2022屆山西省鹽湖五中高三第一次調研測試數學試卷含解析

2022年高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足：)若正整數使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．192．如圖所示，在平面直角坐標系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．3．函數的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．4．已知α，β表示兩個不同的平面，l為α內的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，6．若復數，則（）A． B． C． D．207．已知點、．若點在函數的圖象上，則使得的面積為的點的個數為（）A． B． C． D．8．將函數圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象關于直線對稱，則函數在上的值域是（）A． B． C． D．9．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．2710．已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，，若，則的值為()A．1 B．－1 C．8l D．－8111．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．設復數z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為_______________.14．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.15．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎.”乙說：“甲、丙都未獲獎.”丙說：“我獲獎了”.丁說：“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是__________．16．某同學周末通過拋硬幣的方式決定出去看電影還是在家學習，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學習，否則出去看電影，則該同學在家學習的概率為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的值域；（2）的角的對邊分別為且，，求邊上的高的最大值.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知，函數．（1）若，求的單調遞增區(qū)間；（2）若，求的值．21．（12分）已知函數，其中．（1）討論函數的零點個數；（2）求證：．22．（10分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數列的相關計算，意在考查學生的計算能力和對于數列公式方法的綜合應用.2．A【解析】

聯立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可得，由離心率定義可得結果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因為,所以,所以.所以，所以，故選：A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎題.3．A【解析】

根據函數定義域得集合，解對數不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數定義域的求法，是基礎題.4．A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．解：根據題意，由于α，β表示兩個不同的平面，l為α內的一條直線，由于“α∥β，則根據面面平行的性質定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．5．C【解析】

根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.6．B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了復數的運算，復數的模，意在考查學生的計算能力.7．C【解析】

設出點的坐標，以為底結合的面積計算出點到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于的方程，求出方程的解，即可得出結論.【詳解】設點的坐標為，直線的方程為，即，設點到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點共有三個．故選：C.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題．8．D【解析】

由題意利用函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，余弦函數的值域，求得結果.【詳解】解：把函數圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據得到函數的圖象關于直線對稱，，，，函數.在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，余弦函數的值域，屬于中檔題．9．D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.10．B【解析】

根據二項式系數的性質，可求得，再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，故可得，令，故可得，又因為，令，則，解得令，則.故選：B.【點睛】本題考查二項式系數的性質，以及通過賦值法求系數之和，屬綜合基礎題.11．B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．12．D【解析】

先用復數的除法運算將復數化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點睛】本題考查復數的基本概念和基本運算,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】試題分析：從編號分別為1，1，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有種不同的結果，由于是隨機取出的，所以每個結果出現的可能性是相等的；設事件為“取出球的編號互不相同”，則事件包含了個基本事件，所以.考點：1.計數原理；1．古典概型.14．.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結論.【詳解】由圖可知直線過點，可求出直線的斜率，由導數的幾何意義可知，.故答案為:.【點睛】本題考查導數與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.15．丙【解析】若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，可知獲獎的歌手是丙．考點：反證法在推理中的應用.16．【解析】

采用列舉法計算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家學習只有1種情況，即（正，正），故該同學在家學習的概率為.故答案為：【點睛】本題考查古典概型的概率計算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）.（2）【解析】

（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，得出結論.（2）由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值，可得邊上的高的最大值.【詳解】解：（1）∵函數，當時，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，當且僅當時，取等號，即的最大值為3.再根據，故當取得最大值3時，取得最大值為.【點睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數的性質，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰當的公式是解題關鍵，本題屬于中檔題．18．（1）；（2）是，定點坐標為或【解析】

（1）根據相切得到，根據離心率得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19．（1）見證明；（2）【解析】

（1）設是的中點，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建空間直角坐標系，分別計算各個點坐標，計算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：設是的中點，連接、，是的中點，，，，，，，是平行四邊形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面，，；（2）由（1）得平面，，平面平面，過點作，垂足為，平面，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，設是平面的一個法向量，則，，令，則，，，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標系解決線面夾角問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20．（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，然后解不等式，可得出函數的單調遞增區(qū)間；（2）由得出，并求出的值，利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】（1）當時，，由，得，因此，函數的單調遞增區(qū)間為；（2），，，，，，．【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵，屬中等題．21．（1）時，有一個零點；當且時，有兩個零點；（2）見解析【解析】

（1）利用的導函數，求得的最大值的表達式，對進行分類討論，由此判斷出的零點的個數.（2）由，得到和，構造函數，利用導數證得，即有，從而證得，即.【詳解】（1），∴當時，，當時，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當且僅當時取等號．①時，有一個零點；②時，，此時有兩個零點；③時，，令在上遞增，，此時有兩個零點；綜上:時，有一個零點;當且時，有兩個零點;（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的零點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.22．（1）存在；詳見解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（