10.1.2 事件的關(guān)系和運(yùn)算

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算課標(biāo)要求素養(yǎng)要求了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會進(jìn)行簡單的隨機(jī)事件的運(yùn)算.通過相關(guān)概念的學(xué)習(xí)及對簡單隨機(jī)事件的運(yùn)算，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)前識農(nóng)M教材知識探究?情境寶入在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事件：C]=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝;C2=｛出現(xiàn)2點(diǎn)｝;c3=｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝;C4=｛出現(xiàn)4點(diǎn)｝;C5=｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝;C6=｛出現(xiàn)6點(diǎn)｝;D1=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1｝;D2=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3｝;D3=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5｝;E=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5｝,F=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4｝,G=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝,H=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝.問題在上述事件中,1)事件C1與事件C2的并事件是什么？⑵事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系？(3)事件q與事件C2間有什么關(guān)系？(4)事件E與事件F間有什么關(guān)系？提示(1)C1UC2=｛出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)｝；(2)D2GG=C2;(3)事件C1與事件C2互斥；(4)事件E與事件F對立.F新知趣理1?事件的運(yùn)算定義表示法圖示并事件A與B的并事件有三層意思：①事件A發(fā)生事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生事件B發(fā)生；③事件A和事件B同時發(fā)生事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AUB（或A+B）父事件事件A與事件B冋時發(fā)生，稱這樣一個事件為AnB（或AB）0詼。

事件A與事件B的父事件（或積事件）2?事件的關(guān)系對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件定義表示法圖示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）B3A（或AGB）◎互斥事件如果事件A與事件B不能冋時發(fā)生,稱事件A與事件B互斥（或互不相容）若AGB=，則A與B互斥對立事件如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為A若AGB=，且AUB=Q,則A與B對立CD3.事件關(guān)系或運(yùn)算的含義事件關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AQB并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生AUB或A+B交事件（積事件）A與B冋時發(fā)生AGB或AB互斥（互不相容）A與B不能冋時發(fā)生AQB=互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生AGB=，AUB=Q教材拓展補(bǔ)遺［微判斷］從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，判斷下列事件哪些是互斥而不對立的兩事件.⑴“至少有1個黑球”和“都是黑球”?（X）⑵“至少有1個黑球”和“至少有1個紅球”.（X）⑶“恰有1個黑球”和“恰有2個紅球”.（V）（4）“至少有1個黑球”和“都是紅球”（X）

提示（1）（2）中兩事件能同時發(fā)生，（4）中兩事件既互斥又對立.［微訓(xùn)練］1?同時拋擲兩枚硬幣，向上都是正面為事件M,向上至少有一枚是正面為事件N,則有（）B.M3ND.MB.M3ND.MGN=C.M=N答案A2?如果事件A,B互斥，那么（）A.AUB是必然事件B.AUB是必然事件C.A與B—定互斥D.A與B—定不互斥解析A,B互斥，不一定是對立事件，故A不正確；當(dāng)A,B不是對立事件時,A與B不互斥，故C不正確；當(dāng)A，B是對立事件時，A與B也是對立事件，當(dāng)然也是互斥事件，故D也不正確.另外，用集合表示方法中的“Venn圖”來解決此題比較直觀.如圖所示，AUB是必然事件，故選B.答案B3.袋內(nèi)紅、白、黑球分別為3個、2個、1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（）至少有一個白球；紅、黑球各1個至少有一個白球；至少有一個紅球恰有一個白球；一個白球一個黑球至少有一個白球；都是白球解析至少有一個白球與紅、黑球各1個是互斥事件但不是對立事件.答案A［微思考］一粒骰子擲一次，記事件A=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4｝,事件B=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5｝,則事件B發(fā)生時，事件A一定發(fā)生嗎？提示因?yàn)?>4，故B發(fā)生時A一定發(fā)生.在擲骰子的試驗(yàn)中，事件A=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1｝,事件B=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝,A與B應(yīng)有怎樣的關(guān)系？提示因?yàn)?為奇數(shù)，所以AB.判斷兩個事件是對立事件的條件是什么？提示①看是否是互斥事件，②看兩個事件是否必有一個發(fā)生?若滿足這兩個條件，則是對立事件；否則不是.課堂互動llillllllllll■IIIIIIIIII通型剖析刪刪刪刪題型一事件關(guān)系的判斷解決此類問題要緊緊抓住互斥與對立事件的定義來判斷，或利用集合的觀點(diǎn)，結(jié)合圖形解題【例1】從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1?10各4張)中，任取一張.“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”.判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.解(1)是互斥事件，不是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.既是互斥事件，又是對立事件.理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.規(guī)律方法互斥事件、對立事件的判定方法利用基本概念①互斥事件不可能同時發(fā)生；②對立事件首先是互斥事件，且必須有一個要發(fā)生.利用集合的觀點(diǎn)來判斷設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B.事件A與B互斥，即集合AGB=0;事件A與B對立，即集合AGB=0,且AUB=Q，即A=CQB或B=C/.【訓(xùn)練1】從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出3件產(chǎn)品，設(shè)A={3件產(chǎn)品全不是次品},B={3件產(chǎn)品全是次品},C={3件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確的是(填寫序號).