最新高中數(shù)學新課標基礎(chǔ)知識常見結(jié)論詳解

第解斜三角形(1)．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；(2)．兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角?！惨妶D示〕a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:①假設(shè)A為銳角時:②假設(shè)A為直角或鈍角時:七、不等式一、不等式的性質(zhì)：〔1〕對稱性：a>bb<a〔2〕傳遞性：a>b，b>ca>c〔3〕加法法那么：a>ba+c>b+c推論1移項法那么：a+b>ca>c－b推論2同向可加性：a>b,c>da+c>b+d〔4〕乘法法那么：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc推論1同向可乘法：a>b>0，c>d>0ac>bd推論2乘方法那么：推論3開方法那么：〔5〕倒數(shù)法那么：ab>0,a>b注意：①特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題;②中介值法：先把要比擬的代數(shù)式與“0〞比，與“1〞比，然后再比擬它們的大小。二、均值不等式：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù):假設(shè)，那么〔當且僅當時取等號〕注意：①一正二定三相等；②根本變形(當且僅當a＝b時取“=〞號).根本應用：①放縮，變形；②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。常用的方法為：拆、湊、平方；如：①函數(shù)的最小值；②假設(shè)正數(shù)滿足，那么的最小值。三、絕對值不等式：注意：上述等號“＝〞成立的條件；四、證明不等式常用方法：〔1〕比擬法：作差比擬：作差比擬的步驟：⑴作差：對要比擬大小的兩個數(shù)〔或式〕作差。⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)〔或式〕的完全平方和。⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。注意：假設(shè)兩個正數(shù)作差比擬有困難，可以通過它們的平方差來比擬大小?！?〕綜合法：由因?qū)Ч??！?〕分析法：執(zhí)果索因。根本步驟：要證……只需證……，只需證……〔4〕反證法：正難那么反?！?〕放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。放縮法的方法有：⑴添加或舍去一些項，如：；⑵將分子或分母放大〔或縮小〕⑶利用根本不等式，如：；⑷利用常用結(jié)論：①、；②、；〔程度大〕③、；〔程度小〕〔6〕換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：，可設(shè)；，可設(shè)()；，可設(shè)；，可設(shè)；〔7〕構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；五、不等式的解法：〔1〕一元一次不等式：①、：⑴假設(shè)，那么；⑵假設(shè)，那么；②、：⑴假設(shè)，那么；⑵假設(shè)，那么；〔2〕一元二次不等式：一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對進行討論：〔3〕絕對值不等式：假設(shè)，那么；；注意：解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：(1)對絕對值內(nèi)的局部按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；⑵通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。⑶含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論〞的方法來解?！?〕分式不等式的解法：通解變形為整式不等式：>0f(x)·g(x)>0，≥0；數(shù)軸標根法,步驟:移項通分分子分母最高次項的系數(shù)都化為正分子分母分別因式分解數(shù)軸標根寫出解集〔5〕不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共局部?！?〕解含有參數(shù)的不等式：解含參數(shù)的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況那么一般需要討論：①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，那么需討論這個式子的正、負、零性.②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，那么需對它們的底數(shù)進行討論.③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況〔有時要分析△〕，比擬兩個根的大小,設(shè)根為要分、、討論。八、平面向量1．根本概念：〔1〕向量是既有大小又有方向的量，向量常用有向線段來表示，〔2〕向量的長度叫做向量的模，記作,〔3〕長度為零的向量叫做零向量，記作,零向量的方向任意〔4〕長度等于1的向量叫做單位向量;〔5〕方向相同或相反的向量叫共線向量,也叫平行向量,〔6〕長度相等，方向相同的向量叫相等向量。2．加法與減法的運算：(1)向量的加法是由幾何作圖定義得，向量可由平行四邊形法那么或三角形法那么法那么作得。(2)向量的減法的幾何表示：可由平行四邊形法那么或三角形法那么法那么作得以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，那么兩條對角線的向量=+,=－,=－且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱〔3〕加法與減法的代數(shù)運算假設(shè)a=〔〕,b=〔〕那么ab=〔〕〔4〕向量加法有如下規(guī)律：＋=＋(交換律);+(+c)=(+)+c〔結(jié)合律〕;+0=＋(－)=03．