分形理論及其應(yīng)用課件

分形理論及其應(yīng)用分形理論簡介

應(yīng)用實(shí)例之一：甘肅城鎮(zhèn)體系的分形研究應(yīng)用實(shí)例之二：沙漠化的分形研究

應(yīng)用實(shí)例之三：R/S分析法在城市氣候研究中的應(yīng)用

分形理論及其應(yīng)用分形理論簡介

分形（Fractal）理論，主要研究和揭示復(fù)雜的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中所隱藏的規(guī)律性、層次性和標(biāo)度不變性，為通過部分認(rèn)識(shí)整體、從有限中認(rèn)識(shí)無限提供了一種新的工具。分形理論，是在“分形”概念的基礎(chǔ)上升華和發(fā)展起來的。分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的。許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象等都是分形理論的研究對象。分形的類型有自然分形、時(shí)間分形、社會(huì)分形、經(jīng)濟(jì)分形、思維分形等。分形理論，被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，從而形成了許多新的學(xué)科生長點(diǎn)。隨著分形理論在地理學(xué)研究中的應(yīng)用，到了20世紀(jì)90年代，逐漸形成了一個(gè)新興的分支學(xué)科——分形地理學(xué)。分形（Fractal）理論，主要研究和揭示復(fù)分形的有關(guān)概念(1)分形，是指其組成部分以某種方式與整體相似的幾何形態(tài)(Shape)，或者是指在很寬的尺度范圍內(nèi)，無特征尺度卻有自相似性和自仿射性的一種現(xiàn)象。分形是一種復(fù)雜的幾何形體，唯有具備自相似結(jié)構(gòu)的那些幾何形體才是分形。(2)特征尺度,是指某一事物在空間，或時(shí)間方面具有特定的數(shù)量級，而特定的量級就要用恰當(dāng)?shù)某咦尤チ繙y。凡是具有自相似結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象都沒有特征尺度,分形的一個(gè)突出特點(diǎn)是無特征尺度。在無特征尺度區(qū)，用來表征的特征量是分形維數(shù)。分形的有關(guān)概念分形維數(shù)的定義和測算

維數(shù)是幾何對象的一個(gè)重要特征量，傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)研究、立方體等非常規(guī)整的幾何形體。按照傳統(tǒng)幾何學(xué)的描述，點(diǎn)是零維，線是一維，面是二維，體是三維。但仔細(xì)觀看，對于大自然用分型維數(shù)來描述可能會(huì)更接近實(shí)際。分形維數(shù)的定義和測算幾種測定分維數(shù)拓?fù)渚S數(shù)

一個(gè)幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)等于確定其中一個(gè)點(diǎn)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。

對于一個(gè)二維幾何體——邊長為單位長度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，則覆蓋它所需要的小正方形的數(shù)目N(r)和尺度r滿足如下關(guān)系式幾種測定分維數(shù)若r=1/4，則

當(dāng)r=1/k（k=1，2，3，…）時(shí)，則

一般地，如果用尺度為r的小盒子覆蓋一個(gè)d維的幾何對象，則覆蓋它所需要的小盒子數(shù)目N(r)和所用尺度r的關(guān)系為變形得定義為拓?fù)渚S數(shù)若r=1/4，則當(dāng)r=1/k（k=1，2，3，…）時(shí)，則（2）Hausdorff維數(shù)

幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是d為整數(shù)；二是盒子數(shù)雖然隨著測量尺度變小而不斷增大，幾何對象的總長度(或總面積，總體積)保持不變。但總長度會(huì)隨測量尺度的變小而變長，最后將趨于無窮大。因此，對于分形幾何對象，需要將拓?fù)渚S數(shù)的定義推廣到分形維數(shù)。因?yàn)榉中伪旧砭褪且环N極限圖形，可以得出分形維數(shù)的定義：（2）Hausdorff維數(shù)上式就是Hausdorff分形維數(shù)，通常也簡稱為分維。拓?fù)渚S數(shù)是分維的一種特例，分維D0大于拓?fù)渚S數(shù)而小于分形所位于的空間維數(shù)。兩個(gè)實(shí)例可以用分形模擬真實(shí)的海岸線。首先在單位長度的一條直線的中間1/3處凸起一個(gè)邊長為1/3的正三角形，下一步是在每條直線中間1/3處凸起一個(gè)邊長為(1/3)2的正三角，如此無窮次地變換下去，最后就會(huì)得到一個(gè)接近實(shí)際的理想化的海岸線分形。每次變換所得到的圖形，相當(dāng)于用尺度r對海岸線分形進(jìn)行了一次測量，如果設(shè)尺度r測得覆蓋海岸線的盒子數(shù)為N(r)，海岸線的長度為L(r)，有：上式就是Hausdorff分形維數(shù)，通常也簡稱為分維。拓?fù)渚S當(dāng)r=1/3時(shí)，當(dāng)r=(1/3)2時(shí)，……………當(dāng)r=(1/3)n時(shí)，根據(jù)分維的定義得海岸線的Hausdorff維數(shù)是顯然，L(r)與N(r)之間的關(guān)系是所以海岸線的維數(shù)大于它的拓?fù)渚S1而小于它所在當(dāng)r=1/3時(shí)，的空間維2。長度L(r)隨測量尺度r的變小而變長，在r→0時(shí)，L(r)→∞。當(dāng)海岸線分形的自相似變換程度復(fù)雜性有所增加時(shí)，海岸線的分維也會(huì)相對地增加。Cantor集合是由處處稀疏的無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，拓?fù)渚S數(shù)為d=0。構(gòu)造方法是，把(0,1)區(qū)間上的線段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉中段，如此自相似變換無窮次，最后剩下的就是無窮稀疏又無窮多的點(diǎn)的集合。用尺度為r=(1/3)n的小盒子覆蓋，小盒子數(shù)為N(r)=2n，Hausdorff維數(shù)是的空間維2。長度L(r)隨測量尺度r的變小而變長，在r→0時(shí)(3)信息維數(shù)如果將每一個(gè)小盒子編上號(hào)，并記分形中的部分落入第i個(gè)小盒子的概率為Pi，那么用尺度為r的小盒子所測算的平均信息量為若用信息量I取代小盒子數(shù)N(r)的對數(shù)就可以得到信息維D1的定義(3)信息維數(shù)如果把信息維看作Hausdorff維數(shù)的一種推廣，那么Hausdorff維數(shù)應(yīng)該看作一種特殊情形而被信息維的定義所包括。對于一種均勻分布的分形，可以假設(shè)分形中的部分落入每個(gè)小盒子的概率相同，即可見，在均勻分布的情況下，信息維數(shù)D1和Hausdorff維數(shù)D0相等。在非均勻情形，D1<D0。

如果把信息維看作Hausdorff維數(shù)的一種推廣，那么Hau(4)關(guān)聯(lián)維數(shù)

空間的概念早已突破3維空間的限制，如相空間，系統(tǒng)有多少個(gè)狀態(tài)變量，它的相空間就有多少維，甚至是無窮維。相空間突出的優(yōu)點(diǎn)是，可以通過它來觀察系統(tǒng)演化的全過程及其最后的歸宿。對于耗散系統(tǒng)，相空間要發(fā)生收縮，也就是說系統(tǒng)演化的結(jié)局最終要?dú)w結(jié)到子空間上。這個(gè)子空間的維數(shù)即所謂的關(guān)聯(lián)維數(shù)。(4)關(guān)聯(lián)維數(shù)分形集合中每一個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化都是由與之相互作用、相互聯(lián)系的其它狀態(tài)變量共同作用而產(chǎn)生的。為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間，只要考慮其中的一個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間演化序列，然后按某種方法就可以構(gòu)建新維。如果有一等間隔的時(shí)間序列為{x1，x2，x3，…，xi，…}，就可以用這些數(shù)據(jù)支起一個(gè)m維子相空間。方法是，首先取前m個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xm，由它們在m維空間中確定出第一個(gè)點(diǎn)，把它記作X1。然后去掉x1，再依次取m個(gè)數(shù)據(jù)x2，x3，…，xm+1，由這組數(shù)據(jù)在m維空間中構(gòu)成第二個(gè)點(diǎn)，記為X2。這樣，依此可以構(gòu)造一系列相點(diǎn)分形集合中每一個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化都是由與之相互作用、相互把相點(diǎn)X1，X2，…，Xi，…，依次連起來就是一條軌線。因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離越近，相互關(guān)聯(lián)的程度越高。設(shè)由時(shí)間序列在m維相空間共生成個(gè)相點(diǎn)X1，X2，…，XN，給定一個(gè)數(shù)r，檢查有多少點(diǎn)對(Xi，Xj)之間的距離|Xi-Xj|小于r，把距離小于r的點(diǎn)對數(shù)占總點(diǎn)對數(shù)N2的比例記作C(r)，把相點(diǎn)X1，X2，…，Xi，…，依次連起來就是一條軌線。因?yàn)闉镠eaviside階躍函數(shù)

