選修4-4坐標(biāo)系及參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

.PAGE.坐標(biāo)系與參數(shù)方程*選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：1．坐標(biāo)系：①理解坐標(biāo)系的作用.②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.④能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形〔如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2．參數(shù)方程：①了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.②能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.第一講平面直角坐標(biāo)系伸縮變換：設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換的作用下,點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換。方法1：求伸縮變換后的圖形。由伸縮變換公式解出x、y,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。例:：在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。求伸縮變換時(shí),先設(shè)出變換,再代入原方程或變換后的方程,求出其中系數(shù)即可。例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求下列圖形變換的伸縮變換:二、極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn),叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位<通常取弧度>及其正方向<通常取逆時(shí)針方向>,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。2.點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑,記為；以極軸為始邊,射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角,記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo),記為.極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.3.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱,即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí),極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：如圖所示,把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,且長(zhǎng)度單位相同,設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為<x,y>,<ρ,θ>．<1>極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)<2>直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<ρ2＝x2＋y2,,tanθ＝\f<y,x>〔x≠0.>>方法3：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例：點(diǎn)M的極坐標(biāo)是點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是練：三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程1.圓的極坐標(biāo)方程：<1>特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)<0,0>ρ＝r<0≤θ<2π>圓心在點(diǎn)<r,0>ρ＝2rcos_θ<－eq\f<π,2>≤θ<eq\f<π,2>>圓心在點(diǎn)<r,eq\f<π,2>>ρ＝2rsin_θ<0≤θ<π>圓心在點(diǎn)<r,π>ρ＝－2rcos_θ<eq\f<π,2>≤θ<eq\f<3π,2>>圓心在點(diǎn)<r,eq\f<3π,2>>ρ＝－2rsin_θ<－π<θ≤0><2>一般情形：設(shè)圓心C<ρ0,θ0>,半徑為r,M<ρ,θ>為圓上任意一點(diǎn),則|CM|＝r,∠COM＝|θ－θ0|,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos<θ－θ0>＋ρeq\o\al<2,0>－r2＝0即2.直線的極坐標(biāo)方程：<1>特殊情形如下表：直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn),傾斜角為α<1>θ＝α<ρ∈R>或θ＝α＋π<ρ∈R><2>θ＝α<ρ≥0>和θ＝π＋α<ρ≥0>過點(diǎn)<a,0>,且與極軸垂直ρcos_θ＝aeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2><θ<\f<π,2>>>過點(diǎn)eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<a,\f<π,2>>>,且與極軸平行ρsin_θ＝a<0<θ<π>過點(diǎn)<a,0>傾斜角為αρsin<α－θ>＝asinα<0<θ<π><2>一般情形,設(shè)直線l過點(diǎn)P<ρ0,θ0>,傾斜角為α,M<ρ,θ>為直線l上的動(dòng)點(diǎn),則在△OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin<α－θ>＝ρ0sin<α－θ0>．方法4：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化方法5：極坐標(biāo)系下的運(yùn)算方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介〔了解1、柱坐標(biāo)系<1>定義：一般地,如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn),它在Oxy平面上的射影為Q,用<ρ,θ><ρ≥0,0≤θ<2π>表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo),這時(shí)點(diǎn)eq\a\vs4\al<P>的位置可用有序數(shù)組eq\a\vs4\al<〔ρ,θ,z><z∈R>表示．這樣,我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組<ρ,θ,z>之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系,有序數(shù)組<ρ,θ,z>叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo),記作P<ρ,θ,z>,其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R．<2>空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)<x,y,z>與柱坐標(biāo)<ρ,θ,z>之間的變換公式為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z>>．2、球坐標(biāo)系<1>定義：一般地,如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn),連接OP,記|OP|＝r,OP與Oz軸正向所夾的角為φ,設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ,這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組<r,φ,θ>表示,這樣,空間的點(diǎn)與有序數(shù)組<r,φ,θ>之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系<或空間極坐標(biāo)系>,有序數(shù)組<r,φ,θ>,叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo),記作P<r,φ,θ>,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π．<2>空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)<x,y,z>與球坐標(biāo)<r,φ,θ>之間的變換公式為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ>>．第二講一、參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。