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)︱︱=︱︱·︱︱;(2)當＞0時，與的方向相同；當＜0時，與的方向相反；當=0時，=0．(3)假設(shè)=〔〕，那么·=〔〕．4．兩個向量共線的充要條件：(1)向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得=．(其中)(2)假設(shè)=〔〕,=〔〕那么∥．5.平面向量根本定理：(1)假設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使得=+。不共線向量，叫做表示這平面內(nèi)所有向量的一組基底。(2)、向量的正交分解：如果基底的兩個基向量和互相垂直,那么稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫向量的正交分解?！?〕、向量的直角坐標：，叫向量在x軸上的坐標分量,叫在y軸上的坐標分量.6．P分有向線段所成的比：(1)設(shè)P1、P2是直線上兩個點，點P是上不同于P1、P2的任意一點，那么存在一個實數(shù)使=，叫做點P分有向線段所成的比。當點P在線段上時，＞0；當點P在線段或的延長線上時，＜0；(2)分點坐標公式：假設(shè)=；的坐標分別為〔〕,〔〕,〔〕；那么〔≠－1〕，中點坐標公式：．7.向量的數(shù)量積：〔1〕．向量的夾角：兩個非零向量與，作=,=,那么∠AOB==<a，b>〔〕叫做向量與的夾角?！?〕．兩個向量的數(shù)量積：兩個非零向量與，它們的夾角為，那么·b=︱︱·︱b︱cos．其中︱b︱cos稱為向量b在方向上的投影．〔3〕．向量的數(shù)量積的運算律①交換律②數(shù)乘結(jié)合律③分配律注意：積不適合乘法結(jié)合律，即〔〕與〔〕未必相等。②數(shù)量積的消去律不成立，即=，不一定得到=(4)．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：假設(shè)=〔〕,b=〔〕那么①e·=·e=︱︱cos(e為單位向量);②⊥b·b=0〔，b為非零向量〕;③︱︱=;④cos==．九、直線與圓1．直線的傾斜角：χ軸正向與直線向上的方向所成的角叫做直線的傾斜角。規(guī)定：與χ軸平行或重合的直線傾斜角為0o，傾斜角的范圍：[0o，180o]2．斜率：假設(shè)傾角為α，〔α≠90°〕直線l經(jīng)過兩個不同點P1(χ1,у1)P2(χ2,ｙ2),那么直線l的斜率k=tanα=3．直線方程⑴點斜式：；⑵斜截式：；⑶截距式：；〔注意：截距不是距離，截距相等時不要忘了過原點的特殊情形〕⑷兩點式：；⑸一般式：，〔A，B不全為0〕?！仓本€的方向向量：〔，法向量〔〕4．求解線性規(guī)劃問題的步驟是：〔1〕列約束條件；〔2〕作可行域，寫目標函數(shù)；〔3〕平移直線確定目標函數(shù)的最優(yōu)解。直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注有斜率且不可寫成〔驗證〕分式6．幾個公式〔1〕設(shè)A〔x1,y1〕、B(x2,y2)、C〔x3,y3〕，⊿ABC的重心G：〔〕；〔2〕點P〔x0,y0〕到直線Ax+By+C=0的距離：；〔3〕兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離是；直線方程直線方程平行直線系垂直直線系相交直線系8．圓的方程：⑴標準方程：①；②。⑵一般方程：〔注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；⑶圓的參數(shù)方程：圓的參數(shù)方程為9．圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法。10．圓系：⑴；注：當時表示兩圓相交弦所在直線方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0⑵。11．點、直線與圓的位置關(guān)系：〔主要掌握幾何法〕⑴點與圓的位置關(guān)系：〔表示點到圓心的距離〕①點在圓上；②點在圓內(nèi)；③點在圓外?；螯cP(x0,y0),圓的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2.①(x0－a)2+(y0－b)2>r2點P(x0,y0)在圓外；②(x0－a)2+(y0－b)2<r2點P(x0,y0)在圓內(nèi)；③(x0－a)2+(y0－b)2=r2點P(x0,y0)在圓上⑵直線與圓的位置關(guān)系：〔表示圓心到直線的距離〕①相切；②相交；③相離。點P(x0,y0),圓的方程：(x－a)2+(y－b)2=r2.⑶圓與圓的位置關(guān)系：〔表示圓心距，表示兩圓半徑，且〕①相離；②外切；③相交；④內(nèi)切；⑤內(nèi)含。12．與圓有關(guān)的結(jié)論：⑴過圓x2+y2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。十、圓錐曲線1.橢圓⑴第一定義：；⑵第二定義：平面內(nèi)到定點的距離與它到定直線的距離的比是常數(shù)=的點的軌跡．是橢圓的離心率⑶標準方程：，〔注意焦點在哪一坐標軸上〕〔4〕橢圓的簡單幾何性質(zhì)(a,b,c,e的幾何意義，焦點坐標，準線方程)〔5〕橢圓的參數(shù)方程當點P在橢圓上時，可用參數(shù)方程設(shè)點的坐標，把求最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題。2．雙曲線：⑴第一定義：；⑵第二定義：平面內(nèi)到定點的距離與它到定直線的距離的比是常數(shù)=的點的軌跡．是雙曲線的離心率⑶標準方程：，〔注意焦點在哪一坐標軸上〕〔4〕雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(a,b,c,e的幾何意義，焦點坐標，準線方程，漸近線)3.拋物線〔1〕定義：平面內(nèi)到一個定點的距離和到一條定直線不在上的距離的比等于的動點的軌跡是拋物線〔2〕拋物線的簡單幾何性質(zhì)(開口方向，焦點坐標，準線方程)4.