招聘筆試數(shù)學系統(tǒng)班理論精講數(shù)與代數(shù)

第四章 數(shù)列主講：粉筆教師招考粉筆教師內(nèi)容導視與考情分析考點分布等差數(shù)列：選擇題、填空題等比數(shù)列：選擇題、填空題綜合數(shù)列：解答題第一節(jié)

等差數(shù)列一、定義若數(shù)列{an}從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一常數(shù)，則數(shù)列{an}叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做公差。定義式：an＋1－an＝d（常數(shù)），是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的重要工具。第一節(jié)

等差數(shù)列a8=

a5+(8-5)d第一節(jié)

等差數(shù)列三、等差數(shù)列的相關公式（一）等差中項若a，b，c成等差數(shù)列，b叫做a與c的等差中項，則2b=a+c；第一節(jié)

等差數(shù)列三、等差數(shù)列的相關公式（二）基本性質若m+n=p+q，則am+an=ap+aq若m+n=2p，則am+an=2ap若{an}為等差數(shù)列，則am，am+k，am+2k，…仍為等差數(shù)列。若{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍為等差數(shù)列，公差為n2d。下角標：1+5=2+41+9=3+7a1

a21,

3,a3

a4

a55,

7,

9第一節(jié)

等差數(shù)列三、等差數(shù)列的相關公式（二）基本性質若m+n=p+q，則am+an=ap+aq若m+n=2p，則am+an=2ap若{an}為等差數(shù)列，則am，am+k，am+2k，…仍為等差數(shù)列。若{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍為等差數(shù)列，公差為n2d?？键c1：等差數(shù)列通項公式1.已知{an}為等差數(shù)列，a1

+a3+a5=105，a2

+a4+a6=99，則a20等于（

）A.-1

B.1

C.3

D.7考點1：等差數(shù)列通項公式1.已知{an}為等差數(shù)列，a1

+a3+a5=105，a2

+a4+a6=99，則a20等于（

）A.-1

B.1

C.3

D.73a1＋6d＝1053a1＋9d＝99考點2：等差數(shù)列性質2.在等差數(shù)列{an}中，若a3

+a4+a5+a6+a7=450，則a2

+a8的值是（

）A.45

B.75

C.180

D.300考點3：等差數(shù)列概念3.（2016年

小學﹒單選）已知3x=4，3y=12，3z=36，則x,

y,

z三者之間（

）A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列考點3：等差數(shù)列概念3.（2016年

小學﹒單選）已知3x=4，3y=12，3z=36，則x,

y,

z三者之間（

）A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列考點4：等差數(shù)列的和考點4：等差數(shù)列的和5．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2

+a4+a15是一個確定的常數(shù)，則數(shù)列{Sn}中是常數(shù)的項是（

）A.S7

B.

S8C.

S11

D.

S13考點4：等差數(shù)列的和6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2=4，S4=20，則該數(shù)列的公差d=（

）A.7

B.6

C.3

D.2第二節(jié)

等比數(shù)列第二節(jié)

等比數(shù)列二、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式an

=a1qn-1推廣：an

=amqn-m前n項和公式：注意：必須先看公比是否等于1。第二節(jié)

等比數(shù)列二、等比數(shù)列的相關公式若三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2=acb2＝ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件。（如：a＝0,b＝0,c＝1）若m+n=p+q，則am·an=ap·aq，特別地，若m+n=2p，則am·an=ap

。2若{an}為等比數(shù)列，則am，am+k，am+2k，…仍為等比數(shù)列，公比為qk。2x＝a＋b，2y＝b＋c，b2＝ac1．（2016年浙江小學﹒解答）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2，3a3，4a4成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式。2a1q＋4a1q3＝6a1q21．（2016年浙江小學﹒解答）已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，且2a2，3a3，4a4成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式。2.（2016年福建小學﹒單選）設等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1=4d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于（

）A．1 B.