若r取得太大，所有點(diǎn)對的距離都不會(huì)超過它，C(r)=1，lnC(r)=0。測量不出相點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。適當(dāng)縮小測量尺度r，可能在r的一段區(qū)間內(nèi)有如果這個(gè)關(guān)系存在，D就是一種維數(shù)，把它稱為關(guān)聯(lián)維數(shù)，用D2表示，即

為Heaviside階躍函數(shù)若r取得太大，所有點(diǎn)對的距離都標(biāo)度律與多重分形

(1)標(biāo)度律

分形的基本屬性是自相似性。表現(xiàn)為，當(dāng)把尺度r變換為λr時(shí)，其自相似結(jié)構(gòu)不變，只不過是原來的放大和縮小，λ稱為標(biāo)度因子，這種尺度變換的不變性也稱為標(biāo)度不變性，是分行的一個(gè)普適規(guī)律。有標(biāo)度律與多重分形海岸線分形，如果考慮其長度隨測量尺度的變化，為標(biāo)度指數(shù)。上式表明，把用尺度r測量的分形長度L(r)再縮小(或放大)λα倍就和用縮小(或放大)了的尺度λr測量的長度相等。最重要的是這種關(guān)系具有普適性。究竟普適到什么程度是由標(biāo)度指數(shù)α來分類的，這稱為普適類。具有相同α的分形屬于同一普適類，同一普適類的分形也具有相同的分維D0。海岸線分形，如果考慮其長度隨測量尺度的變化，一般情況下，可以把標(biāo)度律寫為

f是某一被標(biāo)度的物理量，標(biāo)度指數(shù)α與分維D0之間存在著簡單的代數(shù)關(guān)系d為拓?fù)渚S數(shù)。

質(zhì)量均勻分布的Cantor集合：取一個(gè)長度r0=1，質(zhì)量P0=1的均勻質(zhì)量棒，分為兩段，各段質(zhì)量P1=P2=1/2，再將每段變?yōu)殚L度r1=1/3，線密度ρ1=P1/r1=3/2的均勻棒。自相似變換，第二步可獲4段小棒，長度r2=(1/3)2，質(zhì)量P2=(1/2)2，線密度ρ2=P2/r2=(3/2)2，…，到第n步，共有N=2n個(gè)小棒，每一個(gè)長度為ri=3-n，質(zhì)量為Pi=2-n，線密度為ρi=Pi/ri=(3/2)n(i=1,2,…,N)，一般情況下，可以把標(biāo)度律寫為整個(gè)過程中，總質(zhì)量守恒

如果把看作概率，上式就是歸一條件。對每一小棒給以標(biāo)度其中α為標(biāo)度指數(shù)。把每一小棒的長度及質(zhì)量同時(shí)代入，可以算得這種均勻分布的Cantor集合，其標(biāo)度指數(shù)α是一個(gè)常量，并且α=0-D0，為單標(biāo)度，分形稱為單分形。整個(gè)過程中，總質(zhì)量守恒（2）多重分形

對于非均勻分布的分形，可以看作由單分形集合構(gòu)成的集合，它的標(biāo)度指數(shù)α和分維D都不再是常量，這樣的分形稱為多重分形。理想的表達(dá)方法是，把α看作是連續(xù)變化的，在α和α+dα這個(gè)間隔是一個(gè)以單值α為特征和分維為f(α)的單分形集合，把所有不同α的單分形集合相互交織在一起就形成多重分形。（2）多重分形Cantor集合，考慮多重分形，把同樣的均勻質(zhì)量棒從其左端3/5處一分為二，然后把左段壓縮為長度r1=1/4，其質(zhì)量P1=3/5，而右段保持原長度r2=2/5，其質(zhì)量P2=2/5；第二步按著上述的比例對兩段分別進(jìn)行同樣的變換就得到4段，左兩段的長度分別為質(zhì)量分別為，，右兩段的長度分別為，，質(zhì)量分別為，；如此操作下去就會(huì)得到一個(gè)不均勻的Cantor集合。在這個(gè)集合中分布著眾多長寬相同的線條集合，它們構(gòu)成單分形子集合。對每一個(gè)單分形子集合，其標(biāo)度指數(shù)為α，分維為f(α)。