①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立.解析A={3件產(chǎn)品全不是次品}，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B={3件產(chǎn)品全是次品},C={3件產(chǎn)品不全是次品},它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事件，更不是對立事件；B與C是互斥事件，也是對立事件.所以正確結(jié)論的序號為①②⑤.答案①②⑤題型二事件的運(yùn)算事件運(yùn)算的常見類型：A發(fā)生或B發(fā)生；A發(fā)生且B發(fā)生【例2】盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事件A={3個球中有1個紅球2個白球}，事件B={3個球中有2個紅球1個白球}，事件C={3個球中至少有1個紅球}，事件D={3個球中既有紅球又有白球}.求：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？解⑴對于事件D,可能的結(jié)果為：1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球，故D=AUB.(2)對于事件C,可能的結(jié)果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球或3個均為紅球，故CGA=A.規(guī)律方法事件間的運(yùn)算方法利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.⑵利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.【訓(xùn)練2】在例2中，設(shè)事件E=｛3個紅球｝,事件F=｛3個球中至少有一個白球｝,那么事件C與B,E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？解由事件C包括的可能結(jié)果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球三種情況，故BQC,EGC,而事件F包括的可能結(jié)果有1個白球2個紅球，2個白球1個紅球，3個白球，所以CGF=｛1個紅球2個白球，2個紅球1個白球｝=D.題型三事件運(yùn)算的綜合問題在求某些復(fù)雜事件的概率時，可將其分解成一些較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易【例3】在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝,B=｛出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)｝,C=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)｝,D=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)｝.說明以上4個事件的關(guān)系；求兩兩運(yùn)算的結(jié)果.解在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種樣本點(diǎn)，記作Ai=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i｝(其中i=1，2，…，6).則A=A],B=A3UA4，C=A1UA3UA5,D=A2UA4UA6-事件A與事件B互斥，但不對立，事件A包含于事件C,事件A與D互斥，但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對立事件.AGB=0,AAC=A,AGD=0,CGD=0.AUB=A]UA3UA4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4｝,AUC=C=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5｝,AUD=A1UA2UA4UA6=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6｝,BUC=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5｝,BUD=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或3或4或6｝,CUD=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或3或4或5或6｝,BQC=A3=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3｝,B"D=A4=｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4｝.規(guī)律方法事件運(yùn)算應(yīng)注意的兩個問題(1進(jìn)行事件的運(yùn)算時，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間關(guān)系時，可以根據(jù)常識來判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.【訓(xùn)練3】對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A=｛兩彈都擊中飛機(jī)｝，事件B=｛兩彈都沒擊中飛機(jī)｝，事件C"恰有一彈擊中飛機(jī)｝,事件D=｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝，下列關(guān)系不正確的是()A.ADB.BQD=c.auc=dd.aUb=bUd解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，???AUB弄BUD.答案D核心素養(yǎng)^■^^^B^^^MiiiNiNiiimiilililllllllllliillIIIIII空面握州IIIII刪刪刪―、素養(yǎng)落地1?通過學(xué)習(xí)隨機(jī)事件的交、并和互斥的含義，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)?通過進(jìn)行簡單的隨機(jī)事件的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系?在一次試驗(yàn)中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也不可能兩個事件都不發(fā)生?所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立，它們一定互斥.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1?擲一枚骰子，設(shè)事件A=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3｝,B=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝,則事件A與事件B的關(guān)系是()ABAHB={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}事件A與B互斥事件A與B是對立事件解析由題意事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或6.故AHB={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}.答案B某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.兩次都不中靶D.只有一次中靶解析由于事件“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它們互為互斥事件.答案C有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西北四個方向前進(jìn)，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是()A.互斥但非對立事件B.對立事件C.相互獨(dú)立事件D.以上都不對解析由于每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故是互斥事件，但不是對立事件.答案A抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品解析“至少有2件次品”的對立事件為“至多有1件次品”.答案B基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題

