介值性定理的證明

介值性定理的證明及應(yīng)用汪雁指導(dǎo)老師：張有為(河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院甘肅張掖734000)摘要通過巧妙的構(gòu)造輔助數(shù)列，應(yīng)用致密性定理來證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，以及介值性定理在解不等式及證明方程根的存在性中的應(yīng)用．關(guān)鍵字介值性定理;輔助數(shù)列(函數(shù));致密性定理;柯西收斂準(zhǔn)則;最值性定理中圖分類號ProofofintermediatevaluetheoremandapplicationsWangYan(SchoolofMathematicsandStatisticsHeXiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)AbstractThroughcleverconstructauxiliaryseriesapplieddensitytheoremtoproveintermediatevaluetheoremofcontinuousfunctiononaclosedintervalandtheintermediatevaluetheorem'sapplicationofthesolutionofinequalityandprovetheexistenceoftheequations'roots．KeywordsIntermediatevaluetheorem;Auxiliaryseries;Densitytheorem;Cauchyconvergencecriterion;Mostvaluetheorem．介值性定理是數(shù)學(xué)分析課本中有關(guān)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的一個重要的定理，也是微分論中重要的基本定理之一，這一定理雖簡單，但應(yīng)用廣泛，在微積分理論中不少定理的證明要用到該定理．介值性定理是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在數(shù)學(xué)分析教材中一般應(yīng)用有關(guān)實數(shù)完備性的6川個基本定理中的確界原理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理來證明．根據(jù)函數(shù)極限的歸結(jié)原則，函數(shù)極限問題往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限問題來解，使得構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)妮o助數(shù)列變成解決問題的關(guān)鍵，在這里通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)和輔助數(shù)列，應(yīng)用最值性定理，致密性定理及柯西收斂準(zhǔn)則來證明．1介值性定理及其推論的證明介值性定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)hf(b)，若u是介于f(a)與f(b)之間的任何實數(shù)(fC)<u<f(b)或f(a)>u>f(b))，則至少存在一點g，使得f(g)=u?推論1(根的存在性定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)?f(b)<0(f(a),f(b)異號)則至少存在一點ge(a,b)，使得f(g)=0?推論2設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，貝lj設(shè)f(x)二0在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有實根，則f(x)在(a,b)內(nèi)恒正或者恒負(fù)；若f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有n個不同實根x,x,x,且x<x< <x則這n個1 2n 1 2 n實根將區(qū)間(a,b)分成n+1個小區(qū)間(a,x),(x,x) (x,b)，在每個小區(qū)間內(nèi)f(x)恒正或者1 1 2 n... …恒負(fù)．???1.1應(yīng)用最值性定理證明介值性定理證明假設(shè)m與M分別是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最小值與最大值，2是m與M之間的任意數(shù)，如果m=M則函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是常數(shù)?顯然，定理是成立的在，如果m<M，根據(jù)最值性定理在閉區(qū)間［a,b］上必存在兩點x與x,使f(x)=m,121f(x)=M?不妨設(shè)x<x，且a<x<x<b，已矢口f(x)<u<f(x)，如果f(x)=u或21212121f(x)=u，貝Uc=x或c=x，定理成立.212現(xiàn)只需證明f(x)<u<f(x)的情況，作輔助函數(shù)申(x)=f(x)-u，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四12則運算性質(zhì)，函數(shù)申(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，從而在閉區(qū)間「x,x］上也連續(xù)，且L12」申(x)=f(x)-u<0與申(x)=f(x)-u>0，根據(jù)根的存在性定理(零點定理)，在區(qū)間1122C,x)內(nèi)至少存在一點2，使申(2)=0，即f(2)-u=0，即f(2)=u，則定理成立??121．