焦半徑公式〔1〕橢圓：〔e為離心率〕；〔左“+〞右“-〞〕；〔2〕雙曲線①當P為右支上的點時，②當P為右支上的點時，〔3〕拋物線：5.弦的有關(guān)問題〔1〕弦長公式：；〔2〕焦點弦長：①橢圓：；②拋物線：＝x1+x2+p=；〔3〕通徑〔最短弦〕：①橢圓、雙曲線：；②拋物線：2p?！?〕過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設(shè)為：〔同時大于0時表示橢圓，時表示雙曲線〕；〔5〕橢圓中的結(jié)論：①內(nèi)接矩形最大面積：2ab；②P，Q為橢圓上任意兩點，且OP0Q，那么；③橢圓焦點三角形：<i>．，〔〕；<ii>．點是內(nèi)心，交于點，那么；④當點與橢圓短軸頂點重合時最大；〔6〕雙曲線中的結(jié)論：①雙曲線〔a>0,b>0〕的漸近線：；②共漸進線的雙曲線標準方程為為參數(shù)，≠0〕；③雙曲線焦點三角形：<i>．，〔〕；<ii>．P是雙曲線－=1(a＞0，b＞0)的左〔右〕支上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，那么△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為；④雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；⑤焦點到漸近線的距離總是，且垂足為準線與漸近線的交點。〔7〕拋物線中的結(jié)論：①拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB性質(zhì)：<i>．x1x2=；y1y2=－p2；<ii>．；<iii>．以AB為直徑的圓與準線相切；<iv>．以AF〔或BF〕為直徑的圓與軸相切；<v>．。②拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)：<i>．；<ii>．恒過定點；<iii>．中點軌跡方程：；<iv>．，那么軌跡方程為：；<v>．。③拋物線y2=2px(p>0)，對稱軸上一定點，那么：<i>．當時，頂點到點A距離最小，最小值為；<ii>．當時，拋物線上有關(guān)于軸對稱的兩點到點A距離最小，最小值為。6．直線與圓錐曲線問題解法：⑴直接法〔通法〕：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：①聯(lián)立的關(guān)于“〞還是關(guān)于“〞的一元二次方程？②直線斜率不存在時考慮了嗎？③判別式驗證了嗎？④直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與雙曲線的漸近線平行時，不能使用判別式，為防止繁瑣運算并準確判斷特殊情況，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線，通過圖形求解。⑵設(shè)而不求〔代點相減法〕：①涉及弦長問題，常用“韋達定理法〞設(shè)而不求計算弦長(即應用弦長公式)-②涉及弦的中點問題，點差法處理，步驟如下：<i>．設(shè)點A(x1，y1)、B(x2,y2)；<ii>．作差得；<iii>．解決問題。7．求軌跡的常用方法：〔1〕定義法：利用圓錐曲線的定義；〔2〕直接法〔列等式〕；〔3〕代入法〔相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法〕；⑷待定系數(shù)法；〔5〕參數(shù)法；〔6〕交軌法。十一、立體幾何1.平面的根本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。能夠用斜二測法作圖(注意長度和角度的變化)。2.空間兩條直線的位置關(guān)系：〔1〕平行、相交、異面的概念；〔2〕會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法?！?〕證明直線與直線的平行的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；②轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；③轉(zhuǎn)化為線面平行；④轉(zhuǎn)化為線面垂直；⑤轉(zhuǎn)化為面面平行.〔4〕.證明直線與直線的垂直的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為相交垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直；③轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；④轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.3.直線與平面〔1〕位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交?！?〕直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。證明直線與平面的平行的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；②轉(zhuǎn)化為線線平行；③轉(zhuǎn)化為面面平行.〔3〕證明直線與平面的平行的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；②轉(zhuǎn)化為線線平行；③轉(zhuǎn)化為面面平行.〔4〕三垂線定理及其逆定理：三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系,如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角。4.平面與平面(1)位置關(guān)系：平行、相交，〔垂直是相交的一種特殊情況〕(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。證明平面與平面平行的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；②轉(zhuǎn)化為線面平行；③轉(zhuǎn)化為線面垂直。