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第三章多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用第五講微分學(xué)在最優(yōu)課后作業(yè)：閱讀：第三章第五節(jié) 第三章第六節(jié) pp.164---作業(yè):第三章習(xí)題 p.164:1(2);3;第三章習(xí)題 pp.180---181:1;3;4;5;7;多元函數(shù)的無條件極值引言：多元函數(shù)極值問題的提法與普遍性最優(yōu)化問題的普遍性：.最優(yōu)化問題的提在“某種條件”下的“某量最優(yōu)”某量:fDRn條件:約束條件:xMinf問題: s. x問題舉例例1今有m個(gè)點(diǎn)Piai,bi,ci,i1, ,m,求一點(diǎn)Px,y,z，到各點(diǎn) 2 2 2Min

2今有一空Fx,y,z0及一P0x0y0z0在此曲面上找一點(diǎn)Px,y,zP0點(diǎn)距離最小。xxxxyyzz222000 s.t.Fx,y,z 0Fx,y, 0例3今有一空間曲線 及一點(diǎn)Px,y,z，在此曲線 Gx,y,找一Px,y,zP0點(diǎn)距離最小。xxxxyyzz222000 s.t.Fx,y,z Gx,y,zxMinfx 一般非線性規(guī)劃

s.

GxxMinCT線性規(guī)劃 s.

Axbx其中,變量是xRn,ARmnbRm是給定的矩陣與向量另外有變分問題；最優(yōu)控制問題。此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的自變量不是在Rn中,y B 1Minv

2gs.

yay1,yb多元函數(shù)的無條件極值(一極值與極值點(diǎn):設(shè)函數(shù)f:DRnR,若存在點(diǎn)D個(gè)鄰域U,U都有f()f() 則稱f()是f(x)的 個(gè)極小值(minimum)，并f的一個(gè)極小值點(diǎn) 類似地可定義 若xU都有f(x)f(x0 則稱f(x0)f(x)的一個(gè)極大值 um)，并稱為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)極限的必要條件定理（極值點(diǎn)的必要條件）fDRnRD到極值，若f在該點(diǎn)可微，則有,fix00,i , 或 gradf(x0)fx0 fx00. 證明一 f(x)在點(diǎn)D達(dá)到極小值 D,U U f f(x0

i ,n,

, f xi ff 0,i ,n證明二 f(x)在點(diǎn)

D達(dá)到極小值 D,U,ff(U

x T00fxfxfxgradfxxo00

Tlot0f t f tgradf l0是任意的單位向量,t 0

0 R,gradf gradf例如,二元函數(shù)f(x,y)x2y2,原點(diǎn)(0,0)是它的一個(gè)駐點(diǎn),但是該函數(shù)在原點(diǎn)不取極值,這是因?yàn)?在軸上原點(diǎn)以外的部分x2y20yx2y011f(x,y)x20另1外x2y000.原點(diǎn)(0,0)是二元函數(shù)z 外x2y000.(二)極值的充分條件0定理（極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)fRnRMRn點(diǎn)某鄰域0UM0內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且M0是駐點(diǎn)，即gradf(M0)0，其中，Hf(M0)為f(x)在M0處的矩陣.證明:為簡便起見,只對于二元函數(shù)的情形給出證明. 02fM2fM0 x2 Hf(M0)2fM

2fM

A2f(x0,y0Ax

,B

y 2f(x0,y0 ,C

2f(x0,y0yMUM0,fMf(xyM02TaylorfM01

fMfM0

xx0 =xx2

yy

y

o002fM 2fM0

0xx yy0

x =x

2fM

0o2 y Bxx0 =2xx

yy

Cyyo 0x0txx0 再設(shè)Mt ty 0

tfMfMfM=t2xxyyABxx0ot2 0BCyy 0t Bx= o CyfM0 fMtfM0 Bx由于lim lim = t t

t t

BCyfM0fMtfM0與二次函數(shù)(二1 y

Bx BC =Hf(x0,y0 y=1Ax22BxyCy22 A0ACB20,二次函數(shù)HessianH(x 正定).在點(diǎn)M0(x0,y0)的某個(gè)鄰域中,恒f(x,y)f(x0,y0)02.A0,ACB20HessianHf(x0y負(fù)定).f(xyM0(x0y0ACB20Hessian

,y0f(x,y)f(x0,y0f(xyM0(x0y0ACB20f(xyM(xy0 足以判定f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)是否取得極值,需要作進(jìn)一 4f(xy)2x4y42x22y2的所有局部極值2021001解求偏導(dǎo)數(shù)得f8x34xf4y34y

8x34x x(2x21) 4y34y

y(y21)(x1,y1)(x4,y4)(1

(x2,y2)(x5,y5)(1

(x6,y6)(1 121212(x,y) , (x,y) (x,y) 121212 f fxy 24x2 Hessen矩陣Hx,y f f 12x2x yy A24x240,ACB2166x213x210A24x240,ACB2166x213x21yi (0,yi (0, i