2應(yīng)用致密性定理證明介值性定理這里我們不妨設(shè)f(a)<u<f(b)，令g(x)=f(x)-u，則g也是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且g(a)<0,g(b)>0?于是介值性定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在一點2w(a,b),使得g(2)=0?這個簡化的情形就是根的存在性定理，因此，要證明介值性定理只要證根的存在性定理即可?首先，證明下面兩個引理：引理1［2］設(shè)｛x｝是有界數(shù)列，而且lim(x-x)=0，則｛x｝的聚點的集合是［a,b］,n nxn+ln n其中a=limx,b=limx?xsn xTgn證明根據(jù)定義，a與b都是｛x｝的聚點，故我們只要證明a與b之間的任意實數(shù)n

x(a<x<b)都是｛x｝的聚點即可.n先證，對于任給的￡>0及任給的正整數(shù)n'，必有n*>n'存在，使得x-x<￡.TOC\o"1-5"\h\z0 0 n*事實上，由假定知必有正整數(shù)n‘‘存在，當(dāng)n>n〃時恒有l(wèi)x-x<￡，令0 0 n+1 n',n"X則數(shù)列｛x｝°° 中至少必有兩項x和x存在，使x<x,x>x(否0 00 nn=n+1 n n" n n''則，例如，無小于x的項，則必有l(wèi)imx>x，此與a<x矛盾).不妨設(shè)n'<n"，令滿足nx心n'<n<n''且使x<x的正整數(shù)n中之最大者為n*，顯然n*<n''-1，且x<x，x>x因n n* n*+1此，n*>n，且0x此，n*>n，且0x-x<x-x<￡.n*+1 n*n*現(xiàn)取￡=1，N=1，則存在x(n>1)，使1 1 n11-x|<1；又取￡=1，N1 2 3 3 :此繼續(xù)下去，得到｛x｝的一個子列?｝，滿足n nkx(n>n)，使n2 2 1x-xn1<1;再取￡= ，N=n，則存在2221-x|<3，如=n，則存在x(n>n)，使3 2 n33 2-x<-!-(k=1,2,3...)，故x >x,k nk kT8即x是｛x｝聚點n引理2［4］設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，故數(shù)列｛x｝u［a,b］且limf(x)=A，證明存nnns在點e[a,b]，使得f(g)=A.證明因為｛x｝u［a,b］,所以｛x｝有界.nn由致密性定理“有界數(shù)列必有子列”可知｛x｝中必有收斂子列?｝，設(shè)limx=g，n nk kT8nk由于a<x<b，故gw［ja,b］.nk又limf(x)=A，故limfx()=A，由于f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，因而nnns kTg klimfx()=f(mlix)=A=fg().kTg nk kTgnk下面對根的存在性定理進(jìn)行證明：x，2x，且3證明?。踑,b］的中點，記為x，再?。踑,x］及Lxx，2x，且3111=—(b-a)=—(b-a)；2 3 2又取Lx,bLx]Lx,]I,x],的a,中x點，依次記為3 1 3 2 1 2=(b—a)，i=4,5,6.22x-xI<|x-x12x-x<x-x34i+ 1ix,x,x,x4567，且然后取[a,x],[x,x][x,』Lx,]c[,x,]x[,x]X,x]X,X的沖點，依次記為一x一x|=丄(b-a)，i=8,9,10,11,12,13,14；i+1 i|23x,x,x,x,x,x,x,x，且lx一x|<|xTOC\o"1-5"\h\z8 9 10 11 12 13 14 15 7 8n—(b-a).2k如此繼續(xù)下去，可得到數(shù)列 ｛xn—(b-a).2k2k<n+1<2k+1，從而有l(wèi)x 一x<n+1 n數(shù)列｛x｝所對應(yīng)的函數(shù)列為｛g(x)｝，由于函數(shù)g(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，所以g(x)nn在閉區(qū)間［a,b］上一致連續(xù)且有界，因而對任給的s>0，存在6>0，及正整數(shù)N，當(dāng)n,k>N時，有l(wèi)x 一xI< (b一a)<6.TOC\o"1-5"\h\zn+1n 2k因而，|g(x)—g(x)|,即lim(g(x)—g(x))二0?n+1 n n+1 nnT8n顯然，｛x｝的子列?｝：nni再由引理1得｛g(x)｝的聚點集合是[a,卩n顯然，｛x｝的子列?｝：nninnnth n22n+1一1 22n+1x,x,x,x x,x，.…收斂于22n+1一1 22n+1783132 22n+1一122n+1 n nx,x,x,x x,x,...收斂于b?341516 22n一122n由于g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以有l(wèi)img(x)=g(a),limg(x)=g(b).ni j> nj即g(a)和g(b)都為數(shù)列｛g(x)｝的收聚點.n因為g(a)<0,g(b)>0，所以a<0,卩〉0，從而0e(a,卩)，即0為數(shù)列｛g(x)｝的聚n點，也即存在｛(x)｝(xu(a,b))且limg(x)=0?nk nk k>h nk由引理2得，存在點Ew(a,b)，使得gG)=0，即，定理成立.1?3應(yīng)用柯西準(zhǔn)則定理證明介值性定理證明假設(shè)Vxg(a,b)，有g(shù)(x)主0，設(shè)X=gx()<x柯b,［ ］｝,Y=｛g(x)>0xg［a,b］｝，顯然，X和Y非空(因為g(a)<0，g(b)>0，所以g(a)GX，g(b)gY)，且XcY=0，將區(qū)間［a,b］二等分，若g(出)>0，則記左半個區(qū)間為［ab］，若g(凹)<0，則記右半2112個區(qū)間為［a,b］，總之有g(shù)(a)gX,g(b)gY，如此繼續(xù)下去得到數(shù)列a,b滿足：1 1 1 1 nn(1)a<a<a<b<b,n=1,2,3 ；n n+1 n+1 n(2)lim(bmg(3)g(a)gX,g(b)gY?nn取數(shù)列{c}:a,b,a,取數(shù)列{c}:a,b,a,b,a,bn11 2 2nnn數(shù)N，當(dāng)n,m>N時，|c—c|<匕?nm??????TOC\o"1-5"\h\z事實上，當(dāng)c,c為數(shù)列｛a｝中的項時，由于該數(shù)列有上界，從而有上確界為(X，即對nm nVs>0，存在正整數(shù)N，有0<X-a<—?