1.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則與事件A互斥的事件為()A.恰有兩件次品B.恰有一件次品C.恰有兩件正品D.至少有兩件正品解析事件“恰有一件次品”與事件A不會同時發(fā)生，故選B.答案BA3BA與B互斥A與B互為對立事件解析由互斥事件的定義知C正確.答案C3.一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件：“恰有1件次品”和“2件都是次品”；“至少有1件次品”和“都是次品”；“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有()A.1組B.2組C.3組D.4組解析對于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次品”顯然是互斥事件；對于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；對于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至少有1件次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；對于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是正品”顯然是互斥事件，故①④是互斥事件.答案B從1,2,???，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù).則在上述事件中是對立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③解析從1,2,…，9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個奇數(shù)；(2)兩個偶數(shù);一個奇數(shù)和一個偶數(shù).至少有一個奇數(shù)是(1)和(3)，其對立事件顯然是(2).故選C.答案C把電影院的4張電影票隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號”與事件“乙分得4排1號”是()A.對立事件B.不可能事件C.互斥事件D.以上答案都不對解析“甲分得4排1號”與“乙分得4排1號”是互斥事件.答案C二、填空題打靶3次，事件Ai表示“擊中i次”，其中i=0,1,2,3.那么A=A1UA2UA3表示.解析a1ua2ua3所表示的含義是A］、A2、A3這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1次、2次或3次.答案至少有一次擊中7?拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時向上的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”，事件D為“落地時向上的點(diǎn)數(shù)是2或4”，則上述事件是互斥事件但不是對立事件的兩個事件是.解析A與D互斥但不對立.答案A與D某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有(填序號).恰有1名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生.解析①是互斥事件，恰有一名男生的實(shí)質(zhì)是選出的兩名同學(xué)中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時發(fā)生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件，至少有一名男生與全是女生不可能同時發(fā)生.答案①④三、解答題某城市有甲，乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)紙”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“一種報(bào)紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件.A與C；B與D；B與C；⑷C與D.解事件A為“只訂甲報(bào)紙”；事件B“至少訂一種報(bào)紙”包括“只訂甲報(bào)紙”，“只訂乙報(bào)紙”和“訂甲乙兩種報(bào)紙”；事件C“至多訂一種報(bào)紙”包括“一種報(bào)紙也不訂”，“只訂甲報(bào)紙”和“只訂乙報(bào)紙”；事件D為“一種報(bào)紙也不訂”.事件C包含事件A,所以不是互斥事件；B與D既是互斥事件，也是對立事件；事件B和事件C可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件；事件C包含事件D,所以不是互斥事件.10?設(shè)某人向一個目標(biāo)射擊3次,用事件Ai表示隨機(jī)事件“第i次射擊擊中目標(biāo)”(i=1,2,3)，指出下列事件的含義：A1HA2；A1nA2nA3；A1UA2；A1nA2nA3.解(1)A1nA2表示第1次和第2次射擊都擊中目標(biāo).A1AA2nA3表示第1次和第2次射擊都擊中目標(biāo)，而第3次沒有擊中目標(biāo).A]UA2表示第1次和第2次都沒擊中目標(biāo).A1nA2nA3表示三次都沒擊中目標(biāo).能力提升11.同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”的對立事件為()—個是5點(diǎn)，另一個是6點(diǎn)一個是5點(diǎn)，另一個是4點(diǎn)至少有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)至多有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)解析同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個，“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”包含16個，其對立事件是“至少有一個是5點(diǎn)或6點(diǎn)”.答案C12?連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次,觀察每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)"，事件Aj表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)"，事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，事件C表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”.試用樣本點(diǎn)表示事件AnB與AUB；試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；試用事件A.表示隨機(jī)事件A.解試驗(yàn)的樣本空間為Q={((1,1),(1,2),(1,3),(,4),(1,5),(1,6),(21),(2,2),(2,3),(2,4),(25)(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2)(43),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(56)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.(1)因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”，所以滿足條件的樣本點(diǎn)有(1,1),(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}，因?yàn)槭录﨎表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，所以滿足條件的樣本點(diǎn)有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),即B={(1