線性代數(shù)第一章行列式

線性代數(shù)第一章行列式第1頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第2頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2014.第3頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五課程簡介：

“線性代數(shù)”是一門本科階段必修的主干課程，課程內(nèi)容主要包括矩陣和向量的基本理論、基本方法及它們在解方程組中的應(yīng)用。通過本課程的學(xué)習(xí)，一方面使學(xué)生比較系統(tǒng)的理解線性代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握基本方法，為今后的專業(yè)學(xué)習(xí)打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。另一方面培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、空間想象能力、綜合運用所學(xué)的知識來分析和解決實際問題的能力。第4頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第5頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第一章行列式內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列和對換

§3n

階行列式的定義

§4行列式的性質(zhì)

§5行列式按行（列）展開

行列式的概念.行列式的計算.第6頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.但是，從許多實踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等.第7頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具.第8頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五§1

二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.第9頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時，該方程組有唯一解第10頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再相減而得.第11頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列第12頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五二階行列式的計算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則第13頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為第14頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例1求解二元線性方程組解

因為所以第15頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五二、三階行列式定義

設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號稱為三階行列式.主對角線副對角線二階行列式的對角線法則并不適用！第16頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五三階行列式的計算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實線上的三個元素的乘積冠正號，虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號.第17頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例2

計算行列式解按對角線法則，有第18頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五方程左端解由得例3

求解方程第19頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五練習(xí)1：利用對角線法則計算下列三階行列式：第20頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五§2

全排列及其對換主要內(nèi)容：一、排列及其逆序數(shù)二、對換的定義三、對換與排列奇偶性的關(guān)系第21頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有一、排列及其逆序數(shù)第22頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五問題把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列.n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個不同的元素一共有n!種不同的排法.第23頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321第24頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義

當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：3和1，2和1也構(gòu)成逆序.25第25頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五定義排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.第26頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五計算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.先看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;第27頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例1：求排列32514的逆序數(shù).解：練習(xí)1：求排列453162的逆序數(shù).解：思考1：設(shè)n階排列a1a2

…an-1

an的逆序數(shù)為k，求n階排列anan-1

…a2

a1的逆序數(shù)？解：第28頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五練習(xí)：計算下列排列的逆序數(shù)，并討論其奇偶性第29頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五二、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換．例如第30頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五備注相鄰對換是對換的特殊情形.一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn).如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

m次相鄰對換

m+1次相鄰對換

第31頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五三、對換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對換改變排列的奇偶性.證明先考慮相鄰對換的情形．第32頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五注意到除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.第33頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五當(dāng)時，，，.當(dāng)時，，，.因此相鄰對換改變排列的奇偶性.第34頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么2m+1次相鄰對換因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).

由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.證明第35頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第36頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第37頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以n個元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時作一次對換，即與同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.第38頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五于是與同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù).即是偶數(shù).因為對換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為第39頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此.所以，在一系列對換之后有第40頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為第41頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例1

試判斷

和是否都是六階行列式中的項.解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項.

行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以不是六階行列式中的項.第42頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例2

用行列式的定義計算第43頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五解第44頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五1.對換改變排列奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)第45頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五§1.3

n階行列式的定義第1章行列式1.1二階與三階行列式1.2全排列和對換1.3n階行列式的定義1.4行列式的性質(zhì)1.5行列式按行（列）展開第46頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項，即3!項．每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．每一項可以寫成（正負(fù)號除外），其中是1、2、3的某個排列.當(dāng)是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當(dāng)是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號.第47頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五所以，三階行列式可以寫成

其中表示對1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.第48頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五二、n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項．每一項都是位于不同行不同列的

n

個元素的乘積．每一項可以寫成（正負(fù)號除外），其中是1,2,…,n的某個排列.當(dāng)是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當(dāng)是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號.簡記作，其中為行列式D的(i,j)元第49頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五思考題：成立嗎？答：符號可以有兩種理解：若理解成絕對值，則；若理解成一階行列式，則.注意：當(dāng)n=1時，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式.第50頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例：寫出四階行列式中含有因子的項.例：計算行列式解：和第51頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五解：其中第52頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第53頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五四個結(jié)論：(1)對角行列式(2)第54頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五(3)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）第55頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五思考題：用定義計算行列式解：用樹圖分析-1133123-1-2-2-1故1130230021011210----=D第56頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五思考題已知

，求的系數(shù).第57頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五故的系數(shù)為－1.解含的項有兩項，即對應(yīng)于第58頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五三、n階行列式定義的進(jìn)一步討論因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以n個元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時作一次對換，即與同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.第59頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五于是與同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù).即是偶數(shù).因為對換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為第60頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此.所以，在一系列對換之后有第61頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為第62頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例1

試判斷

和是否都是六階行列式中的項.解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項.

行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以不是六階行列式中的項.第63頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例2

用行列式的定義計算第64頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五解第65頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五小結(jié)：

行列式的三種表示方法第66頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五§1.4行列式的性質(zhì)第1章行列式1.1二階與三階行列式1.2全排列和對換1.3n階行列式的定義1.4行列式的性質(zhì)1.5行列式按行（列）展開第67頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.第68頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.第69頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.第70頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.第71頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.第72頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五驗證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．第73頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,例如第i行的元素都是兩數(shù)之和：則第74頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五驗證我們以三階行列式為例.第75頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.第76頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算

把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．第77頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五解第78頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第79頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第80頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第81頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第82頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例2

計算階行列式解將第列都加到第一列得第83頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第84頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例3設(shè)

證明第85頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五證明對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為第86頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五對D

的前k行作運算，再對后n

列作運算，把D

化為下三角形行列式故第87頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)第88頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五§6

行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.第89頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？第90頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.第91頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五引理

一個n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第92頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時,（根據(jù)P.14例10的結(jié)論）第93頁，共109頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩次行變換？第94頁，