工程有限元方法幾何非線性要點PPT39

有限元元方法法與應應用幾何非線性性張有為為工程力力學系幾何非非線性性要點幾何非線性性問題題分類類大位移移、大大轉(zhuǎn)角角、小小應變變大位移、、大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角、大應應變幾何非非線性性有限限元分分析應變和和應力力的度度量幾何非非線性性有限限元格格式有限元元方程程及其其解法法大變形形本構(gòu)構(gòu)關(guān)系系穩(wěn)定性分析析1幾何非非線性性問題題的分分類幾何非線線性的來來源：：結(jié)構(gòu)的的位移移使體體系的的受力力狀態(tài)態(tài)發(fā)生生了顯顯著的的變化化，以以致不不能采采用線線性體體系的的分析析方法(1)大位移、、大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動、、小應應變?nèi)绺邔訉咏ㄖ?、大大跨度度鋼架架結(jié)構(gòu)構(gòu)的結(jié)結(jié)構(gòu)分分析大大多屬屬于此此類問問題分析類型特點描述方法應力和應變大位移大轉(zhuǎn)動小應變線元的位移和轉(zhuǎn)動充分大，但線元的伸長和線元之間的角度改變無限小，應力應變關(guān)系是線性的或非線性的完全Lagrangian描述Kirchhoff應力Green應變更新Lagrangian描述Cauchy應力Almansi應變1幾何非非線性性問題題的分分類(2)大位移移、大大轉(zhuǎn)動動、大大應變變?nèi)缃饘賹俚膲簤毫蛹庸枂栴}分析類型特點描述方法應力和應變大位移大轉(zhuǎn)動大應變線元的伸長和線元之間的角度改變充分大，線元的位移和角度也可以充分大，應力應變關(guān)系是線性的或非線性的完全Lagrangian描述Kirchhoff應力Green應變更新Lagrangian描述Cauchy應力Almansi應變2應變和應應力的的度量量2.1應變的的度量量構(gòu)型描描述結(jié)構(gòu)初初始構(gòu)構(gòu)型2應變和應應力的的度量量坐標變變換正變換換逆變換換Lagrange描述基于變變形前前的構(gòu)構(gòu)型表表述變變形后后的構(gòu)構(gòu)型。。以變變形前前的各各點坐坐標為為基本本未知知數(shù)，，描述述各個個量。。Euler描述基于變形后后的構(gòu)構(gòu)型表表述變變形前前的構(gòu)構(gòu)型。。以變變形后后的各各點坐坐標為為基本本未知知數(shù)，，描述述各個個量。。2應變和應應力的的度量量變形梯梯度PQ兩鄰近近點的的矢徑徑差變形梯梯度2應變和應應力的的度量量例1：平面面三角角形單單元的的轉(zhuǎn)動動和拉拉伸已知線線性三三角形形單元三節(jié)點點坐標標隨時時間變變化的的關(guān)系系如下，，求單元元轉(zhuǎn)動動和拉伸伸過程程中的的變形形梯度度坐標轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化結(jié)合變形梯梯度2應變和應應力的的度量量2應變和應應力的的度量量Green應變張張量及及Almansi應變張張量Green-Lagrange應變張量量Almansi應變張張量Green-Lagrange應變張張量簡簡稱Green應變張量，其其是用用變形形前坐坐標表表示的的，即即它是是Lagrange坐標的的函數(shù)數(shù)Almansi應變張量是用用變形形后坐坐標表表示的的，即即它是是Euler坐標的的函數(shù)數(shù)Green和Almansi應變張量的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換關(guān)關(guān)系2應變和應應力的的度量量應變-位移關(guān)關(guān)系Green應變張量量Almansi應變張張量小變形情況況下，，Green應變張張量和和Almansi應變張張量中中的二二次項項較小小，可可以忽忽略，，同時時可忽忽略參參考位位形之之間的的差別別，則則有2應變和應應力的的度量量例2：一維問題中幾幾種應應變的的計算算Green應變Almansi應變工程應應變2應變和應應力的的度量量例2：一維維問題題中幾幾種應應變的的計算Green應變Almansi應變工程應應變2應變和應應力的的度量量例3：剛體體轉(zhuǎn)動動情況況下Green應變張張量的的不變變性鏈式求求導法法則2應變和應應力的的度量量