Cantor集合，考慮多重分形，把同樣的均勻質(zhì)量棒從其左端最后每段線條的質(zhì)量相當(dāng)于二項(xiàng)式展開中的一項(xiàng)，。因此可以用P1的q階矩取代單分形中的盒子數(shù)N，多重分維Dq可以定義為多重分維的定義包含了各種分維的定義（具體見書本）。多重分形式定義了無窮多種維數(shù)，它依賴一個(gè)參數(shù)q，當(dāng)q=0，1，3時(shí)，Dq分別等于Hausdorff維數(shù)，信息維D1和關(guān)聯(lián)維數(shù)D2。當(dāng)然q不必限于正整數(shù)，它可以取從-∞到+∞的一切實(shí)數(shù)值。最后每段線條的質(zhì)量相當(dāng)于二項(xiàng)式展開中的分形理論及其應(yīng)用分形理論簡介

應(yīng)用實(shí)例之一：甘肅城鎮(zhèn)體系的分形研究應(yīng)用實(shí)例之二：沙漠化的分形研究

應(yīng)用實(shí)例之三：R/S分析法在城市氣候研究中的應(yīng)用

分形理論及其應(yīng)用分形理論簡介

分形（Fractal）理論，主要研究和揭示復(fù)雜的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中所隱藏的規(guī)律性、層次性和標(biāo)度不變性，為通過部分認(rèn)識(shí)整體、從有限中認(rèn)識(shí)無限提供了一種新的工具。分形理論，是在“分形”概念的基礎(chǔ)上升華和發(fā)展起來的。分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的。許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象等都是分形理論的研究對象。分形的類型有自然分形、時(shí)間分形、社會(huì)分形、經(jīng)濟(jì)分形、思維分形等。分形理論，被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，從而形成了許多新的學(xué)科生長點(diǎn)。隨著分形理論在地理學(xué)研究中的應(yīng)用，到了20世紀(jì)90年代，逐漸形成了一個(gè)新興的分支學(xué)科——分形地理學(xué)。分形（Fractal）理論，主要研究和揭示復(fù)分形的有關(guān)概念(1)分形，是指其組成部分以某種方式與整體相似的幾何形態(tài)(Shape)，或者是指在很寬的尺度范圍內(nèi)，無特征尺度卻有自相似性和自仿射性的一種現(xiàn)象。分形是一種復(fù)雜的幾何形體，唯有具備自相似結(jié)構(gòu)的那些幾何形體才是分形。(2)特征尺度,是指某一事物在空間，或時(shí)間方面具有特定的數(shù)量級，而特定的量級就要用恰當(dāng)?shù)某咦尤チ繙y。凡是具有自相似結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象都沒有特征尺度,分形的一個(gè)突出特點(diǎn)是無特征尺度。在無特征尺度區(qū)，用來表征的特征量是分形維數(shù)。分形的有關(guān)概念分形維數(shù)的定義和測算

維數(shù)是幾何對象的一個(gè)重要特征量，傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)研究、立方體等非常規(guī)整的幾何形體。按照傳統(tǒng)幾何學(xué)的描述，點(diǎn)是零維，線是一維，面是二維，體是三維。但仔細(xì)觀看，對于大自然用分型維數(shù)來描述可能會(huì)更接近實(shí)際。分形維數(shù)的定義和測算幾種測定分維數(shù)拓?fù)渚S數(shù)

一個(gè)幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)等于確定其中一個(gè)點(diǎn)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。

對于一個(gè)二維幾何體——邊長為單位長度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，則覆蓋它所需要的小正方形的數(shù)目N(r)和尺度r滿足如下關(guān)系式幾種測定分維數(shù)若r=1/4，則

