cosf(x,y)dxdydf(cos,sin)dD023.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在[,)上的表達式為f(x)2x010x，那么f(x)的傅立葉級數(shù)在x0時收斂于_____解答：函數(shù)f(x)在x0處中斷，且f(00)2,f(00)1，進而傅立葉級數(shù)在x0處收斂于1(21)122sin(xy2)lim_____4.x0xy21/7limsin(xy2)limsin(xy2)limy24limsint解答：24(x,y)(0,2)x(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)t0t5.函數(shù)zexsin(x2y)在點(0,)處的全微分為_____4解答：zexsin(x2y)excos(x2y)，zxx

1(0,)4z2excos(x2y)，zyy

0(0,)4進而函數(shù)在該點處的全微分為dx1假定級數(shù)n1np3發(fā)散，那么p_____解答：p31p27.設(shè)由方程2x2y2z22z0確立隱函數(shù)zf(x,y)，那么z_____x解答1：兩邊對x求偏導得4x2zz2z0，進而z2xxxx1z解答2：兩邊微分得4xdx2ydy2zdz2dz0整理得(1z)dz2xdxydy，即dz2xdxydy1z1z于是z2x,zyx1zy1z8.微分方程y//2y/5y0的通解為_____解答：特色方程為r22r50解得r1,212i所以原方程的通解為yex(cos2xC2sin2x)C1二.選擇題〔每題2分，共16分〕2/71.微分方程xy/y3的特解是〔〕yx101B.3(1x)A.31x1D.1xC.1xdydx解答：分別變量得3yx兩邊積分得y31cx代入初始條件得1y331c，進而特解為x313x選A2.設(shè)點(0,0)是函數(shù)f(x,y)的駐點，那么函數(shù)f(x,y)在(0,0)處〔〕A.必有極大值B.可能有極值，也可能無極值C.必有極小值D.必無極值解答：選B3.二重積分(x2y2)d〔〕，此中地區(qū)D:x2y22所D圍成的閉地區(qū)A.B.2C.4D.8解答：用極坐標系計算22(x2y2)dd2d2D00選B4.假定在點M處可微，那么在點M處沿任何方向的方導游數(shù)〔〕3/7A.必然存在B.必然不存在C.可能存在也可能不存在D.僅在x軸y軸方向存在，其余方向不存在解答：選A5.假定L是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為極點的三角形的界限，那么(xy)ds〔〕LA.12B.22C.12D.2211解答：OA段的參數(shù)方程為y0,0x1，所以(xy)dsx10dx2OA01ABy1x,0x1(x)ds1112段的參數(shù)方程為，所以AB011OB段的參數(shù)方程為x0,0y1，所以(xy)dsy10dy2OB0進而(xy)ds(xy)ds12LOAABOB選C設(shè)地區(qū)G為開地區(qū)，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)擁有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么曲線積分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G內(nèi)與路徑?jīng)]關(guān)的L充分必需條件是〔〕A.QP((x,y)G)xyB.任取地區(qū)G內(nèi)一條閉合曲線C，有P(x,y)dxQ(x,y)dy0CC.存在一個二元函數(shù)uu(x,y)，使得duP(x,y)dxQ(x,y)dyD.以上答案都正確4/7解答：選D7.設(shè)表示平面xyz1上被三個坐標面截下的局部，那么(xyz)dS為〔〕B.32C.3D.23解答：曲面的方程為z1xy，在xOy面上的投影D為x軸、y軸、xy1所圍區(qū)域，所以(xyz)dS1111dxdy33dxdyDD2選B8.設(shè)uf(xy,x2y2z2)，那么u〔〕zA.f12zf2B.yf12zf2C.xf12zf2D.2zf2解答：選D

uf1z(xy)f2(x2y2z2)2zf2zz三.〔本題13分〕計算三重積分zdV，此中是由曲面z2x2y2及zx2y2所圍成的閉地區(qū)解答1：由立體的形狀及積分函數(shù)的特色，選先算二重積分再算一重積分的方法，把z放在最外層積分。在z軸上的投影為0z2，當0z1時，用垂直于z軸的平面截立體所得截面Dz1為x2y2z；當1z2時，用垂直于z軸的平面截立體所得截面Dz2為x2y22z2，進而文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜尋12127zdvdzzdxdydzzdxdyz2dz(2zz3)dz0Dz1Dz201121解答2：用柱面坐標系計算5/7在xOy面上的投影D為02,01，又2z221221217zdvddzdzd235d00220012

2，所以四.〔本題13分〕計算曲線積分(exsiny2y1)dx(excosy2x)dy，此中L為下半圓周L(x1)2y24,y0，沿順時針方向解答：直接計算特別麻煩，用格林公式就很簡單，注意到QP，所以可以用積分與路xy徑?jīng)]關(guān)設(shè)L1為y0，x從3到-1，因為(excosy2x)excosy2(exsiny2y1)，xy所以積分與路徑?jīng)]關(guān)。而L與L1的起點終點同樣，進而(exsiny2y1)dx(excosy2x)dy(exsiny2y1)dx(excosy2x)dyLL111dx432n1x2n2五.〔本題13分〕求級數(shù)n12n的收斂地區(qū)以及和函數(shù)解答：該冪級數(shù)不可以直接用定理求收斂半徑，要用定理的推導思路去求2(n1)1x2(n1)22lim2n1lim2n1x2xn2n1x2n2n2(2n1)22n22x2x，即x2時，級由比值審斂法，當1，即x時，級數(shù)絕對收斂，當122數(shù)發(fā)散而當x2時，級數(shù)成為2n1，一般項不趨于0，明顯發(fā)散；當x2時，級數(shù)n12成為2n1，發(fā)散n126/7進而原級數(shù)的收斂域為(2,2)令s(x)2n1x2n2，兩邊積分得n12nxx2n11x2nxs(x)dxn12nxn122x20兩邊求導得s(x)2x2(2x2)22n12n12x22,x[2,2]即2nx(2x2)n1六.〔本題10分〕設(shè)曲面:x2y2z29,cos,cos,cos是的外法線方向余弦，求I(xcosycoszcos)dS解答：由高斯公式得Ixdydzydzdxzdxdy3dxdydz34331083七.〔本題11分〕試證曲面xyza(a0)上隨意一點處的切平面與各坐標軸上的截距之和等于a解答：設(shè)M(x0,y0,z0)為曲面上隨意一點，那么該點處的法