當(dāng)n,m>N時，根據(jù)數(shù)列的遞增性，有N2la—a=a—a+a—a<a—x+|x—a|<2lx—aI<s?nmn mn m' N同理可得為數(shù)列｛b｝中的項的情況??n當(dāng)c,c一個為數(shù)列｛a｝中的項，一個為數(shù)列｛b｝中的項時，由(2)得：對Vs>0,nm n n存在正整數(shù)N>N,當(dāng)n>N時，|b—a|<|;當(dāng)n,m>N時，|b—a|=b—a+a—a<|b—a+a—a<s?nm nnnm nn nm由柯西收斂準(zhǔn)則得｛c｝收斂，n假設(shè)limc ，由于g(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，所以數(shù)列｛g(c)｝收斂于gG),從而\o"CurrentDocument"nxn ngX或gY，又不妨設(shè)gX，根據(jù)數(shù)列極限的保號性，存在正整數(shù)N，當(dāng)時n>N時，g(c)<0,即g(c)eX,然而當(dāng)c=b時，有g(shù)(b)eX這與XcY=0矛盾,n n nn n從而假設(shè)不成立，因而玉e(a,b)，使得g憶)=0?以上即為本文給出的三種關(guān)于介值性定理的證明方法?2介值性定理的應(yīng)用2?1介值性定理在判斷方程根的存在性上的應(yīng)用例1［3］設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0，又F(x)=ff(t)dt+j1dt，證明f(t)abF(x)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實根.證明由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)=ff(t)dt+j1dtf(t)因此函數(shù)F(x)在［a,b］上可導(dǎo)，故函數(shù)F(x)在［a,b］上連續(xù)又因為f(x)>0，所以F(a)=f丄dt<0,F(b)=f丄dt>0f(t) f(t)bb由推論1(零點定理)可知，至少存在一點玉e(a,b)，使得F憶)=0，即F(X&在(a,b)內(nèi)至少有一個實根．則F(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，因此，F(xiàn)(x)=0在(a,b)內(nèi)至多有一個實根，綜上所述，F(xiàn)(x)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實根.例2^］證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一正根，且不超過a+b.1 b 1 b證明設(shè)f(x)=x-asinx-b，由已知可得：一x-—=sinx，即一1<x-—<1，a a a a由于a>0,b>0，因此匕b-a<x<a+b考察，f(b-a)=b-a-asin(b-a)-b=-a(1+sin(b-a))<0，當(dāng)b-a>0時，至少存在一個正根e(b-a,a+b)，使f(g)=0；當(dāng)b-a<0時，不妨只考察［0,a+b］，由于［0,a+b］u［b-a.a+b］，且f(0)=-b<0，f(a+b)>0，所以，至少存在一個正根ge(b-a,a+b)，使f(g)=0.因此，方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個正根，且不超過a+b.2．2介值性定理在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個應(yīng)用例3［5］證明圓到直線的每一連續(xù)映射都把圓上的某一對對徑點映射成同一點．B=f(P')證明如圖1，設(shè)f:CTL為圓C到直線L的一個連續(xù)映射，在上L引入坐標(biāo)，則f的值域為(-8,+8),設(shè)C的某一對對徑點P、P'的象點分別為A、B,即f(p)=A,f(P')=B,對的任意一對對徑，當(dāng)X沿一個半圓從P走到P'時，X，就沿另一個半圓從P'走到P.定義函數(shù)g:g(X)=f(X)-f(X'),且其定義域為X與X'分別走過的兩個半圓(即整個圓C)，顯然g連續(xù)且：g(P)=f(P)-f(P‘)=A-B;g(P)=f(P)-f(P)=B-A=-(A-B).如果A-B=0，由于g(P)=-g(P)=A-B，則P、P的象點f(P),f(P)相同.如果A-B豐0，函數(shù)g(X)=f(X)-f(X，)在走過的圓上連續(xù)，則根據(jù)介值性定理推論1得，圓C有一對對徑點Q、Q，使g(Q)=0，即，f(Q)=f(Q‘)這則表明，點Q與其對徑點Q的象點相同.綜上所述，即結(jié)論得證．2．3介值性定理在實際問題中的應(yīng)用例4四腳一樣長，四腳連線呈正方形的椅子放在起伏不平的光滑曲面的地上，能否將這把椅子四腳同時落地并放穩(wěn)？答案是肯定的！圖2如圖2,設(shè)椅子四點連線交點為0，初始時四腳連線呈正方形ABCD，以為O原點，對角線AC為X軸建立直角坐標(biāo)系