最新高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.4線性回歸方程學(xué)案蘇教版必修3

PAGEPAGE62.4線性回歸方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)的概念；2.會根據(jù)散點(diǎn)圖判斷數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)關(guān)系；3.會求線性回歸方程，并能根據(jù)線性回歸方程做出合理判斷．知識點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系思考數(shù)學(xué)成績y與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所用時間t之間的關(guān)系，能否用函數(shù)關(guān)系刻畫？梳理相關(guān)關(guān)系：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種變量之間__________的聯(lián)系，但不是__________的關(guān)系．知識點(diǎn)二散點(diǎn)圖1．散點(diǎn)圖：將樣本中n個數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．2．利用散點(diǎn)圖可以大致確定兩個變量是不是有相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)性強(qiáng)弱．知識點(diǎn)三最小平方法及線性回歸方程思考1假設(shè)散點(diǎn)大致分布在一條直線附近，如何確定這條直線比擬合理？思考2任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？梳理線性回歸方程：能用直線方程________________近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做____________關(guān)系，該方程叫________________．最小平方法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小．給出一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用最小平方法求得線性回歸方程的系數(shù)a，b滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,a＝.))上式還可以表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝,＝，,,a＝.))類型一變量之間相關(guān)關(guān)系的判斷例1在以下兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？(1)正方形邊長與面積之間的關(guān)系；(2)作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系；(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系．反思與感悟如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的，由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊(yùn)涵因果關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么．跟蹤訓(xùn)練1有以下關(guān)系：①老師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫截面直徑與高度之間的關(guān)系；⑤學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系．其中有相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號)類型二散點(diǎn)圖及應(yīng)用例2在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6畫出散點(diǎn)圖，分析年齡與人體脂肪含量的關(guān)系．反思與感悟畫散點(diǎn)圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，防止圖形過大或過小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖不一定分布在一條直線附近，也可能是曲線．跟蹤訓(xùn)練2下表為我國在公元1000年到2000年間的人口數(shù)量．(1)試畫出散點(diǎn)圖；(2)年份與人口是相關(guān)關(guān)系嗎？如果是，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？你覺得用什么函數(shù)模型模擬效果比擬好？年份人口/億13930.615780.61764218494.119284.719495.4198210.3199011.6反思與感悟函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有密切聯(lián)系，可以用函數(shù)關(guān)系來模擬相關(guān)關(guān)系，也可借助散點(diǎn)圖來發(fā)現(xiàn)兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，在一定條件下，兩種關(guān)系還可相互轉(zhuǎn)化．類型三線性回歸方程的求法及應(yīng)用例3下表為某地近幾年機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料，請判斷機(jī)動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由．機(jī)動車輛數(shù)x/103輛95110112120129135150180交通事故數(shù)y/103件6.27.57.78.58.79.810.213反思與感悟?qū)σ唤M數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，假設(shè)呈直線形，再依系數(shù)a，b的計算公式，算出a，b.求a，b時，先計算平均數(shù)eq\x\to(x)，eq\x\to(y)；接著計算xi與yi的積，然后求∑xiyi及∑xeq\o\al(2,i)；最后將結(jié)果代入公式求b；用a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)求a.跟蹤訓(xùn)練3下表數(shù)據(jù)是退水溫度x(℃)對黃酮延長性y(%)效應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果，y是以延長度計算的，且對于給定的x，y為正態(tài)變量，其方差與x無關(guān)．x(℃)300400500600700800y(%)405055606770(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)指出x，y是否線性相關(guān)；(3)假設(shè)線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(4)估計退水溫度是1000℃時，黃酮延長性的情況．1．以下兩個變量之間的關(guān)系，哪個不是函數(shù)關(guān)系________．①正方體的棱長和體積；②圓半徑和圓的面積；③正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和；④人的年齡和身高．2．如下圖的五組數(shù)據(jù)(x，y)中，去掉__________后，剩下的4組數(shù)據(jù)相關(guān)性增強(qiáng)．3．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小平方法建立的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，那么以下結(jié)論中不正確的是________．①體重y與身高x具有函數(shù)間的關(guān)系；②回歸直線過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點(diǎn)；③假設(shè)該大學(xué)某女生身高增加1cm，那么其體重約增加0.85kg；④假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170cm，那么可判定其體重必為58.79kg.4．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為________萬元．1．求樣本數(shù)據(jù)的回歸方程，可按以下步驟進(jìn)行：第一步計算平均數(shù)eq\x\to(x)，eq\x\to(y).第二步求和eq\i\su(i＝1,n,x)iyi，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i).第三步計算b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).第四步寫出回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.2．回歸方程被樣本數(shù)據(jù)唯一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近．對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機(jī)性．3．對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程〞，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程〞是沒有實(shí)際意義的．因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點(diǎn)圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考一般來說，學(xué)數(shù)學(xué)的時間越長，成績越好．但用時10小時，數(shù)學(xué)成績卻不是一個確定的數(shù)字．故不能用函數(shù)關(guān)系刻畫．梳理有一定確定性知識點(diǎn)三思考1應(yīng)該使散點(diǎn)整體上最接近這條直線．思考2用最小二乘法求線性回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖來判斷)，否那么求出的線性回歸方程是無意義的．梳理eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a線性相關(guān)線性回歸方程eq\f(n\o(∑\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi,n\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)eq\f(\o(∑\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\f(\o(∑\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)題型探究例1解兩變量之間的關(guān)系有：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．(1)正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．(2)作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．(3)人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g到達(dá)一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具備相關(guān)關(guān)系．(4)降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1①③④例2解散點(diǎn)圖如下：在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域，故人的年齡與人體脂肪含量是相關(guān)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2解(1)散點(diǎn)圖如下：(2)由圖可知，我國在1000年到2000年間的人口數(shù)量與年份是相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)．因?yàn)樵鲩L速度越來越快，用指數(shù)模型模擬效果比擬適宜．例3解在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖：直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．從而計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：eq\i\su(i＝1,8,x)i＝1031，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝71.6，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝137835，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝9611.7.將它們代入公式計算得b≈0.0774，a≈－1.0241，所以，所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.0774x－1.0241.跟蹤訓(xùn)練3解(1)散點(diǎn)圖如圖：(2)由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，可見y與x線性相關(guān)．(3)列出下表并用科學(xué)計算器進(jìn)行有關(guān)計算.i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi120002000027500360004690056000xeq\o\al(2,i)90000160000250000360000490000640000eq\x\to(x)＝550，eq\x\to(y)＝57eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))x2i＝1990000，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi＝198400于是可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq\f(198400－6×550×57,1990000－6×5502)≈0.05886，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝57－0.05886×550＝24.627.因此所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.05886x＋24.627.(4)將x＝1000代入線性回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.05886×1000＋24.627＝83.487，即退水溫度是1000℃時，黃酮延長性大約是83.487%.當(dāng)堂訓(xùn)練1．④解析①②③都是函數(shù)關(guān)系