高等數(shù)學(xué)課件：9-2(第二型曲線積分)

2．第一型曲線積分的物理意義(1)(2)柱面面積弧長3．第一型曲線積分的幾何意義

在一條光滑(或分段光滑)的是L上關(guān)于x的奇函數(shù)

是L上關(guān)于x的偶函數(shù)

L1是曲線L落在y軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時常用的L關(guān)于y軸對稱,補充對稱性質(zhì)曲線L上連續(xù),則當(dāng)(或y)(或y)當(dāng)(或x軸)(或x)

運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時,

應(yīng)同時考慮被積函數(shù)

與積分曲線L的對稱性.第二節(jié)第二型曲線積分一、引例：變力做功問題二、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)三、第二型曲線積分的計算法常力沿直線所作的功分割？一、引例變力做功問題求和取極限取近似取即近似值精確值1.定義

設(shè)L為xOy面內(nèi)從點A到點B的一條有向光滑

用L上的點:把L分成n個有向小弧段曲線弧,在L上有界.上任意取定的點.二、第二型曲線積分的概念和性質(zhì)如果當(dāng)各小段長度的最大值的極限總存在,

記作則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上或稱第二型曲線積分.對坐標(biāo)x的曲線積分,即類似地定義稱在有向曲線弧L上對坐標(biāo)y的曲線積分.2.存在條件在光滑曲線弧L上3.組合形式“點積”形式第二類曲線積分存在.連續(xù),其中4.物理意義⌒⌒⌒⌒5.推廣空間有向曲線弧Γ,6.性質(zhì)LL1L2

對坐標(biāo)的曲線積分與(1)則(2)有向曲線弧,則曲線的方向有關(guān).對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、第二型曲線積分的計算思想是因此下限應(yīng)是起點的坐標(biāo),化為定積分計算.上限是終點的坐標(biāo).定理連續(xù),且特殊情形(1)(2)則則(3)推廣例1解問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.

其中Γ是由點A(1,1,1)到點B(2,3,4)的直線段.直線AB的方程為解化成參數(shù)式方程為于是例2A點對應(yīng)B點對應(yīng)例3(1)L是上半圓周反時針方向;解A點對應(yīng)(2)L是x軸上由點到點的線段.

(1)中L的參數(shù)方程為B點對應(yīng)其中原式=(2)L的方程為原式=(2)L是x軸上由點到點的線段.

其中例4解例5解補充在分析問題和算題時常用的L在上半平面部分與P(x,y)為P(x,y)為其中L1是曲線L的上半平面的部分.類似地,對稱性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分,當(dāng)平面曲線L是分段光滑的,關(guān)于下半平面部分的走向相反時,x軸對稱,則y的偶函數(shù)y的奇函數(shù)的討論也有相應(yīng)的結(jié)論.對例6直接化為定積分計算,取逆時針方向.解法一由曲線積分的性質(zhì).則其中ABCDA為將原式分成兩部分,即曲線關(guān)于的走向與L在下半部分的走向相反,法二被積函數(shù)為利用對稱性質(zhì),L在上半部分x軸對稱,y的偶函數(shù).原式曲線關(guān)于L在右半部分的走向與L在左半部分的走向相反,被積函數(shù)為所以,y軸對稱,x的偶函數(shù).三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一型曲線積分的概念