高等數(shù)學(xué)d121常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)課件

無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第十二章無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第一節(jié)第十二章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、收斂級(jí)數(shù)的一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正式中的項(xiàng)數(shù)無限增多一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓定義：給定一個(gè)數(shù)列由這個(gè)數(shù)列稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.構(gòu)成的表達(dá)式,簡(jiǎn)記為當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí)，他們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：定義：給定一個(gè)數(shù)列由這個(gè)數(shù)列稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，其中第n定義：如果級(jí)數(shù)收斂

,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作的部分和數(shù)列{Sn}有極限S，即則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然定義：如果級(jí)數(shù)收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S為級(jí)數(shù)的和,記作例1.

討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q稱為公比)2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合例2.

證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明：這級(jí)數(shù)的部分和為：顯然，因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例2.證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明：這級(jí)數(shù)的部分和為：顯然，因此例3.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和例3.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)k

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為kS.

說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變

.即其和為kS.二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減

.(用反證法可證)說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中加上、去掉或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中加上、去掉或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散

.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.例5.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)作業(yè)

P2581(3)；

2(3),(4)；

4(1),(3),(5).

作業(yè)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第十二章無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第一節(jié)第十二章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、收斂級(jí)數(shù)的一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正式中的項(xiàng)數(shù)無限增多一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓定義：給定一個(gè)數(shù)列由這個(gè)數(shù)列稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.構(gòu)成的表達(dá)式,簡(jiǎn)記為當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí)，他們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：定義：給定一個(gè)數(shù)列由這個(gè)數(shù)列稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，其中第n定義：如果級(jí)數(shù)收斂

,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作的部分和數(shù)列{Sn}有極限S，即則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然定義：如果級(jí)數(shù)收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S為級(jí)數(shù)的和,記作例1.

討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q稱為公比)2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合例2.

證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明：這級(jí)數(shù)的部分和為：顯然，因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例2.證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明：這級(jí)數(shù)的部分和為：顯然，因此例3.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和例3.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用

例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為例3.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)k

所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為kS.

說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變

.即其和為kS.二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:

令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減

.(用反證法可證)說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中加上、去掉或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中加上、去掉或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:

若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散

.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從例5.

判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(