(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。證明平面與平面的垂直的思考途徑：①轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；②轉(zhuǎn)化為線面垂直〔性質(zhì)定理〕；③轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行.5．柱〔1〕棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；〔2〕掌握棱柱的定義、分類，理解直棱柱、正棱柱的性質(zhì)。〔3〕掌握長方體的對角線的性質(zhì)。①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為那么：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2。②長方體體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為那么有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1③方體的對角線的長l:〔4〕平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體，這些幾何體之間的聯(lián)系和區(qū)別。〔5〕各側(cè)面的面積和=，?！矠橹苯孛娴闹荛L，c為底面周長，l為側(cè)棱長〕〔6〕，6．錐〔1〕棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體〔2〕棱錐的定義、正棱錐的定義〔底面是正多邊形，頂點在底面上的射影是底面的中心〕圓錐的定義〔3〕各側(cè)面的面積和，πRl，=Sh，Sh=7．臺〔1〕棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的局部叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點?！?〕圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的局部叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體?！?〕h(++)，8．球(1)球的截面性質(zhì)：截面為圓，且滿足：(2)，9．正多面體：掌握定義和正多面體的種數(shù)〔是哪幾個？〕_____________凸多面體歐拉公式：V+F-E=2〔V頂點數(shù)，E棱數(shù)，F(xiàn)面數(shù)〕10．空間幾何體的三視圖三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：〔1〕正視圖：物體前前方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；〔2〕側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；〔3〕俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度21ABDC設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D，設(shè)AB與α(AD)所成的角為，.AD與AC所成的角為，.AB與AC所成的角為．那么.12．距離〔1〕兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離。求法：①定義法，即求公垂線段的長。如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。②轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.〔2〕點到平面的距離平面外一點P在該平面上的射影為P′，那么線段PP′的長度就是點到平面的距離；求法：①直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長，“一找二證三求〞，三步都必須要清楚地寫出來。②轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離③等體積法，利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高?！?〕直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；〔4〕平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動〞的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．假設(shè)表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之?！?〕球面距離：經(jīng)過球面上的兩點的球大圓的劣弧長，叫做這兩點的球面距離。求球面距離步驟：①求線段AB的長；②求球心角∠AOB的弧度數(shù)；③求劣弧AB的長。13.夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]?！?〕兩條異面直線所成的角求法：①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系?！?〕直線和平面所成的角①直接法〔利用線面角定義〕求法：“一找二證三求〞，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法〞。②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度l作比，得sin，從而求得。EMBEDEquation.3〔3〕二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；②利用三垂線定理或逆定理：一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。