(1/2,0)(1/ (x(xi,yi2,(1/2,2,88888880000AiCi(x5,y5),(x6,y6),(x8,y8),(x9,y95（最小二乘法）設(shè)變量y與x之間的關(guān)系是yaxb，其中a,b是待定常數(shù).現(xiàn)在通過實(shí)驗(yàn)測得了y與x的一組數(shù)據(jù):n使a,b的函數(shù)Minf(ab)yiaxib2.fa,b2n(yaxb)x fa,

2(yiaxib) 2 ia xib xi

xianb

nxi2xi)20時(shí)，由此解i

i

nnx

(nx)(

y

y x2

x

xyiii i iiai1

in

i ,bi i1

i1 nxi2( nxi2(i

i

i

iax1b y1 a baxb

y

n

y1 xn

xn 1

b 1

1

y

n

a

xiyi n

n i 一般情況：設(shè)變量y與x之間 yajj(x1,x2 ,xn)a(x) 其中,x()1x(),( ,

是己知的m(x,x,x i i i

)T是己知的n

),km今通過實(shí)驗(yàn)測得yx之間的kx1yx 試從這k組數(shù)據(jù),來確定最佳的待定常向數(shù):a am fa,b

(

a

xi

yih(xi)0,h1, ,mk

h(xi)(xi)ayih(xi),h1, ,m

y1(

m(x1)

1記:

,Y ( (x

y k k 則有h(xi)(xi)ayih(xi),h1, , T Y a

11(x1 (x)1

(x 2(x m(x) 1T2(x1 2(xk)

1(xk 2(xk (x

(x1

m(xk)

k

1(xk)y1TY2(x1 2(xk)1

yk

(x1

(xk) TT YTT

Ya

2: 由函數(shù)yajj(x1,x2 ,xn)a(x)得超定方 a(xj)yj,j1, k

(k1(x1

2(x1

a1m(x1)

y1

2 (x 2(x m(xk) k

yaY

m mk

aT1Ta超定方程aY若aY有解說明,向量Y在由矩陣的列向量 的LY若aYY不在由矩陣的列向量所成的線性空間L中,即YL.這時(shí)求向量Y性空間L上的投影向量.為此，設(shè)線性空間L的垂直空間LRkT0,則 RkLL,因YRk,YY

,Y

LYLL,L

0,YLa就是要求的向量 YY Y TYT

TYTT1 YL上的投影向量YL PT1T叫做的投影變換,顯然有

T

T T T1TT1T1T多元函數(shù)的條件極值..問題一

s.t.Fx,y常規(guī)做法 解方程Fx,y0y

fx,y(一)

0方程dfxyxfxyfxyyx0 Fx,

fx, fx, yx

,Fx,

Fx,

Fx,yfx,引入未知數(shù):

,Fx,fx,yFx,y

Fx,fx,yFx,y 0 Fx, fx,yFx,0

Fx,y

fx,yFx, 倫日函數(shù)LxyfxyFx

MinLx,y,Lx,y,fx,yFx,y LxyfxyFxy0gradfgradF Fx,yLx,y,Fx,y (二)若x0y0,0LxyfxyFxy的駐點(diǎn)，則行列式Hx0y00

x0,y0,0

來判斷P0x0y0是否是問題

的極值點(diǎn) s.t.Fx,y Hx0y0,00Hx0y0,00

P0x0y0是極小值點(diǎn)P0x0y0是極大值點(diǎn).因?yàn)镕(x,y 2 F(x,y 2d2 F(x, L(x,y,d2 L(x,y,0 F(x, L(x,y, L(x,y,0

x0,y0,0Minzx例6 x24y216Lxyxyx24y216 x 8 gradfgradFy x 8 Fx,yx24y216y,x24 1/2 x22,y 2 zxygradfy

1

1

2,222 x 2 222

2 gradF2422 8

4420024問題二：

fx,y,.Fx,y,z0;Gx,y,z.做函Lx,y,z

fx,y,zFx,y,zGx,y, Lx,y,x,,fx,y,zFx,y,zGx, Lx,y,x,,fx,y,zFx,y,zGx,y,z

Lx,y,x,,fx,y,zFx,y,zGx,y,z Lx,y,z,,Fx,y,zLx,y,z,,Gx,y,z 7今有一空間Fx,y,z0及一P0x0y0z0在此曲面上找一點(diǎn)Px,y,zP0點(diǎn)距離最小。xxyxxyyzz222000 s.t.Fx,y,z倫日函數(shù)：xxyyxxyyzz222000=rFx,y,

