北師大八年級上冊第一章勾股定理全章復習與鞏固(基礎)

(圓滿版)北師大八年級上冊第一章勾股定理全章復習與牢固(基礎)(圓滿版)北師大八年級上冊第一章勾股定理全章復習與牢固(基礎)13/13(圓滿版)北師大八年級上冊第一章勾股定理全章復習與牢固(基礎)《勾股定理》全章復習與牢固（基礎）【學習目標】1.認識勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實譴責題.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.（即：a2b2c2）2.勾股定理的應用勾股定理反響了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用是：1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；2）利用勾股定理能夠證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計算；4）勾股定理在實質(zhì)生活中的應用．要點二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理若是三角形的三邊長a、b、c，滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形.要點講解：應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形可否是直角三角形的基本步驟：（1）第一確定最大邊，不如設最大邊長為c；（2）考據(jù)：a2b2與c2可否擁有相等關(guān)系：若a2b2c2，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；若a2b2＞c2時，△ABC是銳角三角形；若a2b2＜c2時，△ABC是鈍角三角形．2.勾股數(shù)滿足不定方程x2y2z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以x、y、z為三邊長的三角形必然是直角三角形.要點講解：常有的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.若是(a、b、c)是勾股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們擁有以下特色：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.3.假設三個數(shù)分別為a、b、c，且abc，那么存在a2bc成立.（比方④中存在72＝24＋25、92＝40＋41等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的差異與聯(lián)系差異：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判判斷理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】種類一、勾股定理及逆定理的簡單應用1、（2016?益陽）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你依照他們的解題思路完成解答過程．2【思路點撥】依照題意正確表示出AD的值是解題要點.解：如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，BD=x，則CD=14﹣x，由勾股定理得：2222222222，AD=AB﹣BD=15﹣x，AD=AC﹣CD=13﹣（14﹣x）152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC?AD=×14×12=84．【總結(jié)升華】此題主若是要讀懂解題思路，今后找到解決問題的切入點，問題才能瓜熟蒂落.貫穿交融：【變式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周長．【答案】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD2AB2AD215212281．∴BD9．同理CD2AC2AD213212225．CD5．①當∠ACB＞90°時，BC＝BD－CD＝9－5＝4．∴△ABC的周長為：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．②當∠ACB＜90°時，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．∴△ABC的周長為：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．綜上所述：△ABC的周長為32或42．2、以以以下列圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M為AB上一點．求證：AM2BM22CM2．【思路點撥】欲證的等式中出現(xiàn)了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理證明，因此需要作CD⊥AB．【答案與解析】證明：過點C作CD⊥AB于D．AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD．∠ACB＝90°，CD＝AD＝DB．∴AM2BM222ADDMADDMAD22ADDMDM2AD22ADDMDM22(AD2DM2)2(CD2

DM

2)在Rt△CDM

中，

CD2

DM

2

CM

2，∴AM

2

BM

2

2CM

2．【升】欲明段平方關(guān)系，第一想勾股定理，從中找或作垂構(gòu)造包含所段的直角三角形，利用等量代和代數(shù)中的恒等行．一反三：【式】已知△ABC中，AB＝AC，DBC上任一點，求：AB2AD2BDCD.【答案】解：如，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,在Rt△ABM中：AB2AM2BM2??①Rt△ADM中：AD2

AM2

DM

2??②由①－②得：

AB2

AD2

BM2

DM

2

BM

DM

BM

DM＝（MC＋DM）?BD＝CD·BD型二、勾股定理及逆定理的適用3、（2014秋?黎川期中）如，在正方形定△BEF的形狀，并明原由．

ABCD

中，AB=4，AE=2，DF=1，你判222【思路點】依照勾股定理求出BE、EF、BF，依照勾股定理的逆定理判斷即可．解：∵△BEF是直角三角形，原由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，222∴BE+EF=BF，∴∠BEF=90°，即△BEF是直角三角形．【總結(jié)升華】此題觀察了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理的應用，解此題的要點222是求出BE+EF=BF.4、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，BQ=BP，連結(jié)CQ．觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明原由．【答案與解析】解：(1)猜想：AP=CQ證明：在△ABP與△CBQ中，AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴△ABP≌△CBQAP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5可設PA=3a，PB=4a，PC=5a連結(jié)PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°∴△PBQ為正三角形∴PQ=4a于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【總結(jié)升華】此題的要點在于能夠證出△ABP≌△CBQ，從而達到線段轉(zhuǎn)移的目的，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．貫穿交融：【變式】以以以下列圖，在