由一個半面內(nèi)一點作〔或找〕到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解③垂面法：自空間一點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角。④射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法。cos＝，其中S為斜面面積，S′為射影面積，為斜面與射影面所成的二面角14.正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，那么正四面體的：高：；②對棱間距離：；③相鄰兩面所成角余弦值：；④內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：理科局部15．空間向量的概念⑴向量：在空間，具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。⑵相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。⑶向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。⑷表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。16．向量運算和運算律〔1〕向量運算的平行四邊形法那么和三角形法那么仍然適用?！?〕空間向量的數(shù)乘運算的運算：實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，①當>0時，與方向相同；②當<0時，與方向相反；③當>0時，是零向量?！?〕空間向量運算滿足的運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘第一分配律：數(shù)乘第二分配律：數(shù)乘結(jié)合律：EMBEDEquation.317．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量〔≠〕、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝18．向量與平面平行：〔1〕如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別?！?〕共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。〔3〕共面向量定理如果兩個向量、不共線，那么向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使〔4〕推論〔M、A、B、P四點共面的充要條件〕：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使或?qū)臻g任一定點O，有19．空間向量根本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使說明：由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。20空間向量數(shù)量積ABO①〔1〕夾角：兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，那么角∠AOB叫做向量與的夾角，記作ABO①說明：①規(guī)定0≤≤,因而=；ABO②②如果=，那么稱與互相垂直，記作⊥；ABO②③在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖①、②中的兩個向量的夾角不同，圖①中∠AOB=，圖②中∠AOB=,從而有==.〔2〕空間向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。即=〔3〕在上的投影：〔4〕空間向量的數(shù)量積的運算律①交換律②數(shù)乘結(jié)合律③分配律注意：①數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律，即〔〕與〔〕未必相等。②數(shù)量積的消去律不成立，即=，不一定得到=〔5〕空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：①e·=·e=︱︱cos(e為單位向量)；②⊥b·b=0〔，b為非零向量〕；③︱︱=；④cos=21.空間向量的坐標運算設(shè)EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，，EMBEDEquation.DSMT4tion.DSMT4那么(1)EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；(2)EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；(3)(3)EMBEDEquation.DSMT422.向量法求空間的角(1)夾角公式.設(shè)＝，＝，那么cos=(1)異面直線所成角cos=〔其中〔〕為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量〕(3)線與平面所成角(其中〔〕為線面角，為平面的法向量)(4)二面角的平面角〔根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角〕或=〔，為平面,的法向量〕23、向量法求空間的距離(1)點到直線距離(點在直線l上，為直線l的方向向量，).(2)異面直線間的距離.(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).〔3〕點到平面的距離.〔為平面的法向量，，是的一條斜線段〕〔4〕用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題?！?〕用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。24．平面圖形的翻折：要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變十二、概率1、必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，隨機事件的定義0≤P(A)≤1。