當(dāng)r=1/k（k=1，2，3，…）時(shí)，則

一般地，如果用尺度為r的小盒子覆蓋一個(gè)d維的幾何對象，則覆蓋它所需要的小盒子數(shù)目N(r)和所用尺度r的關(guān)系為變形得定義為拓?fù)渚S數(shù)若r=1/4，則當(dāng)r=1/k（k=1，2，3，…）時(shí)，則（2）Hausdorff維數(shù)

幾何對象的拓?fù)渚S數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)：一是d為整數(shù)；二是盒子數(shù)雖然隨著測量尺度變小而不斷增大，幾何對象的總長度(或總面積，總體積)保持不變。但總長度會(huì)隨測量尺度的變小而變長，最后將趨于無窮大。因此，對于分形幾何對象，需要將拓?fù)渚S數(shù)的定義推廣到分形維數(shù)。因?yàn)榉中伪旧砭褪且环N極限圖形，可以得出分形維數(shù)的定義：（2）Hausdorff維數(shù)上式就是Hausdorff分形維數(shù)，通常也簡稱為分維。拓?fù)渚S數(shù)是分維的一種特例，分維D0大于拓?fù)渚S數(shù)而小于分形所位于的空間維數(shù)。兩個(gè)實(shí)例可以用分形模擬真實(shí)的海岸線。首先在單位長度的一條直線的中間1/3處凸起一個(gè)邊長為1/3的正三角形，下一步是在每條直線中間1/3處凸起一個(gè)邊長為(1/3)2的正三角，如此無窮次地變換下去，最后就會(huì)得到一個(gè)接近實(shí)際的理想化的海岸線分形。每次變換所得到的圖形，相當(dāng)于用尺度r對海岸線分形進(jìn)行了一次測量，如果設(shè)尺度r測得覆蓋海岸線的盒子數(shù)為N(r)，海岸線的長度為L(r)，有：上式就是Hausdorff分形維數(shù)，通常也簡稱為分維。拓?fù)渚S當(dāng)r=1/3時(shí)，當(dāng)r=(1/3)2時(shí)，……………當(dāng)r=(1/3)n時(shí)，根據(jù)分維的定義得海岸線的Hausdorff維數(shù)是顯然，L(r)與N(r)之間的關(guān)系是所以海岸線的維數(shù)大于它的拓?fù)渚S1而小于它所在當(dāng)r=1/3時(shí)，的空間維2。長度L(r)隨測量尺度r的變小而變長，在r→0時(shí)，L(r)→∞。當(dāng)海岸線分形的自相似變換程度復(fù)雜性有所增加時(shí)，海岸線的分維也會(huì)相對地增加。Cantor集合是由處處稀疏的無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，拓?fù)渚S數(shù)為d=0。構(gòu)造方法是，把(0,1)區(qū)間上的線段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉中段，如此自相似變換無窮次，最后剩下的就是無窮稀疏又無窮多的點(diǎn)的集合。用尺度為r=(1/3)n的小盒子覆蓋，小盒子數(shù)為N(r)=2n，Hausdorff維數(shù)是的空間維2。長度L(r)隨測量尺度r的變小而變長，在r→0時(shí)(3)信息維數(shù)如果將每一個(gè)小盒子編上號(hào)，并記分形中的部分落入第i個(gè)小盒子的概率為Pi，那么用尺度為r的小盒子所測算的平均信息量為若用信息量I取代小盒子數(shù)N(r)的對數(shù)就可以得到信息維D1的定義(3)信息維數(shù)如果把信息維看作Hausdorff維數(shù)的一種推廣，那么Hausdorff維數(shù)應(yīng)該看作一種特殊情形而被信息維的定義所包括。對于一種均勻分布的分形，可以假設(shè)分形中的部分落入每個(gè)小盒子的概率相同，即可見，在均勻分布的情況下，信息維數(shù)D1和Hausdorff維數(shù)D0相等。在非均勻情形，D1<D0。

如果把信息維看作Hausdorff維數(shù)的一種推廣，那么Hau(4)關(guān)聯(lián)維數(shù)

