從博弈論角度看古諾模型

博弈論的觀點看古諾模型羅思蘊(華中師范大學數(shù)學與應用數(shù)學系，武漢430079)摘要：運用博弈論的研究方法，對古諾模型的幾種變式進行分析，給出模型解法的代數(shù)表達式，并對結果進行適當?shù)膶Ρ确治?，最后總結出不同模型對結論的改變情況。關鍵詞：古諾模型納什均衡完全信息不完全信息靜態(tài)博弈動態(tài)博弈古諾模型(Cournotmodel)是博弈論中最具有代表性的模型之一，也是是納什均衡最早的版本。它是法國經濟學家古諾(AugustinCournot)在1938年出版的《財富理論的數(shù)學原理研究》一書中最先提出的。而古諾的定義比納什的定義早了一百多年，足以體現(xiàn)博弈論這樣一個學科是深深扎根于經濟學的土壤中的。從經濟學的角度，它的研究價值在于古諾模型是介于兩種極端狀況完全競爭和壟斷之間。在古諾生活的時代，大多數(shù)市場都只有少數(shù)的廠商經營，所以這個模型在當時是極具現(xiàn)實意義的。隨著時間的推移，古諾模型也演變出了各種不同的版本。如果從博弈論的角度分析，有四種情況極具代表性：完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型、不完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型、完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型、無限次重復博弈的古諾模型。經典古諾模型古諾模型最初的形態(tài)是來自于經濟學的。在經濟學中，寡頭的概念是指那種在某一產業(yè)只有少數(shù)幾個賣者的市場組織形式。古諾模型對寡頭具有如下的基本假設。一，假定一個產業(yè)只有兩個寡頭，每個寡頭生產同質產品，并追求利潤最大化。二，兩個寡頭之間進行的是產量的競爭而不是價格競爭，且產品的價格依賴于兩者生產的產品總量。三，寡頭之間無勾結行為。四，每個生產者都把對方的產出水平視為定值。五，邊際成本為常數(shù)。在經典的古諾模型中，每個企業(yè)具有相同的不變單位成本：C(q)=cq,i=1,2ii i

需求函數(shù)為：第i個企業(yè)的利潤為:需求函數(shù)為：第i個企業(yè)的利潤為:P=a-(q1(q,q)=q[a-(q+q)LC(q),i1 2 i 1 2 ii二1,2最優(yōu)化的一階條件為：i=a—(q+q)—q—c=0dq 1 2 112二a—(q+q丿一q—c二0dq 1 2 22反應函數(shù)為：解得納什均衡為：每個公司的利潤為q反應函數(shù)為：解得納什均衡為：每個公司的利潤為q*=R(q)= (a一q一c)1 2 2 2=R(q)= (a-q-c)2 1 2 1*1