2、概率公式：〔1〕①古典概型的兩大特點：〔i〕試驗中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個；(ii)每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等；②等可能事件的概率〔古典概型〕：〔理解m、ｎ的意義〕〔2〕互斥事件：①A、B互斥，即事件A、B不可能同時發(fā)生②互斥事件〔有一個發(fā)生〕的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；③對立事件：A、B對立，即事件A、B不可能同時發(fā)生，但A、B中必然有一個發(fā)生；④對立事件的概率：P〔A〕+P(B)＝１〔3〕①相互獨立事件：事件A、B的發(fā)生相互獨立，互不影響；②相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A?B)＝P(A)?P(B)〔4〕n重獨立重復事件〔貝努里概型〕Pn(k)=Cnkpk(1－p)k表示事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了k次的概率?！睵為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率〕特殊：令k=0得：在n次獨立重復試驗中，事件A沒有發(fā)生的概率為Pn(０)=Cn0p0(1－p)n=(1－p)n令k=n得：在n次獨立重復試驗中，事件A全部發(fā)生的概率為Pn(n)=Cnnpn(1－p)0=pn〔5〕條件概率：①在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，稱為事件B在給定A下的條件概率，記作。②條件概率的計算公式是注：①0P〔B|A〕1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)〔6〕幾何概型：十三、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例1、總體、個體、樣本、，樣本個體、樣本容量的定義；2、抽樣方法⑴簡單隨機抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個數(shù)為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的時機相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。注：①每個個體被抽到的概率為；②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數(shù)法。⑵系統(tǒng)抽樣：當總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個局部，然后按照預先制定的規(guī)那么，從每一個局部抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號；④按預先制定的規(guī)那么抽取樣本。⑶分層抽樣：當總體有差異比擬明顯的幾局部組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾局部，然后按照各局部占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個局部所抽取的樣本個體數(shù)=該局部個體數(shù)上述三種抽樣，每個個體被抽到的概率都相等3、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：〔1〕眾數(shù)、中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小〔或從小到大〕排列，處在中間位置上的一個數(shù)據(jù)〔或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)〕叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；〔2〕平均數(shù)與方差①樣本平均數(shù)；②樣本方差；③樣本標準差s===；作用：估計總體的穩(wěn)定程度4、頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖樣本中所有數(shù)據(jù)〔或數(shù)據(jù)組〕的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)〔或數(shù)據(jù)組〕的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來表示?！?〕頻率分布直方圖具體做法如下：①求極差〔即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差〕；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖。注：①頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×=頻率。②理解頻率直方圖的意義，會用樣本估計總體的期望值和方差，用樣本頻率估計總體分布?！?〕折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點，就得到頻率分布折線圖。〔3〕總體密度曲線：當樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。5、相關(guān)系數(shù)〔判定兩個變量線性相關(guān)性〕：注：⑴>0時，變量正相關(guān)；<0時，變量負相關(guān)；⑵①越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強；②接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。6、線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：y對x的回歸直線方程：。其中，。