二、參數(shù)方程和普通方程的互化<1>曲線的參數(shù)方程和普通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不同形式,兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化．<2>將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識(shí)別曲線的類型．參數(shù)方程通過消去參數(shù)就可得到普通方程．<3>普通方程化參數(shù)方程,首先確定變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x＝f<t>,其次將x＝f<t>代入普通方程解出y＝g<t>,則eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝f〔t,y＝g〔t>><t為參數(shù)>就是曲線的參數(shù)方程．<4>在建立曲線的參數(shù)方程時(shí),要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.三、圓的參數(shù)方程1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0<r,0>．<1>設(shè)M<x,y>為圓O上任一點(diǎn),以O(shè)M為終邊的角設(shè)為θ,則以θ為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝rcosθ,y＝rsinθ>><θ為參數(shù)>．其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)轉(zhuǎn)過的角度．<2>設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),角速度為ω,則OM0經(jīng)過時(shí)間t轉(zhuǎn)過的角θ＝ωt,則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝rcosωt,y＝rsinωt>><t為參數(shù)>．其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．2．圓心為C<a,b>,半徑為r的圓的參數(shù)方程圓心為<a,b>,半徑為r的圓的參數(shù)方程可以看成將圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓通過坐標(biāo)平移得到,所以其參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝a＋rcosθ,,y＝b＋rsinθ>><θ為參數(shù)>．四、圓錐曲線的參數(shù)方程1、橢圓的參數(shù)方程<1>中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>的參數(shù)方程是eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝acosφ,y＝bsinφ>><φ是參數(shù)>,規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0,2π>．<2>中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>的參數(shù)方程是eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝bcosφ,y＝asinφ>><φ是參數(shù)>,規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0,2π>．<3>中心在<h,k>的橢圓普通方程為eq\f<〔x－h(huán)2,a2>＋eq\f<〔y－k2,b2>＝1,則其參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝h＋acosφ,y＝k＋bsinφ>><φ是參數(shù)>．2．雙曲線的參數(shù)方程<1>中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝asecφ,y＝btanφ>><φ為參數(shù)>,規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍為φ∈[0,2π>且φ≠eq\f<π,2>,φ≠eq\f<3π,2>．<2>中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝btanφ,y＝asecφ>><φ為參數(shù)>．3．拋物線的參數(shù)方程<1>拋物線y2＝2px的參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝2pt2,y＝2pt>><t為參數(shù)>．<2>參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)．方法1：參數(shù)方程和普通方程的互化五、直線的參數(shù)方程1．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M0<x0,y0>,傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝x0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα>><t為參數(shù)>．2．直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義<1>參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離．<2>當(dāng)eq\o<M0M,\s\up6<→>>與e<直線的單位方向向量>同向時(shí),t取正數(shù)．當(dāng)eq\o<M0M,\s\up6<→>>與e反向時(shí),t取負(fù)數(shù),當(dāng)M與M0重合時(shí),t＝0．3．直線參數(shù)方程的其他形式對(duì)于同一條直線的普通方程,選取的參數(shù)不同,會(huì)得到不同的參數(shù)方程．我們把過點(diǎn)M0<x0,y0>,傾斜角為α的直線,選取參數(shù)t＝M0M得到的參數(shù)方程eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝x0＋tcosα,y＝y(tǒng)0＋tsinα>><t為參數(shù)>稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義．一般地,過點(diǎn)M0<x0,y0>,斜率k＝eq\f<b,a><a,b為常數(shù)>的直線,參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝x0＋at,y＝y(tǒng)0＋bt>><t為參數(shù)>,稱為直線參數(shù)方程的一般形式,此時(shí)的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義．方法2：求直線參數(shù)方程方法3：參數(shù)方程問題的解決辦法解決參數(shù)問題的一個(gè)基本思路：將其轉(zhuǎn)化為普通方程,然后在直角坐標(biāo)系下解決問題。方法4：利用參數(shù)的幾何意義解題六、漸開線與擺線〔了解1．漸開線的概念及參數(shù)方程<1>漸開線的產(chǎn)生過程及定義把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切,逐漸展開,鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓．<2>圓的漸開線的參數(shù)方程以基圓圓心O為原點(diǎn),直線OA為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)基圓的半徑為r,繩子外端M的坐標(biāo)為<x,y>,則有eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝r〔cosφ＋φsinφ,,y＝r〔sinφ－φcosφ>><φ是參數(shù)>．這就是圓的漸開線的參數(shù)方程．2．?dāng)[線的概念及參數(shù)方程<1>擺線的產(chǎn)生過程及定義平面內(nèi),一個(gè)動(dòng)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡,叫做平擺線,簡(jiǎn)稱擺線,又叫旋輪線．<2>半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＝r〔φ－sinφ,,y＝r〔1－cosφ>><φ是參數(shù)>．練習(xí)1．曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是〔．A．B．C．D．2．把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是〔．A．B．C．D．3．若直線的參數(shù)方程為,則直線的斜率為〔．A．B．C．D．4．點(diǎn)在圓的〔．A．內(nèi)部 B．外部 C．圓上D．與θ的值有關(guān)5．參數(shù)方程為表示的曲線是〔．A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線6．兩圓與的位置關(guān)系是〔．A．內(nèi)切 B．外切 C．相離