△ABC

中，D

是

BC

邊上的點，已知

AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求

DC

的長．【答案】解：在△ABD

中，由

122

52

132可知：AD2

BD2

AB2，又由勾股定理的逆定理知∠

ADB

＝90°．在Rt△ADC

中，

DC2

AC2

AD2

81,DC

9．5、若是ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2b2c2506a8b10c，判ABC的形狀.【答案與解析】解：由a2b2c2506a8b10c，得：a26a9b28b16c210c250∴(a3)2(b4)2(c5)20∵(a3)20，(b4)20，(c5)20∴a3,b4,c5.∵324252,∴a2b2c2.由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】勾股定理的逆定理是經(jīng)過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的地址關(guān)系的,在證明中經(jīng)常要用到.種類三、勾股定理的實質(zhì)應用6、如圖①，一只螞蟻在長方體木塊的一個極點A處，食品在這個長方體上和螞蟻相對的極點B處，螞蟻急于吃到食品，因此沿著長方體的表面向上爬，請你計算它從A處爬到B處的最短路線長為多少?【思路點撥】將長方體表面張開，由于螞蟻是沿長方體木塊的表面爬行，且長方體木塊底面是正方形，故它爬行的路徑有兩種情況．【答案與解析】解：如圖②③所示．由于兩點之間線段最短，因此最短的爬行行程就是線段AB的長度．在圖②中，由勾股定理，得AB232112130．在圖③中，由勾股定理，得AB26282100．由于130＞100，因此圖③中的AB的長度最短，為10cm，即螞蟻需要爬行的最短路線長為10cm．【總結(jié)升華】解此題的要點是正確畫出立體圖形的張開圖，把立體圖形上的折線轉(zhuǎn)變成平面圖形上的直線，再運用勾股定理求解．貫穿交融：【變式】（2014秋?鄭州期末）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根圍繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：以以以下列圖，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處圍繞而上，繞五周后其尾端恰好到達點B處．則問題中葛藤的最短長度是多少尺？【答案】解：以以以下列圖，在以以以下列圖的直角三角形中，BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤長為25尺．【牢固練習】一．選擇題1．如圖，一棵大樹被臺風刮斷，若樹在離地面則樹折斷從前高( )

3m處折斷，樹頂端落在離樹底部

4m處，A．5m2．如圖，從臺階的下端點

B．7mB到上端點

C．8mA的直線距離為(

)

D．10mA．15

B．16

C．17

D．183．（2016春?棗陽市期末）甲、乙兩艘客輪同時走開港口，航行的速度都是40m/min，甲客輪用15min到達點A，乙客輪用20min到達點B，若A，B兩點的直線距離為1000m，甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是（）A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏東60°D．南偏西60°4．以以以下列圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點E、F是中線AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是（）．A．6

B．12

C．24

D．305．以下三角形中，是直角三角形的是

(

)A．三角形的三邊滿足關(guān)系abC．三角形的一邊等于另一邊的一半

c

B．三角形的三邊比為D．三角形的三邊為

1∶2∶39，40，416．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊以以以下列圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮最少需要( )A．450a元C．150a元7．（2015?江陰市模擬）如圖，Rt△ABCBC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDES2、S3、S4．則S1+S2+S3+S4等于（

B．225a元D．300a元中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分別以AB、AC、、ACFG、BCIH，四塊陰影部分的面積分別為S1、）A．90B．60C．169D．1448．已知，如圖長方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2二．填空題9．依照以以以下列圖中的數(shù)據(jù)，確定A=，B=，x=．10．若一個三角形的三邊長分別為6，8，10，則這個三角形中最短邊上的高為______．11．如圖，B，C是河岸邊兩點，A是對岸岸邊一點，測得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，則點A到岸邊BC的距離是______米．12．在直角三角形中，一條直角邊為11cm，另兩邊是兩個連續(xù)自然數(shù)，則此直角三角形的周長為______．13．（2016春?西和縣校級月考）三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式（a+b）2﹣c2=2ab，則此三角形是三角形（直角、銳角、鈍角）．14．如圖，平面上A、B兩點處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食品，已知點C在A的東南方向，在B的西南方向．甲、乙兩只螞蟻同時從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cm／min．結(jié)果甲螞蟻用了2min，乙螞蟻2分40秒到達C處分享食品，兩只螞蟻原來所處地址相距_______cm．15．小明要把一根長為70cm的長的木棒放到一個長、寬、高分別為50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放進去嗎？（填“能”或“不能夠”）．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，這樣連續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與△ABC的BC邊重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為__________．三．解答題17．若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此三角形的面積．18．（2014春?安次區(qū)校級月考）甲乙兩船從位于東西走向的海岸線上的港口A同時出發(fā)，甲以每小時30海里的速度向北偏東35°方向航行，乙船以每小時40海里的速度向另一方向航行，2小時后，甲船到C島，乙船到達B島，B、C兩島相距100海里，判斷乙船所走方向，說明原由．19．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延長AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的長．20．如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，B為CD邊上的點，BC＝3．將紙片沿某條直線折疊，使點B落在點B處，點A的對應點為A，折痕分別與AD，BC邊交于點M，N．求BN的長．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】C；2．【答案】C；【解析】距離為AB282152289,AB=173．【答案】C；【解析】解：甲的行程：40×15=600m，乙的行程：20×40=800m，6002+8002=10002，∴甲和乙兩艘輪船的行駛路線呈垂直關(guān)系，∵甲客輪沿著北偏東30°，∴乙客輪的航行方向可能是南偏東60°，應選：C．4．【答案】A；【解析】由題意S△BEFS△CEF，∴S陰影S△ABD1346．25．【答案】D；6．【答案】C；【解析】作高，求得高為15m，因此面積為12015150m2．27．【答案】A；【解析】解：過D作BM的垂線交BM于N，∵圖中S2=SRt△DOI，S△BOC=S△MND，S2+S4=SRt△ABC．可證明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積+Rt△ABC的面積=Rt△ABC的面積×3=12×5÷2×3=90．應選：A．8．【答案】C；【解析】設AE＝x，則DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，．二．填空題9．【答案】225；144；40；【解析】依照勾股定理直接求解即可．10．【答案