真實應應力，，即當當前時時刻單單位面面積上上的力力構(gòu)成成的張量，是對稱張張量變形后后表面面上的的應力力變形前前表面面上的的應力力2應變和應應力的的度量量變形前前后相相應面面上力力的關(guān)關(guān)系Lagrange規(guī)定Kirchhoff規(guī)定與坐標標變換換規(guī)律律相同同二維Lagrange和Kirchhoff應力規(guī)規(guī)定示示意圖圖2應變和應應力的的度量量應力的的定義義2應變和應應力的的度量量應力之之間的的關(guān)系系由質(zhì)量量守恒恒可得得應力之之間的的關(guān)系系2應變和應應力的的度量量例4：純轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動物物體的的應力力已知二二維物物體純純轉(zhuǎn)動動時的的變形形梯度度以及及初始始狀態(tài)態(tài)的Cauchy應力分分別為為轉(zhuǎn)動后的Cauchy應力轉(zhuǎn)動后的第第一Piola-Kirchhoff應力轉(zhuǎn)動后的第第二Piola-Kirchhoff應力純轉(zhuǎn)動中中PK2應力是是不變變的，，即PK2應力可可以看看作是是嵌入入在材材料中中的；；或Lagrange坐標隨隨著物物體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動而而轉(zhuǎn)動動，而而PK2應力分分量始始終與與Lagrange坐標取取向保保持關(guān)關(guān)聯(lián)PK1應力物物理意意義不不明確確，非非零應應力成成為了了剪應應力；；很難難被用用于本本構(gòu)方方程，，主要要用于于簡化化動量量方程程和有有限元元方程程2應變和應應力的的度量量例5：單軸軸應力力考慮如如圖所所示的的單軸軸應力力桿件件，將將PK1、PK2和單軸軸Cauchy應力聯(lián)聯(lián)系起起來Cauchy應力(單軸應應力狀狀態(tài))PK1應力PK2應力PK2應力物物理意意義不不明確確變形梯梯度3幾何非非線性性有限限元格格式3.1虛位移移原理理(虛功原原理)3幾何非非線性性有限限元格格式無窮小小應變變變分分為(1)3幾何非非線性性有限限元格格式幾點討討論3幾何非非線性性有限限元格格式T.L.格式的的增量量形式式的虛虛功原原理，，虛功原原理由由當前前位形形轉(zhuǎn)換換到初初始位位形上上(3)3.2完全Lagrangian格式3幾何非非線性性有限限元格格式(5)3.3更新Lagrangian格式3幾何非非線性性有限限元格格式(1)本構(gòu)關(guān)關(guān)系的的線性性化3.4平衡方程程的線線性化化假定應力力增量量和應應變增增量成成線性性關(guān)系系，即即T.L.格式U.L.格式3幾何非線性有有限元格式(2)求解格式的進進一步線性化化T.L.格式引入線性本構(gòu)關(guān)關(guān)系線性項非線性項T.L.格式U.L.格式U.L.格式略4有限元方程及及其解法4.1有限元方程(1)靜力問題節(jié)點及位移插插值4有限元方程及及其解法T.L.格式有限元方方程兩式中均引入入了非線性4有限元方程及及其解法U.L.格式有限元方方程4有限元方程及及其解法(2)動力問題T.L.格式有限元方方程U.L.格式有限元方方程4有限元方程及及其解法4.3方程求解基本思想：在每個時間間步(增量步)中，采用非線性性方程的求解解方法，進行行迭代求解。常用方法：直接迭代法，N-R方法等幾何非線性問題題的求解包括括兩層迭代(循環(huán))：外層循環(huán)(增量)：對時間步或荷載增量步循環(huán)內(nèi)層循環(huán)(迭代)：求解各時間步(增量步)導出的非線性方程程，通過迭代代求解該時間間步(增量步)后的相應未知量4有限元方程及其解法法4.4T.L.和U.L.格式的區(qū)別參考構(gòu)形不同T.L.法包含初位移移矩陣，U.L.法不含此矩陣陣，平衡方程程更為簡潔T.L.法中，計算初初應力和節(jié)點力時均采用Kirchhoff應力(PK2應力)，在求解過程中中應力可直接接疊加，U.L.法中計算初應應力和節(jié)點力時采用的是Cauchy應力，因此須將將求得的Kirchhoff應力(PK2應力)增量進行變換，才才能疊加T.L.的坐標變換矩矩陣在增量求求解的過程中中保持不變，，而U.L.每個迭代步都都需重新計算算坐標變換矩矩陣U.L.更容易引進非非線性本構(gòu)關(guān)關(guān)系，更適于于非彈性大