線性代數(shù)知識點總結(jié)(第5章)

線性代數(shù)知識點總結(jié)(第5章)線性代數(shù)知識點總結(jié)(第5章)線性代數(shù)知識點總結(jié)(第5章)xxx公司線性代數(shù)知識點總結(jié)(第5章)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設(shè)計，管理制度線性代數(shù)知識點總結(jié)（第5章）（一）矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。2、特征多項式、特征方程的定義：|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。|λE-A|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結(jié)論：（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素?！?、總結(jié)：特征值與特征向量的求法（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數(shù)，不能省略)（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（λiE-A）個解）6、性質(zhì)：（1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)（2）k重特征值最多k個線性無關(guān)的特征向量1≤n-r（λiE-A）≤ki（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ααP-1α（二）相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質(zhì)（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）【推廣】（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似（三）矩陣的相似對角化9、相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量10、相似對角化的充要條件（1）A有n個線性無關(guān)的特征向量（2）A的k重特征值有k個線性無關(guān)的特征向量11、相似對角化的充分條件：（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）（2）A為實對稱矩陣12、重要結(jié)論：（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數(shù)，n-r（A）為零特征值的個數(shù)（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數(shù)（四）實對稱矩陣13、性質(zhì)（1）特征值全為實數(shù)（2）不同特