作為求解幾何問題的方法之一的坐標法

作為求解幾問題的方法一的坐標法作為坐標法應用的實例，我們將考慮三個問題的求解．它們中的每一個問題我們都需要畫一個圓從解析幾何的觀點看這等價于寫出所求圓的方程或者確定此圓的半徑和其圓心的坐標．對每一個問題我們將給出兩個解法第一個解法采用坐標法第二個解法采用初等幾何的方法第一種解題方法的特征是解題過程遵循一個共同的布署并且在想法上是相似的第二種解題方法極少有共同點并且是建立在應用不同定理的基礎上的這個事實是相當重要的它表明應用坐標法使得尋求解題方法變得簡單多了，盡管這只體現(xiàn)于這樣幾個特殊的例子中．問題通過點，1)，B(4，0)，C(5，1)畫一圓．解法一所求圓的方程形式為(x－a)

2

＋(y－b)

2

＝r

2

(16)(見公式(8))．因為點A，B，C在所求的圓周上，因此它們的坐標滿足方(16)．分別將這些已知點的坐標代入方程(16)，我們得到下列方程(1－a)

2

＋(1－b)

2

＝r

2(4－a)

2

＋b

2

＝r

2(5－a)

2

＋(1－b)

2

＝r

2

．(x－3)

2

＋(y－2)

2

＝5即為我們所求的圓．解法二作線段AB和BC的中線①．它們的交點即為所求圓的圓心．問題通過點，1)和B(11，8)畫一個相切于Ox軸的圓．解法一顯然，所求的圓位于軸之上方，并且由于它相切于軸，因此圓心的縱坐標等于其半徑，即b＝r．于是，所求圓的方程有下列形式

(r－a)

2

＋(y－r)

2

＝r

2或者(x－a)2＋y2－2ry＝0將點A和B的坐標分別代入上述方程，我們得到方程組由此得到a＝7，a＝－1，b＝r＝5，b＝r＝13．所以，有兩個圓滿足此121122問題的條件(圖14)：(x－7)2＋(y－5)2＝25和(x＋1)2＋(y－13)2＝169．解法二我們畫一條直線．用C表示這條直線與Ox軸的交點．在點的兩邊沿著Ox軸分別截取相等的線段CD和CE它們的長度等于線段CA和CB的幾何平均值(圖14)．通過點A，B，D的圓滿足此問題的條件．實際上，線CD是這個圓的切線，因為它是割線CB和圓外部分CA的幾何平均值似地們可以確保通過點A，B和E的圓也滿足方程的條件．問題通過點，1)畫一圓相切于兩個坐標軸．解法一顯然，所求的圓位于第一象限；而且由于它與和Oy軸相切，圓心的坐標等于它的半徑，即a＝b＝r．所以，所求圓的方程的形式為(x－r)

2

＋(y－r)

2

＝r

2

．

將點A的坐標代入方程，得到(2－r)2＋(1－r)2＝r2，或者，經(jīng)過簡化得r2－6r＋5＝0．所以，r＝1，r＝5．于是，我們得到兩個滿足條件的圓(圖15)：12(x－1)

2

＋(y－1)

2

＝1和(x－5)

2

＋(y－5)

2

＝25．解法二我們用相似法解決這個問題．畫一條直O(jiān)A，并且在第一象限任意畫一圓，使其與Ox軸和Oy輔相切(在圖15用虛線表示)．因而它的圓心S在第一象限角的平分線上．設直線OA與圓相交于點M和N我們畫直線SM和SN并且通過點A分別畫平行于SM和SN的兩條直線，它