2021年陜西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參考答案

PAGEPAGE8全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題（4月24日上午8:30—11:00）第一試一、選擇題（每小題6分，共48分．給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1、已知集合，是的子集，且中各元素的和為，則滿(mǎn)足條件的子集共有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)2、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（）A.B.C.D.3、設(shè)是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，且，則的最大值是（）A.B.C.D.4、從這個(gè)數(shù)中，任取個(gè)不同的數(shù)，則這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A.B.C.D.5、是拋物線(xiàn)上關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，則等于（）A.B.C.D.ACDBGM6、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，為的重心，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（）ACDBGMA.B.C.D.7、設(shè)函數(shù)（均為非零整數(shù)）.若，，則的值是（）A.B.C.D.8、設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.B.C.D.二、填空題（每小題8分，共32分）9、在數(shù)列中，，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都是，則_______________.10、設(shè)均為正整數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值是_______________.11、設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12、設(shè)，則函數(shù)的最小值為_(kāi)________.第二試一、（本題滿(mǎn)分20分）設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足．（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值．二、（本題滿(mǎn)分20分）已知直線(xiàn)，動(dòng)圓，菱形的一個(gè)內(nèi)角為，頂點(diǎn)在直線(xiàn)上，頂點(diǎn)在圓上，當(dāng)變化時(shí)，求菱形的面積的取值范圍．三、（本題滿(mǎn)分20分）如圖，圓與圓相交于兩點(diǎn)，圓的弦與圓相切，圓的弦與圓相切，直線(xiàn)與的外接圓交于另一點(diǎn)．求證：．EEDCABOO12圖11四、（本題滿(mǎn)分30分）設(shè)函數(shù)，且的最小值為，（1）求的值；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，設(shè)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．求．五、（本題滿(mǎn)分30分）設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，對(duì)任意整數(shù)，證明：．參考答案：第一試一、CBADCBDA二、（9）5；（10）54；（11）；（12）1.第8題提示：法一：法二：第12題提示：，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，當(dāng)時(shí)，最?。诙囈弧ⅲ?）依題意有，．（2），，，，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．二、設(shè)直線(xiàn)方程方程為，則直線(xiàn)與間距離為，，，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，由，得，即．，，解得且．，的取值范圍為且．三、提示:由，得,（1）由，得，即，（2）由（1）、（2）兩式，得，