高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

八、立體幾何一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：公理4公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理⑴⑵⑷⑶⑸⑹⑾⑿⒀⒁⑼⑽⒂⒃⑺⑻（1）線線平行的判斷：⑴平行于同一直線的兩直線平行。⑶如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。⑹如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。⑿垂直于同一平面的兩直線平行。（2）線線垂直的判斷：⑺在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。⑻在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。（3）線面平行的判斷：⑵如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。⑸兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。（4）線面垂直的判斷：⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個(gè)平面。（5）面面平行的判斷：⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。（6）面面垂直的判斷：⒂一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。二、其他定理：（1）確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和直線外一點(diǎn)；③相交直線；（2）直線與直線的位置關(guān)系：相交；平行；異面；直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi)；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關(guān)系：相交；；平行；（3）等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；（4）射影定理（斜線長(zhǎng)、射影長(zhǎng)定理）：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長(zhǎng)的射影也較長(zhǎng)；垂線段比任何一條斜線段都短。（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；②過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。（7）過(guò)已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過(guò)這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。（8）如果—直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。（9）如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。三、唯一性定理：（1）過(guò)已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。（2）過(guò)已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過(guò)兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。四、空間角的求法：（所有角的問(wèn)題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過(guò)直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：；注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時(shí)可找三角形的中位線。有的還可以通過(guò)補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體再加上三個(gè)同樣的正方體，補(bǔ)成一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體。（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為；②線面垂直：線面所成的角為；③斜線與平面所成的角：范圍；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；注意：還可以用射影法：；其中為二面角的大小，為內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形的面積；為內(nèi)的一個(gè)封閉幾何圖形在內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。五、距離的求法：（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng)。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；③體積法：利用三棱錐體積公式。（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過(guò)而平行于的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；六、常用的結(jié)論：（1）若直線在平面內(nèi)的射影是直線，直線是平面內(nèi)經(jīng)過(guò)的斜足的一條直線，與所成的角為，與所成的角為,與所成的角為，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是；（2）如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：①Ⅰ、如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；Ⅱ、經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上；Ⅲ、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上。②垂線法：如果過(guò)平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上的射影在過(guò)斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面的交線上(面面垂直的性質(zhì)定理)；④整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過(guò)一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。（3）在四面體中：①若，則；且在平面上的射影是的垂心。②若，則在平面上的射影是的外心。③若到邊的距離相等，則在平面上的射影是的內(nèi)心。A’AFE’E（4）異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂線段的長(zhǎng)為，在上分別取一點(diǎn)，設(shè)，；A’AFE’E則（如果為銳角，公式中取負(fù)號(hào)，如果為鈍，公式中取正號(hào)）七、多面體：（1）棱柱：①定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱側(cè)棱不垂直于底面斜棱柱側(cè)棱垂直于底面直棱柱底面是正多邊形正棱柱；側(cè)棱不垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌娴酌媸钦噙呅嗡睦庵酌媸瞧叫兴倪呅纹叫辛骟w側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正底面是平行四邊形側(cè)棱垂直于底面底面是矩形底面是正方形棱長(zhǎng)都相等②性質(zhì)：Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形；Ⅱ、兩底面是全等多邊形；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形；Ⅳ、長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和。③面積：（是底周長(zhǎng)，是高）④體積：（為底面積，為高，為已知側(cè)面與它對(duì)棱的距離）（2）棱錐：①定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐；正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；②性質(zhì)：Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的邊長(zhǎng)和底面的對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；Ⅱ、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過(guò)四個(gè)直角三角形，，，實(shí)現(xiàn)邊，高，斜高間的換算ABCDPOH③面積：（ABCDPOH④體積：（為底面積，為高）（3）正四面體：對(duì)于棱長(zhǎng)為正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體問(wèn)題。對(duì)棱間的距離為（正方體的邊長(zhǎng)）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為（）外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）內(nèi)切球的半徑為（是正四面體中心到四個(gè)面的距離，則半徑）（4）正多面體：①定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的多面體叫做正多面體。正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體面數(shù)4681220頂點(diǎn)數(shù)4862012棱數(shù)612123030面的形狀正三角形正方形正三角形正五邊形正三角形頂點(diǎn)的棱數(shù)33435②歐拉公式：（為簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)，為面數(shù)，為棱數(shù)）（表示各個(gè)面上的棱數(shù)，表示過(guò)各個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)）八、球（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)