Fx,y,xxxxyyzz222000Lx,y,z,xxiFx,y,z Lx,y,z,xxiFx,y,z0 Lx,y, xxi

Fx,y,z 00 Lx,y,z,Fx,y,z gradFx,y,z 或者

Fx,y,z

FP 例8今有一空間曲線 及一點(diǎn)Px,y,z Gx,y,找一Px,y,zP0點(diǎn)距離最小。xxxxyyzz222000 Fx,y,z Gx,y,z倫日函數(shù)：xxyyxxyyzz222000Fx,y,zGx,y,=rFx,y,zGx,y,xxxxyyzz222000求駐點(diǎn)： r Lx,y,z,,xxiFx,y,zG r i 0Lx,y,z,, x Fx,y, Gx,y,

0 Lx,y,z,,Fx,y,z Lx,y,z,,Gx,y,z 或者FxyzGx,y,z gradFx,y,zgradGx,y,FPGP多元函數(shù)極值綜合例題例9今有m個(gè)點(diǎn)Piai,bi,ci,i ,m,求一點(diǎn)Px,y,z，到各Minfxyz

m

xx2yy2zz2fx,y,z 1 2xxi xifx,y,

n xi 求駐點(diǎn)： 2yyi0,Pnyinyi z z x,y,

i1 in n

2zzi

zi 若改成:今有m個(gè)點(diǎn)Piai,bi,ci,i Minfxyz

mxx y z222iiixxyyxxyyzz222iii ri(x,y,z)xxiiyyijzzik則 x

y z gradrrii i i i i i r r fx,y,求駐點(diǎn)：

m

yyi0fx,y,z mzzi

ngradf(x*,y*,z*)

i110f(xyzg(xyzC1M(x0y0z0min(max)f(x,y,g(x,yz) f(x0y0z0a.又設(shè)12S1:f(x,y,z)a,S2:g(x,y,z)0在點(diǎn)M(x0,y0,z0)的切平面,則 A.1與2平行而不重合 B.1與2重合C.1,2垂直 D.1,2既不重合也不平行例11設(shè)函數(shù)Fx,y)x0y0的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且F(x0,y0 F( 2F( 0 0 0.yy(x)Fxy)0（Ayyxx0Byyxx0取極小值.Cyyx)x0沒有極值.D.yyxx0f(xyzf(M0M0x2則曲面f(x,y,z)f(M0)在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量為 13fxy)x4y42x22y24fxy)f4x34x4yfx4y34y4x0210012x1210012解得xy2,2 2 12x2 H(x,y) 12y2 H(0,0) 4 f(x,y)x4y42(xy)2在(0,0f(x,x)

d4f(x,x)2x,,

24!0fxx)2x4x0f(x,x)2x48x2,fxx(0,0)16fxxx0H(2,2) 4 14.zz(xy是x26xy10y22yzz2180確定的函數(shù)，zz(x,y)的極值點(diǎn)和極值.解 2x6y2yz2zz0 6x20y2z2yz2zz0 z令

得 x3y 故x z

3x10yz zx26xy10y22yzz2180P1x1y1z1933P2x2y2z293由于22

2z2(z

2

0x x 2 z 262x2yxy2yx2zxy202z2z2y2z2(z)22z2

0

y

y 2 22yx22zx2y

2z

2

2 2y 2xA 2xP6P1

1，C22

522yACB2

0A16A2PxP2

1，B6

1，C22

522yACB2

0A16P2zz(xy的極大值點(diǎn)，極大值為z(9,3)315zf(xyx2y(4xyxy6fx(x,y)2xy(4xy)x2y fy(x,y)x2(4xy)x2yx00y6)及點(diǎn)(4,02,1)。其中點(diǎn)及線段x0D的邊界上，只有點(diǎn)(2,1)是可能由B8x3x24xy

(

4 C2x2

(

B2AC320A0，x00y6)y00x6)f(xy)0；xy6y6x代入f(x,y中得z2x312x2(0x6)z6x224x0,x0xz|x412x24)|x4240所以點(diǎn)(4,2f(4,264f(xyDf(2,1)4f(4,2)6416在周長為2p的三角形中求出滿足下述要求的三角形：繞自己的一邊旋 h，則

xh2

p(px)(py)(xy則V1h2x4ppxpy)(xyp (2p2xy)x(px)(xyp)2px2y

xp2,y3p17當(dāng)xyz都大于0時(shí)，求ulnx2lny3lnzx2y2z26r2上的最大值.并證明對任意正實(shí)數(shù)a,babc下述不等式成立：ab2c3 L(xyzf(xyz(x2y2x26r2 2 0,得x2 , 2

,z xyz

2r

3f

lnrln2r2 3r)6lnr

ln3ln22lnxyz3lnxlny3ln x2y2z236lnrln ln[108( )] x2y2z2所以xyz3 108 x2y2z 6 abc所以,對任意正數(shù)a,b,c有abc108( 6例18設(shè)函數(shù)zx,y在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在 偏導(dǎo)數(shù) 足 z

f ff00，證明zxy0xyD極大值，則有f(z)P0，這與f是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。AaFcDbPbBgaCE19AaFcDbPbBgaCEMaxxySinyzSin問

1(axbycz)2 L(x,y,z,)1(xysinyzsinzxsin)1(axby