空間的概念早已突破3維空間的限制，如相空間，系統(tǒng)有多少個(gè)狀態(tài)變量，它的相空間就有多少維，甚至是無窮維。相空間突出的優(yōu)點(diǎn)是，可以通過它來觀察系統(tǒng)演化的全過程及其最后的歸宿。對于耗散系統(tǒng)，相空間要發(fā)生收縮，也就是說系統(tǒng)演化的結(jié)局最終要?dú)w結(jié)到子空間上。這個(gè)子空間的維數(shù)即所謂的關(guān)聯(lián)維數(shù)。(4)關(guān)聯(lián)維數(shù)分形集合中每一個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化都是由與之相互作用、相互聯(lián)系的其它狀態(tài)變量共同作用而產(chǎn)生的。為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間，只要考慮其中的一個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間演化序列，然后按某種方法就可以構(gòu)建新維。如果有一等間隔的時(shí)間序列為{x1，x2，x3，…，xi，…}，就可以用這些數(shù)據(jù)支起一個(gè)m維子相空間。方法是，首先取前m個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xm，由它們在m維空間中確定出第一個(gè)點(diǎn)，把它記作X1。然后去掉x1，再依次取m個(gè)數(shù)據(jù)x2，x3，…，xm+1，由這組數(shù)據(jù)在m維空間中構(gòu)成第二個(gè)點(diǎn)，記為X2。這樣，依此可以構(gòu)造一系列相點(diǎn)分形集合中每一個(gè)狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化都是由與之相互作用、相互把相點(diǎn)X1，X2，…，Xi，…，依次連起來就是一條軌線。因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離越近，相互關(guān)聯(lián)的程度越高。設(shè)由時(shí)間序列在m維相空間共生成個(gè)相點(diǎn)X1，X2，…，XN，給定一個(gè)數(shù)r，檢查有多少點(diǎn)對(Xi，Xj)之間的距離|Xi-Xj|小于r，把距離小于r的點(diǎn)對數(shù)占總點(diǎn)對數(shù)N2的比例記作C(r)，把相點(diǎn)X1，X2，…，Xi，…，依次連起來就是一條軌線。因?yàn)闉镠eaviside階躍函數(shù)

若r取得太大，所有點(diǎn)對的距離都不會(huì)超過它，C(r)=1，lnC(r)=0。測量不出相點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。適當(dāng)縮小測量尺度r，可能在r的一段區(qū)間內(nèi)有如果這個(gè)關(guān)系存在，D就是一種維數(shù)，把它稱為關(guān)聯(lián)維數(shù)，用D2表示，即

為Heaviside階躍函數(shù)若r取得太大，所有點(diǎn)對的距離都標(biāo)度律與多重分形

(1)標(biāo)度律

分形的基本屬性是自相似性。表現(xiàn)為，當(dāng)把尺度r變換為λr時(shí)，其自相似結(jié)構(gòu)不變，只不過是原來的放大和縮小，λ稱為標(biāo)度因子，這種尺度變換的不變性也稱為標(biāo)度不變性，是分行的一個(gè)普適規(guī)律。有標(biāo)度律與多重分形海岸線分形，如果考慮其長度隨測量尺度的變化，為標(biāo)度指數(shù)。上式表明，把用尺度r測量的分形長度L(r)再縮小(或放大)λα倍就和用縮小(或放大)了的尺度λr測量的長度相等。最重要的是這種關(guān)系具有普適性。究竟普適到什么程度是由標(biāo)度指數(shù)α來分類的，這稱為普適類。具有相同α的分形屬于同一普適類，同一普適類的分形也具有相同的分維D0。海岸線分形，如果考慮其長度隨測量尺度的變化，一般情況下，可以把標(biāo)度律寫為

f是某一被標(biāo)度的物理量，標(biāo)度指數(shù)α與分維D0之間存在著簡單的代數(shù)關(guān)系d為拓?fù)渚S數(shù)。

質(zhì)量均勻分布的Cantor集合：取一個(gè)長度r0=1，質(zhì)量P0=1的均勻質(zhì)量棒，分為兩段，各段質(zhì)量P1=P2=1/2，再將每段變?yōu)殚L度r1=1/3，線密度ρ1=P1/r1=3/2的均勻棒。自相似變換，第二步可獲4段小棒，長度r2=(1/3)2，質(zhì)量P2=(1/2)2，線密度ρ2=P2/r2=(3/2)2，…，到第n步，共有N=2n個(gè)小棒，每一個(gè)長度為ri=3-n，質(zhì)量為Pi=2-n，線密度為ρ