【疑難突破】歸納-猜想-證明 解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題

歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題講解在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下，可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論．用不完全歸納法歸納結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．正確計(jì)算是歸納的前提，常見的等差、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋梁，而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿．歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題“歸納—猜想—證明”的解題步驟計(jì)算歸納猜想證明根據(jù)條件，準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)通過觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結(jié)論對一般結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表達(dá)式（用a和n表示），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．思路點(diǎn)撥：利用遞推公式求出a2，a3，a4，歸納出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．解析：（1）由已知得，歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表達(dá)式（用a和n表示），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解析：（2）因?yàn)樗圆孪胂旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時，因?yàn)閍1＝a＝

，所以當(dāng)n＝1時猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時猜想成立，歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝a（a＞0），an＝

（n≥2，n∈N*）．（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表達(dá)式（用a和n表示），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．即所以猜想所以當(dāng)n＝k＋1時，所以當(dāng)n＝k＋1時猜想也成立．根據(jù)①與②可知，猜想對任意n∈N*都成立．歸納—猜想—證明，解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題例2已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，

，求證：當(dāng)n∈N*時，an＜an＋1．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時，0≤ak＜ak＋1，又an≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1＞0，證明：（1）由題意得，當(dāng)n＝1時，

＋a2－1＝0，因?yàn)閍n≥0，所以a2＝

，即a1＜a2成立．所以＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）＞0，所以ak＋1＜ak＋2，即