q*2q*=q*= (a-c)123兀(q*)=k(q*)=_L(a—c)z11229古諾模型是在假定寡頭具有完全信息的基礎上導出的。在這一均衡中，每個寡頭都可以準確猜測對手的產量，從而選擇自己的最大產出。最重要的是，古諾均衡解在寡頭無勾結的假定下求出的。如果考慮寡頭之間相互勾結而達到均衡的情況，那么經過計算可以得到實際產出水平與實際價格上等于完全壟斷條件下達到的產量與價格。更廣泛的，考慮無勾結寡頭市場、壟斷市場、自由市場，可以得到：無論是產量還是價格，無勾結寡頭市場都是處于中間的位置。也就是說，如果寡頭市場不存在勾結的行為，其效率高于完全壟斷低于完全競爭。博弈分類下的兩種古諾模型2.1不完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型即經濟學中最經典的形式，它假設了廠商相互完全了解對方的產量和成本,而市場價格又是統(tǒng)一的,因此,博弈雙方的得益情況是共同知識,沒有任何秘密。然而，在現(xiàn)實經濟中無論是相互競爭的廠商亦或是相互信任的廠商之間，為了各自的利益往往都會將自己生產銷售的有關情況作為商業(yè)秘密加以保密(這樣做是否能達到最大利益還有待商榷)，其他廠商很難了解真實情況。因此，完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型的假設可能與現(xiàn)實情況并不完全一致，現(xiàn)實的寡頭市場產量博弈模型中各博弈方的得益根本不可能是共同知識。例如在兩廠商模型中,只要一個廠商對另一個廠商的生產成本不清楚，則前一個廠商就不可能完全清楚另一個廠商在各種雙方產量組合下的得益，前一個廠商就不可能是完全信息。所以，有必要討論不完全信息靜態(tài)博弈古諾模型。先假定廠商1的平均成本C］是共同知識，而廠商2的平均成本有兩種類型:高成本C2H或低成本C2L；廠商2高成本C2H或低成本C2L；的概率為0，C2=C2l的概率為(1-0)。由已知條件可求得:卩2=q2(a-q「q2)-C2Hq2或卩2=q2(a-q1-q2)-C2Lq2為了利潤最大化,對上述兩式求導且令導數(shù)等于0。得:q2=(a-C2H-q1)/2或q2=(a-C2L-q1)/2也就是說，當C2為高成本時，廠商2的最優(yōu)產量為q2=(a-C2H-q1)/2;當C2為低成本時，廠商2的最優(yōu)產量為q2=(a-C2L-q1)/2即廠商2的產量不僅依賴廠商1的產量，還依賴于自己的成本類型。由于廠商1不知道廠商2的真實類型，從而不知道廠商2的最優(yōu)產量，因此，廠商1的期望利潤為:E卩1=q1(1-q1-q2H)0+[q1(1-q1-q2L)](1-0)令：得：q1=［1-q2L(q2L-q2H)0"2。這里值得質疑的是：是不是公司所有的信息都是不公布為好？答案是否定的。在不完全信息靜態(tài)博弈下的古諾模型中，就有最好的證明。經過簡單的計算可以發(fā)現(xiàn)，如果本公司的成本更低是應該告訴對方的，這樣根據(jù)兩個公司產量的函數(shù)表達，對方公司的產量應該下降，而本公司增加產量，這樣就可以達到利潤最大化。但是實際生活中還有這樣一種情況不能忽視，即一旦低成本的公司公布了自己的成本，那么沒有公布成本的公司為自動被認為是高成本的，那么為了避免被誤認為是高成本的公司，那么一些高成本的公司也不得不公布自己的成本，這樣一來，市面上的公司成本都得到了公布，那么古諾模型又會回到原來最經典的樣子。所以事實證明，缺少信息也是一種信息，當然前提是信息需要被核實。2.2完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型經典古諾模型中討論的寡頭還需要有較強的均衡性，也就是說寡頭之間有能力相互抗衡。這樣，即使自己公司由于某種原因偏離最佳方向，依然可以承擔一切后果。不過，現(xiàn)實生活中還有這樣一種情況，那就是兩個寡頭之間有一方較強。那么他們的產量決策是由較強的一方先進行選擇，而較弱的一方則根據(jù)較強的一方的產量決定自己的產量。由于這兩個廠商的選擇不僅有先后之分，而且后選擇的廠商在選擇時知道前一個廠商的選擇，因而是一個動態(tài)博弈的問題。設模型中的兩個寡頭，分別為廠商1和廠商2，他們的策略空間都是［0，Qmax］中的所有實數(shù)，其中Qmax可看作不至于使價格降到虧本的最大限度的產max max量；廠商1是領頭廠商，因此他先選擇，廠商2追隨其后；設價格函數(shù)為P=P(Q)=a-Q,(其中Q=ql+q2),兩廠商的邊際生產成本為勺，c2,且沒有固定成本。由以上假設，得出兩廠商的得益函數(shù)為：兀=qP(Q)-cq=(a-c)q-qq-q2111111121兀=qP(Q)-cq=(a-c)q-qq-q2222222212根據(jù)逆推歸納法,先分析第二階段廠商2的決策。令：i=a—c—q—2q=0dq 2121得：q=(a一c一q)/2221兀二(aq-2cq+cq-q2)/22111211再令：2=(a—2c+c—2q)/2=0Qq 12X2q=(a—2c+c)/2112廠商1在第一階段選擇(a-2c1c2)/2單位產量，廠商2在第二階段選擇(a-3c2+2cl)/4單位產量，這是運用逆推歸納法分析的策略組合，也是這個動態(tài)博弈的唯一子博弈納什均衡。與經典的古諾模型相比完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型計算出來的產量要大，價格要低，而且總收益也小于經典的古諾模型。不過值得一提的是，廠商1的收益是大于古諾模型中兩個廠商的收益。古諾模型的應用至于古諾模型的現(xiàn)實意義，對于處于經濟高速發(fā)展但經濟環(huán)境并不健康的中國來說，具有很高的借鑒價值。雖然自改革開放以來，中國的經濟注入了很多民間的新鮮血液，但是某些市場依然由國家全面把持，或者市場的準入門檻過高，造成一些國有企業(yè)充當寡頭，甚至壟斷整個市場,這樣還是在無形當中降低了市場的效率。如何在這種不利的條件下，得到最大的收益，還是需要仔細對古諾模型進行分析。例如，隨著中國電力市場改革的深入發(fā)展，電力工業(yè)出現(xiàn)了產權多元化的局面，有國家、集資、股份、合資、外資等多種辦電方式。各發(fā)電商都希望利用自己擁有的信息，合理安排自己的發(fā)電計劃，合理申報電力價格，以獲得最大的利潤。電力市場不是自由競爭的市場，而是具有寡頭壟斷性質的市場，競爭主要在于少數(shù)寡頭之間。因此利用古諾模型分析發(fā)電廠商的定價行為，找出其最優(yōu)的均衡價格，具有合理性。4結語古諾模型是經濟學中一個相當重要的模型，在博弈論中根據(jù)博弈情況的不同有也很多變式。這樣一個例子足以體現(xiàn)出博弈論與經濟學密不可分的關系。但是博弈論作為一名獨立出來的學科，給筆者一個特別的感覺：思想大于計算。書本中在介紹博弈問題時，往往花大量的精力計算納什均衡，卻忽略了博弈方的社會性。這也就導致計算出了的納什均衡與實