3 C.

5 D.

7(k＋3)2d2＝4d·(2k＋3)dk2－2k－3＝04.（2016年山西中學﹒單選）已知函數(shù)f(x)=x2-ax+b(a>0，b>0)有兩個不同的零點m和n，若m,n和-2三個數(shù)適當排序后既能形成等差數(shù)列，也能形成等比數(shù)列，則a+b的值為（

）A．7 B.

8 C.

9 D.

105.（2016年河北中學﹒解答）一個有窮等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，如果其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)。5.（2016年河北中學﹒解答）一個有窮等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，如果其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)。5.（2016年河北中學﹒解答）一個有窮等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，如果其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)。第三節(jié)

綜合數(shù)列5.（2016年

中學﹒解答）設數(shù)列{an}的前n項和為Sn。已知Sn=2-

an。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；第三節(jié)

綜合數(shù)列一、求數(shù)列{an}的通項（二）累加法當已知an+1=an+f(n)時，運用累加法。4.（2016年福建中學﹒解答）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=an

+2n，（1）求{an}的通項公式an；第三節(jié)

綜合數(shù)列一、求數(shù)列{an}的通項4.（2016年福建中學﹒解答）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=an

+2n，（1）求{an}的通項公式an；第三節(jié)

綜合數(shù)列第三節(jié)

綜合數(shù)列第三節(jié)

綜合數(shù)列一、求數(shù)列{an}的通項（四）待定系數(shù)構造法當已知an+1=pan+

f(n)（p為常數(shù)）時，運用構造法。構造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列來求解。已知數(shù)列{an}的首項a1=a,（

a為常數(shù)）,an+1=2an+1（n

∈N*,n≥1），求an。an+1+1=2(an+1)令bn=an+1，則b1=a+1，q=2bn=（a+1）2n-1an=bn-1=（a+1）2n-1-1第三節(jié)

綜合數(shù)列（四）待定系數(shù)構造法當已知an+1=pan+

f(n)（p為常數(shù)）時，運用構造法。構造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列來求解。pf(n)

-

f(n+1)

≠f(n)an=2an-1+1an+1=2(an-1+1)an+1=2an

+3nan+1+3n+1=2(an

+3n)？？2×3n-3n+1≠3nan+1+α3n+1=2(an

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3n3.（2016年山西中學﹒解答）設數(shù)列{an}的前項和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，設bn=Sn

-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式。3.（2016年山西中學﹒解答）設數(shù)列{an}的前項和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，設bn=Sn

-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式。Sn+1-Sn=an+1=Sn

+3nSn+1-Sn=Sn

+3nSn+1=2Sn

+3nSn+1+α3n+1=2(Sn

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3nSn+1+3n+1=2(Sn

+3n)？？3.（2016年山西中學﹒解答）設數(shù)列{an}的前項和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，設bn=Sn

-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式。Sn+1-Sn=an+1=Sn

+3nSn+1-Sn=Sn

+3nSn+1=2Sn

+3nSn+1+α3n+1=2(Sn

+α3n)2α3n-α3n+1=3n2α3n-3α3n=-

α3n=

3n3.（2016年山西中學﹒解答）設數(shù)列{an}的前項和Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，設bn=Sn

-3n，求數(shù)列{bn}的通項公式。第三節(jié)

綜合數(shù)列熟二、求數(shù)列前n項的和（一）公式法主要用于等差或者等比數(shù)列，直接套用公式。（二）分組化歸法主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項寫成等比、等差等悉的數(shù)列分別進行求和，再綜合求出所有項的和。第三節(jié)

綜合數(shù)列二、求數(shù)列前n項的和（三）錯位相消法用于求{an

bn

}型的數(shù)列，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比q=1和數(shù)列，只需用Sn

-qSn便可轉化為等比數(shù)列的求和，但要注意q≠1兩種情況。4.（2016年福建中學﹒解答）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=an

+2n，求{an}的通項公式an；an

＝2n＋1若bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。bn=nan

=（2n＋1）n＝

n

2n＋

n4.（2016年福建中學﹒解答）已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=an

+2n，求{an}的通項公式an；an

＝2n＋1