6、獨立性檢驗〔分類變量關(guān)系,卡方檢驗〕：⑴會計算的值:⑵能根據(jù)的值判斷兩個變量間的相關(guān)程度。十四、算法初步1．程序框圖：⑴圖形符號：①終端框〔起止框〕；②輸入、輸出框；③處理框〔執(zhí)行框〕；④判斷框；⑤流程線；⑵程序框圖分類:r=0?否是n不是質(zhì)素n是質(zhì)數(shù)輸入ni=2i=i+1求n除以i的余數(shù)r=0?否是n不是質(zhì)素n是質(zhì)數(shù)輸入ni=2i=i+1求n除以i的余數(shù)否in或r=0?是2．根本算法語句：〔1〕輸入語句輸入語句的格式：INPUT“提示內(nèi)容〞；變量例如：INPUT“x=〞；x功能：實現(xiàn)算法的輸入變量信息〔數(shù)值或字符〕的功能。要求：①輸入語句要求輸入的值是具體的常量；②提示內(nèi)容提示用戶輸入的是什么信息，必須加雙引號，提示內(nèi)容“原原本本〞的在計算機屏幕上顯示，提示內(nèi)容與變量之間要用分號隔開；③一個輸入語句可以給多個變量賦值，中間用“，〞分隔；輸入語句還可以是““提示內(nèi)容1〞；變量1，“提示內(nèi)容2〞；變量2，“提示內(nèi)容3〞；變量3，……〞的形式。例如：INPUT“a=，b=，c=，〞；a，b，c?！?〕輸出語句輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容〞；表達式例如：PRINT“S=〞；S功能：實現(xiàn)算法輸出信息〔表達式〕要求：①表達式是指算法和程序要求輸出的信息；②提示內(nèi)容提示用戶要輸出的是什么信息，提示內(nèi)容必須加雙引號，提示內(nèi)容要用分號和表達式分開。③如同輸入語句一樣，輸出語句可以一次完成輸出多個表達式的功能，不同的表達式之間可用“，〞分隔；輸出語句還可以是“提示內(nèi)容1〞；表達式1，“提示內(nèi)容2〞；表達式2，“提示內(nèi)容3〞；表達式3，……〞的形式；例如：PRINT“a,b,c:〞；a,b,c?！?〕賦值語句賦值語句的一般格式：變量=表達式賦值語句中的“＝〞稱作賦值號作用：賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；要求：①賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個常量、變量或含變量的運算式。如：2=x是錯誤的；②賦值號的左右兩邊不能對換。賦值語句是將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量。如“A=B〞“B=A〞的含義運行結(jié)果是不同的，如x=5是對的，5=x是錯的，A+B=C是錯的，C=A+B是對的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算?！踩缁?、因式分解、解方程等〕，如這是實現(xiàn)不了的。在賦值號右邊表達式中每一個變量的值必須事先賦給確定的值。在一個賦值語句中只能給一個變量賦值。不能出現(xiàn)兩個或以上的“=〞。但對于同一個變量可以屢次賦值。IF條件THEN語句體ENDIFIF條件THEN語句體ENDIF①“IF—THEN〞語句格式：說明：“條件〞表示判斷的條件；“語句〞表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，直接結(jié)束判斷過程；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行“IF—THEN〞語句時，首先對IF后的條件進行判斷，如果符合條件就執(zhí)行THEN后邊的語句，假設(shè)不符合條件那么直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它后面的語句。②“IF—THEN—ELSE〞語句IF條件THEN語句體1IF條件THEN語句體1ELSE語句體2ENDIF說明：在“IF—THEN—ELSE〞語句中，“條件〞表示判斷的條件，“語句1〞表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2〞表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行“IF—THEN—ELSE〞語句時，首先對IF后的條件進行判斷，如果符合條件，那么執(zhí)行THEN后面的“語句1〞；假設(shè)不符合條件，那么執(zhí)行ELSE后面的“語句2〞。⑶循環(huán)語句：For循環(huán)變量=初始值To終止值循環(huán)體NextFor循環(huán)變量=初始值To終止值循環(huán)體Next說明：For循環(huán)語句執(zhí)行的循環(huán)次數(shù)，循環(huán)變量默認是每次增量為1，循環(huán)條件是每次判斷循環(huán)變量是否不超過終止值，假設(shè)循環(huán)變量的取值超出終止值跳出循環(huán)；在循環(huán)體中循環(huán)變量不能再賦值為i=i+1,否那么意義改變，如果考慮增量不為1的情況要用step.如：如輸出1到100的所有自然數(shù)的的語句為：輸出1到100的所有奇數(shù)的的語句為：Fori=1To100step2PrintiFori=1To100step2PrintiNextFori=1To100PrintiNextDODO循環(huán)體LoopWhile條件為真②DoLoop語句格式：說明：計算機執(zhí)行DoLoop語句時，先執(zhí)行DO和LoopWhile之間的循環(huán)體，然后判斷“LOOPWhile〞后面的條件是否成立，如果條件成立，返回DO語句處重新執(zhí)行循環(huán)體。這個過程反復執(zhí)行，直到一次判斷“LoopWhile〞后面的條件條件不成立為止，這時不再返回執(zhí)行循環(huán)體，而是跳出循環(huán)體執(zhí)行“LOOPWhile條件〞下面的語句。DoLoop語句與For語句的相比，DoLoop語句可執(zhí)行不知具體循環(huán)次數(shù)的循環(huán)語句，F(xiàn)or語句在不能。十五、常用邏輯用語1．