新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第3節(jié)隨機事件與概率教師用書

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！第三節(jié)隨機事件與概率考試要求：1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．2．了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別．3．了解兩個互斥事件的概率加法公式．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．確定試驗的樣本空間(1)樣本點和樣本空間我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．(2)有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．事件類型的判斷(1)隨機事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生．(2)必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．(3)不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．3．事件的關(guān)系(1)互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發(fā)生符號表示A∩B＝?圖形表示(2)互為對立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為eq\x\to(A)含義A與B有且僅有一個發(fā)生符號表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示4．事件的運算(1)包含關(guān)系定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B(2)并事件(和事件)定義一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少一個發(fā)生符號表示A∪B(或A＋B)圖形表示(3)交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時發(fā)生符號表示A∩B(或AB)圖形表示互斥事件與對立事件都是指兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求必須有一個發(fā)生．5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．隨機事件A，B互斥與對立的區(qū)別與聯(lián)系當(dāng)隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當(dāng)隨機事件A，B對立時，一定互斥．2．從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (×)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事． (×)(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (√)(4)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生． (√)(5)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1． (×)(6)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件． (√)2．(2021·莆田期末)一個不透明的袋子中裝有8個紅球，2個白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同，采用不放回的方式從中摸出3個球．下列事件為不可能事件的是()A．3個都是白球B．3個都是紅球C．至少1個紅球D．至多2個白球A解析：由于袋子中白球的個數(shù)為2個，摸出的3個球都是白球是不可能事情，故A選項正確．摸出的3個球都是紅球是隨機事件，故B選項錯誤．摸出的球至少一個紅球是必然事件，故C選項錯誤．摸出的球至多2個白球是必然事件，故D選項錯誤．故選A．3．(2022·煙臺期末)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，其六個面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，觀察朝上一面的點數(shù)，設(shè)事件A＝“點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“點數(shù)為4”，則A與B的關(guān)系為()A．互斥 B．相等C．互為對立 D．相互獨立A解析：事件A與B不可能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故A與B是互斥事件．4．(多選題)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件M＝“取出的兩球同色”，N＝“取出的兩球中至少有一個黃球”，S＝“取出的兩球至少有一個白球”，T＝“取出的兩球不同色”，H＝“取出的兩球中至多有一個白球”則()A．M與T互為對立 B．N與S互斥C．S與H互斥 D．N與H不互斥AD解析：對于選項A，事件M＝“取出的兩球同色”，T＝“取出的兩球不同色”，顯然不可能同時發(fā)生，且也不可能都不發(fā)生，所以M和T是對立事件．故選項A正確．對于選項B，如果“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則N和S同時發(fā)生，所以N和S不是互斥事件，故B選項錯誤．對于選項C，如果“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則S和H同時發(fā)生，所以S和H不是互斥事件，故C選項錯誤．對于選項D，如果“取出的兩個球為一個白球和一個黃球”，則N和H同時發(fā)生，所以N和H不是互斥事件，故D選項正確．5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為_________．0．45解析：落在[10,40)的頻率為eq\f(2＋3＋4,20)＝0.45．6．一個口袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，則在先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率．因為袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，因此所求概率為eq\f(2,5)．考點1隨機事件的關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)(多選題)(2021·棗莊期末)一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球(標(biāo)號為1和2)，2個綠色球(標(biāo)號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，每次摸出一個球．設(shè)事件R1＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，則()A．R1?R B．R∩G＝?C．R∪G＝M D．M＝eq\x\to(N)BCD解析：由題意知，R＝“兩次都摸到紅球”，R1＝“第一次摸到紅球”，所以R?R1，故選項A錯誤．因為R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，兩個事件沒有公共的基本事件，所以R∩G＝?，故選項B正確．因為R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，故R或G表示摸的兩個球的顏色相同，所以R∪G＝M，故選項C正確．因為M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，由對立事件的定義可知，M＝eq\x\to(N)，故選項D正確．(2)把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是()A．既不互斥也不對立B．既互斥又對立C．互斥但不對立D．對立C解析：把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是互斥但不對立．故選C．判斷互斥事件、對立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．1．同時投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時，“2枚都是反面朝上”一定發(fā)生，故A中的兩個事件是對立事件．在B中，當(dāng)2枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時發(fā)生，故B中的兩個事件不是互斥事件．在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時發(fā)生，且其中一個不發(fā)生時，另一個有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個事件是互斥而不對立事件．在D中，當(dāng)2枚硬幣同時反面朝上時，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時發(fā)生，故D中的兩個事件不是互斥事件．故選C．2．口袋里裝有6個形狀相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黃球3個．從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的序號為________．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：顯然A與D是對立事件，①正確；當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點2隨機事件的頻率與概率——基礎(chǔ)性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計相應(yīng)的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44．(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5．因為P(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9．因為P(B1)＜P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2．1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．2．隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．提醒：概率的定義是求一個事件概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗中，共投擲了100次，正面朝上的頻數(shù)為51次，則正面朝上的頻率為()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由題意，根據(jù)事件發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51．2．某學(xué)校共有教職工120人，對他們進行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科研究生合計35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是()A．該校教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%B．該校教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過10%D解析：對于選項A，該校教職工具有本科學(xué)歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯誤．對于選項B，該校教職工具有研究生學(xué)歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯誤．對于選項C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯誤．對于選項D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D．考點3互斥事件與對立事件的概率——綜合性考向1互斥事件的和事件某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．一次購物量(件)1～45～89～1213～1617及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．(1)求x，y的值．(2)求顧客一次購物的結(jié)算時間超過2分鐘的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．(2)記A：一位顧客一次購物的結(jié)算時間超過2分鐘；A1：該顧客一次購物的結(jié)算時間為2.5分鐘；A2：該顧客一次購物的結(jié)算時間為3分鐘．將頻率視為概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3．考向2“至多”“至少”型問題的概率經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率．解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．(方法二)記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．(2)間接法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法就會較簡便．提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．考向3與其他知識的綜合某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A＋B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件AB，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%．故選C．概率綜合問題求解需要明確概率類型，從而選擇相應(yīng)概型公式求解．特別注意“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義，可利用對立事件的概率快速解決．1．拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C解析：拋擲一個骰子的試驗有6種等可能結(jié)果．依題意P(