四種命題：⑴原命題：假設(shè)p那么q；⑵逆命題：假設(shè)q那么p；⑶否命題：假設(shè)p那么q；⑷逆否命題：假設(shè)q那么p注：〔1〕原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。〔2〕注意：“假設(shè)，那么〞在解題中的運用，如：“〞是“〞的條件。2．充要條件的判斷：〔1〕定義法正、反方向推理；〔2〕利用集合間的包含關(guān)系：例如：假設(shè)，那么A是B的充分條件或B是A的必要條件；假設(shè)A=B，那么A是B的充要條件；3．邏輯連接詞：⑴且(and)：命題形式pq；pqpqpqp⑵或〔or〕：命題形式pq；真真真真假⑶非〔not〕：命題形式p.真假假真假4．復合命題的真假判斷假真假真真假假假假真5．全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞“所有的〞、“任意一個〞等，用表示；全稱命題p：；全稱命題p的否認p：。⑵存在量詞“存在一個〞、“至少有一個〞等，用表示；特稱命題p：；特稱命題p的否認p：；十六、推理與證明1．推理：⑴合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過觀察、分析、比擬、聯(lián)想，在進行歸納、類比，然后提出猜測的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理：由某類食物的局部對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由局部到整體，由個別到一般的推理。②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。“三段論〞是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提的一般結(jié)論；⑵小前提所研究的特殊情況；⑶結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。二．證明1、綜合法一般地，利用條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā?、分析法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件〔條件、定義、定理、公理等〕，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。3、間接證明反證法：當證明“假設(shè)，那么〞感到困難時，改證它的等價命題“假設(shè)那么〞成立，步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導出與假設(shè)相矛盾的命題；3、導出一個恒假命題。適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能〞、“不是〞、“至少〞、“至多〞、“唯一〞等字眼時。正面詞語等于大于小于是都是至多有一個否認正面詞語至少有一個任意的所有的至多有n個任意兩個否認4、數(shù)學歸納法〔僅限理科〕一般的證明一個與正整數(shù)有關(guān)的一個命題，可按以下步驟進行：⑴證明當取第一個值是命題成立；⑵假設(shè)當命題成立，證明當時命題也成立。那么由⑴⑵就可以判定命題對從開始所有的正整數(shù)都成立。注：①數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數(shù)學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行；②的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。十七、復數(shù)1、概念：〔1〕z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0；〔2〕z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；〔3〕z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0〔z≠0〕z2<0；〔4〕a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；2、復數(shù)的代數(shù)形式及其運算：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，那么：〔1〕z1±z2=(a+b)±(c+d)i；〔2〕z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝〔ac-bd〕+(ad+bc)i；〔3〕z1÷z2=(z2≠0);3、幾個結(jié)論：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔4〕性質(zhì)：T=4；；〔5〕〔1的立方虛根〕以3為周期，且，；=0；〔6〕。4、運算律：〔1〕十八、排列組合與二項式定理1、計數(shù)原理①加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分類)②乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)2、排列〔有序〕與組合〔無序〕〔1〕Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=Ann=n!k?k!=(k+1)!－k!〔2〕組合數(shù)公式：Cnm=〔3〕組合數(shù)的性質(zhì)：①Cnm=Cnn－m②Cnm＋Cnm＋1=Cn+1m+1③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；3、排列組合混合題的解題原那么：先選后排，先分再排排列組合題的主要解題方法：〔1〕優(yōu)先法：①以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.〔2〕捆綁法〔集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮〕〔3〕插空法〔解決相間問題〕〔4〕對等原那么〔對稱原那么〕〔5〕間接法和去雜法〔排除法〕等等在求解排列與組合應用問題